2020届二轮复习解三角形学案(全国通用)

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2020届二轮复习解三角形学案(全国通用)

培优点七 解三角形 ‎1.解三角形中的要素 例1:的内角,,所对的边分别为,,,若,,,则_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】(1)由已知,,求可联想到使用正弦定理:,‎ 代入可解得:.由可得:,所以.‎ ‎2.恒等式背景 例2:已知,,分别为三个内角,,的对边,‎ 且有.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若,且的面积为,求,.‎ ‎【答案】(1);(2)2,2.‎ ‎【解析】(1)‎ ‎,‎ 即 ‎ ‎∴或(舍),∴;‎ ‎(2),‎ ‎,‎ ‎∴,可解得.‎ 对点增分集训 一、单选题 ‎1.在中,,,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由正弦定理可得,‎ 且,‎ 由余弦定理可得:.故选A.‎ ‎2.在中,三边长,,,则等于( )‎ A.19 B. C.18 D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵三边长,,,‎ ‎∴,‎ ‎.故选B.‎ ‎3.在中,角,,所对应的边分别是,,,若,则三角形一定是( )‎ A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 ‎【答案】C ‎【解析】∵,由正弦定理,,∴,‎ ‎∵,,为的内角,∴,,,‎ ‎∴,,整理得,‎ ‎∴,即.故一定是等腰三角形.故选C.‎ ‎4.的内角,,的对边分别为,,,若,,,则的面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】已知,,,‎ ‎∴由余弦定理,可得:,‎ 解得:,,∴.故选A.‎ ‎5.在中,内角,,的对边分别为,,,若,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据正弦定理由得:, ‎ 所以,即, 则,‎ 又,所以.故选A.‎ ‎6.设的三个内角,,所对的边分别为,,,如果,且,那么外接圆的半径为( )‎ A.1 B. C.2 D.4‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为,所以,化为,‎ 所以,又因为,所以,‎ 由正弦定理可得,所以,故选A.‎ ‎7.在中,角,,所对的边分别为,,,且,若,‎ 则的形状是( )‎ A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】因为,所以,‎ 也就是,所以,从而,‎ 故,为等边三角形.故选C.‎ ‎8.的内角,,的对边分别是,,且满足,则是( )‎ A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 ‎【答案】B ‎【解析】利用正弦定理化简已知的等式得:‎ ‎,即,‎ ‎∵,,为三角形的内角,∴,即,‎ 则为直角三角形,故选B.‎ ‎9.在中,内角,,所对的边分别为,,,已知的面积为,,,则的值为( )‎ A.8 B.‎16 ‎C.32 D.64‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为,所以,‎ 又,∴,解方程组得,,‎ 由余弦定理得,所以.故选A.‎ ‎10.在中,,,分别为角,,所对的边.若,‎ 则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】,‎ ‎∵,可得:,‎ ‎∴,∴,‎ ‎∵,∴,∴,‎ ‎∵,∴.故答案为C.‎ ‎11.在中,内角,,的对边分别是,,,若,则是( )‎ A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 ‎【答案】D ‎【解析】∵,由正弦定理得:,,代入,‎ 得,∴进而可得,‎ ‎∴,则是等边三角形.故选D.‎ ‎12.在中,角,,所对的边分别为,,,已知,,,‎ 则( )‎ A. B. C.或 D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用正弦定理,同角三角函数关系,原式可化为:,‎ 去分母移项得:,‎ 所以,‎ 所以.由同角三角函数得,‎ 由正弦定理,解得所以或(舍).故选B.‎ 二、填空题 ‎13.在中,角,,的对边分别为,,,,,则角的最大值为_____;‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在中,由角的余弦定理可知 ‎,‎ 又因为,所以.当且仅当,时等号成立.‎ ‎14.已知的三边,,成等比数列,,,所对的角分别为,,,则的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵的三边,,成等比数列,‎ ‎∴,得,‎ 又∵,∴,,‎ 可得,故答案为.‎ ‎15.在中三个内角,,,所对的边分别是,,,若,且,则面积的最大值是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵,‎ ‎∴,‎ 则,结合正弦定理得,即,‎ 由余弦定理得,化简得,‎ 故,,故答案为.‎ ‎16.在锐角中,角,,所对的边分别为,,,且,,成等差数列,,‎ 则面积的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵中,,成等差数列,∴.‎ 由正弦定理得,∴,,‎ ‎∴‎ ‎,‎ ‎∵为锐角三角形,∴,解得.‎ ‎∴,∴,‎ ‎∴,故面积的取值范围是.‎ 三、解答题 ‎17.己知,,分别为三个内角,,的对边,且.‎ ‎(1)求角的大小;‎ ‎(2)若,且的面积为,求的值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)由正弦定理得,,‎ ‎∵,∴,即.‎ ‎∵∴,∴,∴.‎ ‎(2)由可得.∴,‎ ‎∵,∴由余弦定理得:,‎ ‎∴.‎ ‎18.如图,在中,点在边上,,,.‎ ‎.‎ ‎(1)求的面积.‎ ‎(2)若,求的长.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)由题意,‎ 在中,由余弦定理可得 即或(舍),‎ ‎∴的面积.‎ ‎(2)在中,由正弦定理得,‎ 代入得,由为锐角,故,‎ 所以,‎ 在中,由正弦定理得,‎ ‎∴,解得.‎
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