2018-2019学年黑龙江省大庆实验中学高二上学期期中考试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年黑龙江省大庆实验中学高二上学期期中考试数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 黑龙江省大庆实验中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．直线的倾斜角为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线的方程求得直线的斜率，从而求得它的倾斜角．‎ ‎【详解】‎ 直线x+y-3=0，即y=-x+3，它的斜率等于-1，故它的倾斜角为， 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线的斜率和倾斜角，属于基础题．‎ ‎2．从某中学抽取名同学，得到他们的数学成绩如下：（单位:分），则可得这名同学数学成绩的众数、中位数分别为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．‎ ‎【详解】‎ 本题中数据92出现了3次，出现的次数最多，所以本题的众数是82； 中位数是将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，得： ，中间两个数据的平均数是（92+92）÷2=92．故中位数是92． ‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查众数，中位数的概念，属基础题.‎ ‎3．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关。黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）‎ A． 充分条件 B． 必要条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分条件和必要条件的定义判断即可 ‎【详解】‎ 攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”， 故“攻破楼兰”是“返回家乡”必要条件， 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．‎ ‎4．已知圆与直线切于点，则直线的方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用点与圆心连线的直线与所求直线垂直，求出斜率，即可求过点与圆C相切的直线方程；‎ ‎【详解】‎ 圆可化为： ，显然过点的直线不与圆相切，则点与圆心连线的直线斜率为 ，则所求直线斜率为 ，代入点斜式可得 ，整理得。‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．‎ ‎5．某校高一年级有男生400人，女生300人，为了调查高一学生对于高二时文理分科的意向，拟随机抽取35人的样本，则应抽取的男生人数为（ ）‎ A． 25 B． 20 C． 15 D． 10‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：设应抽取的男生人数为，根据分层抽样的定义对应成比例可得，解出方程即可.‎ 详解：设应抽取的男生人数为，∴，‎ 解得，即应抽取的男生人数为20，故选B.‎ 点睛：本题考查应从高一年级学生中抽取学生人数的求法，考查分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.‎ ‎6．命题：若，则；命题：，使得，则下列命题中为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件判断命题p，q命题的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ 当c=0时，ac2＜bc2不成立，则命题p为假命题， 当x=1时，ln1=1-1=0，则命题q为真命题， 则（¬p）∧q为真命题，其余为假命题， 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合命题真假关系的判断，根据条件判断命题p，q的真假是解决本题的关键．‎ ‎7．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是(　　)‎ A． 都不是一等品 B． 恰有一件一等品 C． 至少有一件一等品 D． 至多有一件一等品 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：至多一件一等品的概率是.‎ 考点：排列组合及古典概型知识的综合运用.‎ ‎8．已知过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点为其右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据推断出整理得，进而求得椭圆的离心率e．‎ ‎【详解】‎ 由题意知点P的坐标为 或， ∵， ∴ ， 即 ． ∴ ‎ ‎∴ 或（舍去）． ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ ‎】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力，属中档题．‎ ‎9．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，且两点为在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不妨设 ，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．‎ ‎【详解】‎ 设|，∵点A为椭圆C1：上的点， ，‎ 即 ；① 又四边形AF1BF2为矩形， ，即 ② 由①②得： ，解得 ‎ 设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n， 则 ， ‎ ‎∴双曲线C2的离心率 ． 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．‎ ‎10．已知是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，代入椭圆方程可得，根据，结合 可求椭圆的离心率的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 设 则 ，由题。‎ ‎ 化为 ‎ 整理得 ‎ ‎ 解得 ，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、向量等知识点的灵活运用．‎ ‎11．已知是抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，‎ 为坐标原点，若，则面积的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2）， 直线AB与x轴的交点为M（m，0）， x=ty+m代入， 可得 ， 根据韦达定理有 ‎ ‎∵， ， 从而 ‎ ‎ ∵点A，B位于x轴的两侧， ∴ ，故 ． 故直线AB所过的定点坐标是 ‎ 即有面积 ， 当 时，即直线AB垂直于x轴， 的面积取得最小值，且为8．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查考查三抛物线中三角形的面积的最值，注意求出直线恒过定点，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎12．如图所示是一个算法的流程图，最后输出的________.‎ ‎【答案】22‎ ‎【解析】结合流程图，程序运行如下：‎ 初始化数据：S=0,T=1,S=T2-S=1，‎ 此时不满足S≥10，循环第一次，T=T+2=3,S=T2-S=8，‎ 此时不满足S≥10，循环第二次，T=T+2=5,S=T2-S=17，‎ 此时满足S≥10，结束循环，输出W=S+T=17+5=22.‎ ‎13．若满足约束条件，则的最大值为______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由得 平移直线， 由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最大， 此时z最大． 由 ，解得 ，即 ‎ 将B的坐标代入目标函数z=2x-y， 得．即的最大值为3．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．‎ ‎14．假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为_________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据几何概型的概率公式求出对应的测度，即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 分别设两个互相独立的短信收到的时间为x，y．则所有事件集可表示为0≤x≤5，0≤y≤5． 由题目得，如果手机受则到干扰的事件发生，必有|x-y|≤2． 三个不等式联立，则该事件即为x-y=2和y-x=2在0≤x≤5，0≤y≤5的正方形中围起来的图形 即图中阴影区域而所有事件的集合即为正方型面积52=25， 阴影部分的面积 ， 所以阴影区域面积和正方形面积比值即为手机受到干扰的概率为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查几何概型的概率的计算，分别求出对应区域的面积是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎15．设分别为双曲线的左、右焦点，点是双曲线左支上一点， 是的中点，且， ，则双曲线的离心率为_________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用双曲线的定义和△PF1F2为直角三角形，则|PF2|2+|=|PF2|2，=|F1F2|2．，由离心率公式，计算即可得到离心率．‎ ‎【详解】‎ P为双曲线左支上的一点， 则由双曲线的定义可得，|PF2|-|PF1|=2a， 由|PF2|=2|PF1|，则|PF2|=4a，|PF1|=2a， ∵M是PF1的中点，且OM⊥PF1 ∴由△PF1F2为直角三角形，则|PF2|2+|=|PF2|2，=|F1F2|2． ‎ ‎∴5a2=c2 即有e=． 即答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎16．抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，且在第一象限，于点，线段与抛物线交于点，若的斜率为，则 ________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，|PF|=|PM|，于是∠PFM=∠PMF=∠MFO=∠MNQ，设 则 ，利用二倍角公式求出cos∠PFx，列出方程解出λ．‎ ‎【详解】‎ 过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|， 设，则 ，∴．． ∵|PM|=|PF|，∴∠PMF=∠PFM， ． ∵tan∠PFx=， ，解得λ2=10．即λ＝．‎ 即答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的性质，三角函数的恒等变换，属于中档题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．天猫“双”全球狂欢节正在火热进行，某天猫商家对年“双”期间的名网络购物者的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间内，其频率分布直方图如图所示：‎ ‎（1）求直方图中的的值．‎ ‎（2）估计这名网络购物者在年度的消费的中位数和平均数．（保留小数点后三位）‎ ‎【答案】（1）3（2）中位数，平均数 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用频率和为1，求得a．‎ ‎（2）设中位数为，则，可求；平均数 计算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可知，，解得.‎ ‎（2）设中位数为，则，则 平均数 ‎【点睛】‎ 本题考查频率分布直方图的应用，属基础题.‎ ‎18．某公司为研究某产品的广告投入与销售收入之间的关系，对近五个月的广告投入（万元）与销售收入（万元）进行了统计，得到相应数据如下表：‎ 广告投入（万元）‎ 销售收入（万元）‎ ‎（1）求销售收入关于广告投入的线性回归方程．‎ ‎（2）若想要销售收入达到万元，则广告投入应至少为多少.‎ 参考公式： ，‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由表中数据计算平均数和回归系数，求出y关于x的线性回归方程； （2）利用回归方程令，求出的范围即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题意知，‎ ‎，，‎ ‎ 关于的线性回归方程为.‎ ‎（Ⅱ）令，则，即广告投入至少为（万元）.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题．‎ ‎19．已知，设：实数满足， ：实数满足．‎ ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）为真时实数的取值范围是， 为真时实数x的取值范围是，然后求交集即可；（2）是的充分不必要条件即即是的充分不必要条件，易得： 且.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由得 当时， ，即为真时实数的取值范围是. ‎ 由，得，即为真时实数x的取值范围是 ‎ 因为为真，所以真且真，‎ 所以实数的取值范围是. ‎ ‎ （2）由得，‎ 所以， 为真时实数的取值范围是. ‎ 因为 是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件 所以且 ‎ 所以实数的取值范围为： . ‎ ‎20．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且．‎ ‎（1）求抛物线的方程．‎ ‎（2）直线与抛物线交于两个不同的点，若，求实数的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据抛物线的定义4，求出，即可得到抛物线的方程．‎ ‎（2）设，联立，得，‎ 令，得.由，由韦达定理，可得，解出验证即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）已知抛物线过点，且 则， ∴，‎ 故抛物线的方程为．‎ ‎（2）设，‎ 联立，得，‎ ‎ ‎ 且，‎ 由，‎ 则 ‎ ‎ ‎∴，‎ 经检验，当时，直线与抛物线交点中有一点与原点重合，不合题意，‎ 由知 综上，实数的值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，属基础题.‎ ‎21．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶元，售价每瓶元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶元的价格当天全部处理完。据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位:)有关，如果最高气温不低于，需求量为瓶；如果最高气温位于区间，需求量为瓶；如果最高气温低于，需求量为瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：‎ 最高气温 天数 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.‎ ‎（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过瓶的概率；‎ ‎（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位:元)，若该超市在六月份每天的进货量均为瓶，写出的所有可能值，并估计大于零的概率.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率． （2）当温度大于等于25°C时，需求量为500，求出Y=900元；当温度在[20，25）°C时，需求量为300，求出Y=300元；当温度低于20°C时，需求量为200，求出Y=-100元，从而当温度大于等于20时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率 ‎【详解】‎ ‎(1)这种酸奶一天的需求量不超过瓶，当且仅当最高气温低于，‎ 由表格数据知，最高气温低于的频率为， ‎ 所以这种酸奶一天的需求量不超过瓶的概率的估计值为.‎ ‎（2）当这种酸奶一天的进货量为瓶时，‎ 若最高气温不低于，则； ‎ 若最高气温位于区间，则；‎ 若最高气温低于，则.‎ 所以，的所有可能值为.‎ 若大于零当且仅当最高气温不低于，‎ 由表格数据知，最高气温不低于的频率为，‎ 因此大于零的概率的估计值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．‎ ‎22．已知是椭圆的两个焦点，为坐标原点，点在椭圆上，且，是以为直径的圆，直线与相切，并且与椭圆交于不同的两点.‎ ‎（1） 求椭圆的标准方程；‎ ‎（2） 当，且满足时，求弦长的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据点在椭圆上，且，可建立方程，从而可求椭圆M的方程； ‎ ‎ （2）利用直线l：y=kx+m与⊙O：x2+y2=1相切，可得m2=k2+1，进而将直线与椭圆方程联立，可表示弦长，利，，可确定其范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由得，可得，将点代入椭圆方程得，又因为，联立解得，故椭圆方程为．‎ ‎（2）直线与⊙O相切，则。‎ 由得 因为直线与椭圆交于不同的两点．设 ‎∴，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 设，则，‎ 在上单调递增 ，∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题以椭圆为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与圆，与椭圆的位置关系，考查弦长的求解，有较强的综合性．‎