湖南省益阳市2020届高三下学期4月复学摸底考试数学（文）试题 Word版含解析

湖南省益阳市2020届高三下学期4月复学摸底考试数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 益阳市2020年上期高三复学摸底考试 文科数学试题卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合，，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得集合，根据集合的交集的运算，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，集合，，‎ 所以，故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的运算问题，其中解答中正确求解集合，再根据集合的交集的运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎2.已知复数满足，则复平面内与复数对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．‎ ‎【详解】由得 ‎，‎ ‎∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，），在第四象限．‎ 故选D．‎ - 21 -‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．‎ ‎3.正项等比数列{}中，若a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，那么公比q等于 A. 3 B. 3或－3‎ C. 9 D. 9或－9‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为为正项等比数列，所以其公比．由可得，所以，故选A ‎4.已知向量，，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得出，结合向量数量积的坐标运算求得的值，进而利用向量的模长公式可求得的值.‎ ‎【详解】，，解得，，‎ 因此，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查向量模长的计算，涉及向量垂直的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎5.已知，，，则、、的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数与对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小关系，进而可得出、‎ - 21 -‎ ‎、的大小关系.‎ ‎【详解】对数函数为上的增函数，则；‎ 指数函数为上的增函数，则；‎ 指数函数为上的减函数，则，即.‎ 因此，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查指数幂与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来得出各数的大小关系，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎6.今年春节期间，一场突如其来的新型冠状病毒肿炎自武汉开始迅速向全国蔓延，随之而来的是医疗物资的紧缺，由于武汉医务人员和医院床位严重不够，国家领导人当机立断，仅仅用了十多天时间建成两座医院，名为“火神山”、“雷神山”，全国人民如同一家人，纷纷捐款捐物，全国各地的白衣天使义无反顾踏上志愿者之路，纷纷驰援武汉.假设火神山医院有名志愿者医生来自湖南湘雅医院，有名志愿者医生来自广州中山医科大学附属医院，从这人中任取人分配新的任务，则两所医院各取一人的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 记名来自湖南湘雅医院的医生分别为、，记名来自广州中山医科大学附属医院的医生分别为、，列举出所有的基本事件，并确定事件“两所医院各取一人”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.‎ ‎【详解】记名来自湖南湘雅医院的医生分别为、，记名来自广州中山医科大学附属医院的医生分别为、，‎ 从这人中任取人，所有的基本事件有：、、、、、，共种，‎ 其中，事件“两所医院各取一人”所包含的基本事件有：、、、，共种.‎ 因此，两所医院各取一人的概率为.‎ 故选：B.‎ - 21 -‎ ‎【点睛】本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件来求解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎7.已知实数、满足约束条件，则的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组所表示的可行域，化直线方程为斜截式，平移直线，找出使得直线在轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可.‎ ‎【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：‎ 联立，解得，即点，‎ 化直线的方程为斜截式，即，‎ 平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即.‎ 故选：D.‎ - 21 -‎ ‎【点睛】本题考查线性规划中线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线的方法找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.‎ ‎8.函数的大致图象是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断函数的奇偶性,再求，进行排除，可得选项．‎ ‎【详解】由题意得，所以函数是奇函数，排除C、D选项；当时，，因此排除B，故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的特点，属于基础题．‎ ‎9.已知， 且， 则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ - 21 -‎ ‎【分析】‎ 由已知条件求出的值，利用同角三角函数的基本关系求得的值，进而利用两角差的余弦公式可求得的值.‎ ‎【详解】，‎ 又，所以，，，‎ 因此，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用两角差的余弦公式求值，同时也考查了二倍角余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎10.若的面积为，，，为钝角， 则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角形的面积公式求出的值，再利用余弦定理求得的长.‎ ‎【详解】由三角形的面积公式得，所以，，‎ 为钝角，则为锐角，所以，，‎ 由余弦定理得，因此，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用三角形的面积公式和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎11.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，若三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）‎ A. 12 B. C. D. 10‎ ‎【答案】C - 21 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取B1C1的中点Q，连接PQ，BQ，CQ，PD，则三棱柱BCQ−ADP为直三棱柱，此直三棱柱和三棱锥P−ABC有相同的外接球，求出等腰三角形的外接圆半径，然后利用勾股定理可求出外接球的半径 ‎【详解】如图，取B1C1的中点Q，连接PQ，BQ，CQ，PD，则三棱柱BCQ−ADP为直三棱柱，所以该直三棱柱的六个顶点都在球O的球面上，的外接圆直径为，球O的半径R满足，所以球O的表面积S=4πR2=，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】此题考查三棱锥的外接球半径与棱长的关系，及球的表面积公式，解题时要注意审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题.‎ ‎12.如图，已知过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，交圆于、两点，其中、位于第一象限，则的最小值为（ ）‎ - 21 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，计算出的值，然后利用基本不等式可求得的最小值.‎ ‎【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为.‎ 设直线的方程为，设点、，‎ 将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，‎ 所以，，‎ 所以，，‎ 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，‎ 因此，的最小值为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的性质，以及利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中档题．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知函数，则_________.‎ ‎【答案】‎ - 21 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的解析式，先计算出的值，进而计算出的值.‎ ‎【详解】，，‎ 因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数值的计算，要结合自变量的取值选择合适的解析式进行计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14.在如图所示的同心圆中，圆环的宽度等于小圆的半径，则在大圆内任取一点，该点落在阴影部分的概率为________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设小圆的半径为，可得出大圆的半径为，计算出圆环和大圆的面积，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.‎ ‎【详解】设小圆的半径为，则大圆的半径为，圆环的面积为.‎ 因此，所求事件的概率为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查几何概型概率的计算，考查计算能力，属于基础题.‎ - 21 -‎ ‎15.已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为 ‎ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ ‎16.已知关于的方程在上有且仅有个解，则实数的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得，构造函数，利用导数分析函数在区间上的单调性与极值，作出函数在区间上的图象，利用数形结合思想可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】由得，‎ 构造函数，其中，则，‎ ‎，令，得，列表如下：‎ 极小值 - 21 -‎ 所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ 函数的极小值为，又，，且，如下图所示：‎ 由图象可知，当或时，直线与函数在区间上的图象有且只有一个公共点.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围，一般转化为两个函数图象的交点，考查数形结合思想的应用，属于中等题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17.已知等差数列中，，且前10项和．‎ ‎（1）求数列通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ ‎【答案】(1)an＝2n－1(2)Tn＝‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)本题首先可以对化简得到，再对化简得到 - 21 -‎ ‎，最后两式联立，解出值，得出结果；‎ ‎(2)可通过裂项相消法化简求出结果．‎ ‎【详解】(1)由已知得，‎ 解得 所以的通项公式为 ‎(2)，‎ 所以数列的前项和．‎ ‎【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误．‎ ‎18.湖南省某地区年至年居民家庭人均纯收入（单位：万元）的数据如下表：‎ 年份 年份代号 人均纯收入 ‎（1）求关于的线性回归方程；‎ ‎（2）利用（1）中的线性回归方程，分析年至年该地区居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区年居民家庭人均纯收入.（注：年份代号按表格类推）‎ - 21 -‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，‎ 参考数据：.‎ ‎【答案】（1）；（2）年至年该地区居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加万元，该地区年居民家庭人均纯收入约为万元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据所给的数据，计算出和的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式求出和的值，即可得出关于的线性回归方程；‎ ‎（2）根据回归直线方程可分析出年至年该地区居民家庭人均纯收入的变化情况，将代入回归直线方程可计算出该地区年居民家庭人均纯收入的估计值.‎ ‎【详解】（1）由所给数据计算得，‎ ‎，‎ ‎，，，，‎ 所求线性回归方程为；‎ ‎（2）由（1）知，，故年至年该地区居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加万元. ‎ 将年年份代号代入（1）中的线性回归方程，得，‎ 故预测该地区年居民家庭人均纯收入为万元.‎ ‎【点睛】本题考查线性回归方程应用，本题解题的关键是利用最小二乘法计算出线性回归方程的系数，考查计算能力，是一个基础题．‎ - 21 -‎ ‎19.如图，在四棱柱中， 所有棱长均为，，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求对角线的长；‎ ‎（3）求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接、，设它们的交点为，由正方形的性质得出，推导出和全等，可得出，由等腰三角形三线合一的性质可得出，进而得出平面，由线面垂直的性质可得出结论；‎ ‎（2）推导出，利用中垂线的性质得出，进而可得出对角线的长；‎ ‎（3）推导出平面，可得知点到平面距离等于点到平面的距离，然后利用等体积法即可计算出点到平面的距离.‎ ‎【详解】（1）连接、，设它们的交点为，连接、、、，‎ 由题可知底面为正方形，，‎ ‎，，，，，‎ 为的中点，，‎ - 21 -‎ ‎，平面，‎ 平面，；‎ ‎（2），，所以，为等边三角形，，‎ ‎，，，，‎ 为的中点，；‎ ‎（3），平面，平面，平面，所以，点到平面的距离等于点到平面的距离，‎ 由（2）可知平面，，‎ 的面积为，的面积为，‎ 设点到平面的距离为，‎ ‎，，即，解得.‎ 即点到平面的距离为.‎ ‎【点睛】本题考查线线垂直的证明、线段长度的计算以及利用等体积法计算点到平面的距离，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎20.已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上的动点，‎ - 21 -‎ ‎ 若的周长为，且椭圆的离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设曲线与轴正半轴交于点，直线与交于、两点，是线段的中点，证明：.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意得出关于、的方程组，求出、，可得出，进而可得出椭圆的方程；‎ ‎（2）设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用向量数量积的坐标运算结合韦达定理计算出，利用直角三角形的性质可得出结论.‎ ‎【详解】（1）因为的周长为，，‎ 又离心率，解得，，，‎ 因此，椭圆的方程为；‎ ‎（2）设直线与椭圆的交点为、，‎ 由，得，，‎ 由韦达定理得，，‎ 要证，即证，即证①，‎ ‎，同理，‎ - 21 -‎ ‎，‎ 故①式成立，则命题得证.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查线段长度关系的证明，将问题转化为是解答的关键，考查计算能力与推理能力，属于中等题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）令，证明：.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导数，然后对实数进行分类讨论，分析导数在区间上的符号变化，即可得出函数的单调区间；‎ ‎（2）求得，利用导数分别证明出，，说明两个等号不同时成立，利用不等式的基本性质可得出.‎ ‎【详解】（1），定义域为，则.‎ ‎①当时，恒成立，此时函数在单调递增；‎ ‎②当时，令得.‎ 当时，，此时函数单调递增；‎ 当时，，此时函数单调递减.‎ 综上：当时，函数在单调递增；‎ 当时，函数在上单调递增，在上单调递减；‎ ‎（2）由题可知：，定义域为.‎ ‎①先证明不等式，构造函数，，‎ - 21 -‎ 令，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.‎ 所以，函数在处取得最小值，即，；‎ ‎②下面证明不等式，构造函数，其中，‎ ‎，令.‎ 当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增.‎ 所以，函数在处取得最小值，即，即.‎ 由于函数和函数的最小值不在同一处取得，所以，，‎ 因此，.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查计算能力与推理能力，属于中等题.‎ ‎22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程和曲线的参数方程；‎ ‎（2）设曲线与曲线在第二象限的交点为，曲线与轴的交点为，点，求的周长的最大值.‎ ‎【答案】(1);(为参数);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 代入可得的直角坐标方;先把转化为直角坐标方程,再求参数方程.‎ - 21 -‎ ‎(2) 设,,,求出,进而可得,结合三角函数的性质即可求出最值.‎ ‎【详解】解:(1)将代入,可得.所以曲线的直角坐标方程为.‎ 由可得,将,代入上式 可得,整理可得 所以曲线的参数方程为为参数.‎ ‎(2)由题可设,,‎ 所以,,‎ 所以 ‎,因为,所以 所以当,即时,l取得最大值为.‎ 所以的周长的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化,考查了参数方程与直角坐标方程的互化,考查了三角函数最值的求解.已知极坐标方程求直角坐标方程时,代入 ;反之,已知直角坐标方程求极坐标方程时,代入,.对于极坐标方程与参数方程的转化,一般情况下都是先转化为直角坐标方程,继而求解.本题第二问的难点,在于用参数的思想解决最值问题.‎ ‎23.已知的最小值为.‎ ‎（1）求的值并指出取等号的条件；‎ - 21 -‎ ‎（2）若实数、满足，求的最小值.‎ ‎【答案】（1），取等号时；（2）最小值.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用绝对值三角不等式可求得函数的最小值，由可得出等号成立的条件；‎ ‎（2）由已知条件得出，进一步得出，然后将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.‎ ‎【详解】（1）由绝对值三角不等式可得，‎ 当且仅当时，即当时，等号成立，‎ 因此，函数的最小值为；‎ ‎（2）由（1）可知，故，，‎ 所以，‎ 当且仅当时，即当时，等号成立.‎ 因此，的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值函数最值的求解，同时也考查了利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题.‎ - 21 -‎ - 21 -‎