【数学】2019届一轮复习人教A版一元二次不等式及其解法学案
第2讲 一元二次不等式及其解法
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 一元二次不等式的解法
1.将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)．
2.计算相应的判别式．
3.当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．
4.利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．
考点2 三个二次之间的关系
[必会结论]
1.ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R)．
2.ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R)．
[考点自测]
1.判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( )
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )
(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.( )
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×
2.[课本改编]不等式(x－1)(2－x)≥0的解集为( )
A.{x|1≤x≤2} B．{x|x≤1或x≥2}
C.{x|1
2}
答案 A
解析 因为(x－1)(2－x)≥0，所以(x－2)(x－1)≤0，所以结合二次函数的性质可得1≤x≤2.故选A.
3.[2018·辽阳统考]不等式≤0的解集是( )
A.(－∞，－1)∪(－1,2] B．[－1,2]
C.(－∞，－1)∪[2，＋∞) D．(－1,2]
答案 D
解析 ≤0⇔(x＋1)(x－2)≤0，且x≠－1，即x∈(－1,2]．故选D.
4.若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－4,1)，则不等式b(x2－1)＋a(x＋3)＋c>0的解集为( )
A. B．(－∞，1)∪
C.(－1,4) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
答案 A
解析 由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－4,1)，
知a<0且－4,1是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．
∴－4＋1＝－，且－4×1＝，即b＝3a，c＝－4a.则所求不等式转化为3a(x2－1)＋a(x＋3)－4a>0，
即3x2＋x－4<0，解得－1；
②当01时，其解为0，其解为x<或x>1.
综上所述a＝0时，不等式解集为{x|x>1}；
01时，不等式解集为；
a<0时，不等式解集为；
当a＝1时，不等式解集为∅.
触类旁通
解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.
【变式训练1】 解不等式：(1)≥－1；
(2)x2－(a2＋a)x＋a3>0.
解 (1)将原不等式移项通分得≥0，
等价于
所以原不等式的解集为.
(2)原不等式化为(x－a)(x－a2)>0，
①当a2－a>0，即a>1或a<0时，
原不等式的解为x>a2或xa；
③当a2－a＝0，即a＝0或a＝1时，
原不等式的解为x≠a.
综上①②③得a>1或a<0时不等式解集为
{x|x>a2或xa}；
当a＝0或a＝1时，不等式解集为{x|x≠a}.
考向 一元二次不等式恒成立问题
例2 [2018·正定模拟]已知函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于x∈R，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)当m＝0时，f(x)＝－1<0恒成立．
当m≠0时，则即－40，∴m<对于x∈[1,3]恒成立，
只需求的最小值，记g(x)＝，x∈[1,3]，
记h(x)＝x2－x＋1＝2＋，
h(x)在x∈[1,3]上为增函数，则g(x)在[1,3]上为减函数，
∴[g(x)]min＝g(3)＝，∴m<.
所以m的取值范围是.
本例中(1)变为：若f(x)<0对于m∈[1,2]恒成立，求实数x的取值范围．
解 设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1,2]时，图象为一条线段，
则即
解得0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－2) B．(－2，＋∞)
C.(－6，＋∞) D．(－∞，－6)
答案 A
解析 不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2－
4x－2)max，令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，∴g(x)0时的情形．
2.f(x)>0的解集即为函数y＝f(x)的图象在x轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结合思想．
3.简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解．
满分策略
1.对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．
2.当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅由a
确定，要注意区别．
3.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．
板块三 启智培优·破译高考
数学思想系列 7——转化与化归思想在不等式中的应用
[2018·江苏模拟]已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 a>
解析 不等式可变形为a>＝x－x，
令x＝t，则t>0.
∴y＝x－x＝t－t2＝－2＋，因此当t＝时，y取最大值，故实数a的取值范围是a>.
板块四 模拟演练·提能增分
[A级 基础达标]
1.[2018·潍坊模拟]函数f(x)＝的定义域是( )
A.(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3)
C.(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3)
答案 D
解析 由题意知即
故函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3)．故选D.
2.关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q,1)，则p＋q的值为( )
A.－2 B．－1 C．1 D．2
答案 B
解析 依题意得q,1是方程x2＋px－2＝0的两根，q＋1＝－p，即p＋q＝－1.故选B.
3.[2018·郑州模拟]已知关于x的不等式>0的解集是(－∞，－
1)∪，则a的值为( )
A.－1 B. C．1 D．2
答案 D
解析 由题意可得a≠0且不等式等价于a(x＋1) (x－)>0，由解集的特点可得a>0且＝，故a＝2.故选D.
4.[2018·福建模拟]若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值范围是( )
A.(0,4) B．[0,4) C．(0,4] D．[0,4]
答案 D
解析 由题意知a＝0时，满足条件．
a≠0时，由得00，∴x<－1或x>1.故选A.
6.不等式(2x－1)(1－|x|)<0成立的充要条件是( )
A.x>1或x< B．x>1或－1
答案 B
解析 原不等式等价于或
∴或
∴x>1或－10)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，得a＝.故选A.
8.[2018·青岛模拟]不等式2x2－3|x|－35>0的解集为________．
答案 {x|x<－5或x>5}
解析 2x2－3|x|－35>0⇔2|x|2－3|x|－35>0⇔(|x|－5)(2|x|＋7)>0⇔|x|>5或|x|<－(舍)⇔x>5或x<－5.
9.已知关于x的不等式ax2＋2x＋c>0的解集为，则不等式－cx2＋2x－a>0的解集为________．
答案 (－2,3)
解析 依题意知，
∴解得a＝－12，c＝2，∴不等式－cx2＋2x－a>0，即为－2x2＋2x＋12>0，即x2－x－6<0，解得－20且g(1)>0，即解得x<1或x>3.
[B级 知能提升]
1.[2018·保定模拟]若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是( )
A. B.
C.(1，＋∞) D.
答案 A
解析 由Δ＝a2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．
于是不等式在区间[1,5]上有解，只需满足f(5)>0，即a>－.故选A.
2.[2018·辽宁模拟]若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )
A.(－3,0) B．[－3,0)
C.[－3,0] D．(－3,0]
答案 D
解析 当k＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，
则解得－30，∴当x＝－1时，f(x)min＝，
由题意，得＝，∴a＝.
∴x2－x－2－<0，即(2x＋1)(2x－3)<0，－0.
(1)求f(x)在[0,1]内的值域；
(2)若ax2＋bx＋c≤0的解集为R，求实数c的取值范围．
解 (1)因为当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0，当x∈(－3,2)时，f(x)>0，
所以－3,2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，可得所以a＝－3，b＝5，
f(x)＝－3x2－3x＋18＝－32＋18.75，
函数图象关于x＝－对称，且抛物线开口向下，所以在区间[0,1]上f(x)为减函数，所以函数的最大值为f(0)＝18，最小值为f(1)＝12，
故f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]．
(2)由(1)知，不等式ax2＋bx＋c≤0化为－3x2＋5x＋c≤0，因为二次函数y＝－3x2＋5x＋c的图象开口向下，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需
即25＋12c≤0⇒c≤－，所以实数c的取值范围为.
