2017-2018学年江西省南昌市第二中学高二上学期第三次月考数学（理）试题

2017-2018学年江西省南昌市第二中学高二上学期第三次月考数学（理）试题

南昌二中2017—2018学年度上学期第三次月考 高二数学（理）试卷 命题人：周启新 审题人：谭 佳 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．）‎ ‎1. 已知命题，，则为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 的导函数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.函数的单调递增区间为（ ）‎ A. B. C. D. 和 ‎ ‎4. 在极坐标系中，极点关于直线对称的点的极坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 设为曲线上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 设命题：，直线与直线垂直，命题：若，则是函数的极值点.则下列命题为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 若关于的方程有两个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 对任意正实数，不等式恒成立的一个充分不必要条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 设是抛物线上的三点，若的重心恰好是该抛物线的焦点，则 ‎（ ）‎ A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 ‎ ‎10.点是曲线上的点，是直线上的点，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 已知双曲线（，）的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 若函数存在唯一的极值点，且此极值小于0，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. “若，则，全为零”的否命题是________________________；‎ ‎14. 若函数在与处都取得极值，则________； ‎ ‎15. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是________；‎ ‎16. 设过曲线上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围是______．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17． （本小题满分10分）‎ 给定两个命题,：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根；如果命题“且”为假命题，“或”为真命题，求实数的取值范围．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为，直线的参数方程为 (为参数)，直线和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．‎ ‎(I)求圆心C的极坐标；‎ ‎(II)求△PAB面积的最大值．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 双曲线（）的左、右焦点分别为、，抛物线的准线过且与双曲线的实轴垂直，若抛物线上的任意一点到的距离比它到轴的距离大3，过的直线与双曲线的右支相交于、两点，若弦长等于抛物线的通径长的2倍，且的周长为56，求双曲线和抛物线的方程.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知函数（）．‎ ‎（I）当时，求函数在上的最大值和最小值；‎ ‎（II）当时，是否存在正实数，当（是自然对数底数）时，函数 的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为、，为椭圆上的动点，且的最大值为16．‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）设、分别为椭圆的右顶点和上顶点，当在第一象限时，直线与轴交于点，直线与轴交于点，问与面积之差是否为定值？说明理由．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)试求函数的单调区间；‎ ‎ (Ⅱ)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.‎ 南昌二中2017—2018学年度上学期第三次月考 高二数学（理）参考答案 一、选择题 ‎ BBCAB CDACB CD 二、填空题 ‎13. “若，则，不全为零”；‎ ‎14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17．解：对任意实数都有恒成立； ‎ 关于的方程有实数根；……………………4分 因为命题“且”为假命题，“或”为真命题，则命题和一真一假。…………5分 如果正确，且不正确，有；‎ 如果正确，且不正确，有．……………………9分 所以实数的取值范围为…………………………10分 ‎18．解：(1)由圆C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ＋)，得ρ2＝2(ρcos θ－ρsin θ)，‎ 把代入可得圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，‎ 即(x－1)2＋(y＋1)2＝2. ∴圆心坐标为(1，－1)，∴圆心的极坐标为(，)．…………6分 ‎(2)由题意，得直线l的直角坐标方程为2x－y－1＝0.‎ ‎∴圆心(1，－1)到直线l的距离，‎ ‎∴|AB|＝2＝2＝.‎ 点P到直线l的距离的最大值为r＋d＝＋＝，‎ ‎∴Smax＝××＝.…………………………12分 ‎19．解：依题可知抛物线的焦点为，所以，‎ 由抛物线的定义可知，，所以，‎ 所以抛物线的方程为，…………………………4分 其通径长为，从而，‎ 由双曲线的定义可知，，，‎ 所以，…………………………8分 所以的周长为，‎ 解得，又因为，所以，‎ 所以双曲线的方程为 .‎ 综上所述，双曲线的方程为，‎ 抛物线的方程为 . …………………………12分 ‎20．解：（1）当时，，且，‎ ‎．…………………………2分 得时；时，‎ 所以函数在上单调递增；，函数在上单调递减，‎ 所以函数在区间仅有极大值点，故这个极大值点也是最大值点，‎ 故函数在最大值是， …………………………4分 又，故，‎ 故函数在上的最小值为．…………………………6分 ‎（2）时，得………………………7分 ‎（ⅰ）‎ 时，，时，递减，不合题意；‎ ‎（ⅱ）时，，‎ 时，递减，时，递增，‎ ‎，得．…………………………11分 综上所述，存在实数．…………………………12分 ‎21. 解：（I）由基本不等式及基本不等式有，依题意得，所以，又因为，解得，所以，‎ 则椭圆的方程为.…………………………4分 ‎（II）由（I）可得，，设，则，‎ ‎，令得，‎ 则,…………………………6分 ‎，令得，‎ 则,…………………………8分 ‎∴‎ ‎（定值）.…12分 ‎22．解;（Ⅰ）因为 所以 ‎ ‎①若，则，即在区间上单调递减；‎ ‎②若，则当时， ；当时，；‎ 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；‎ ‎③若，则当时，；当时，； ‎ 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．‎ 综上所述，若，函数在区间上单调递减；；‎ 若，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；‎ 若，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．‎ ‎…………………………6分 ‎（Ⅱ）依题意得，‎ 令.因为，则，即．‎ 于是，由，得，‎ 即对任意恒成立. ‎ 设函数，则.‎ 当时，；当时，；‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减；‎ 所以.‎ 于是，可知，解得.‎ 故的取值范围是.…………………………12分