人教版高三数学总复习课时作业59

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课时作业 59 抛物线 一、选择题 1．抛物线 y2＝4x 的焦点到双曲线 x2－y2 3 ＝1 的渐近线的距离是 ( ) A.1 2 B. 3 2 C．1 D. 3 解析：抛物线 y2＝4x 的焦点 F(1,0)，双曲线 x2－y2 3 ＝1 的渐近线 方程是 y＝± 3x，即 3x±y＝0，故所求距离为 | 3±0|  32＋±12 ＝ 3 2 .选 B. 答案：B 2．(2014·辽宁卷)已知点 A(－2,3)在抛物线 C：y2＝2px 的准线上， 记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率为( ) A．－4 3 B．－1 C．－3 4 D．－1 2 解析：准线方程为 x＝－p 2 ＝－2，则 p＝4，焦点为(2,0)，则直线 AF 的斜率 kAF＝ 3－0 －2－2 ＝－3 4. 答案：C 3．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知抛物线 C：y2＝x 的焦点为 F，A(x0， y0)是 C 上一点，|AF|＝5 4x0，则 x0＝( ) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：由题可知准线方程为 x＝－1 4 ，由抛物线定义知|AF|＝5 4x0＝ x0＋1 4 ，解得 x0＝1，选 A. 答案：A 4．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设 F 为抛物线 C：y2＝3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A，B 两点，则|AB|＝( ) A. 30 3 B．6 C．12 D．7 3 解析：由题知 F(3 4 ，0)，则直线的方程为 y＝ 3 3 (x－3 4)，代入抛物 线方程得1 3(x－3 4)2＝3x，即 x2－21 2 x＋ 9 16 ＝0，则 xA＋xB＝21 2 ，∴|AB|＝21 2 ＋3 2 ＝12. 答案：C 5．设 F 为抛物线 y2＝2x 的焦点，A、B、C 为抛物线上三点，若 F 为△ABC 的重心，则|FA→|＋|FB→|＋|FC→|的值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：设 A、B、C 三点的横坐标分别为 x1，x2，x3，由抛物线的 定义|FA→|＝x1＋p 2 ＝x1＋1 2 ，|FB→|＝x2＋1 2 ，|FC→|＝x3＋1 2 ，因 F 为△ABC 的 重心，所以 x1＋x2＋x3＝3×p 2 ＝3 2 ，从而|FA→|＋|FB→|＋|FC→|＝x1＋x2＋x3＋ 3 2 ＝3. 答案：C 6．过抛物线 y2＝4x 焦点 F 的直线交其于 A，B 两点，O 为坐标 原点．若|AF|＝3，则△AOB 的面积为( ) A. 2 2 B. 2 C.3 2 2 D．2 2 解析：设 A(x1，y1)，由抛物线定义得 AF＝x1＋p 2 ＝x1＋1＝3，∴ x1＝2 代入抛物线方程得 y1＝2 2，∴A(2,2 2)．又直线 AB 过 F(1,0) 得 kAB＝2 2，∴直线 AB 的方程为 y＝2 2(x－1)与抛物线联立得 2x2 －5x＋2＝0，解得 x2＝1 2 ，∴B(1 2 ，－ 2)，|AB|＝x2＋x1＋p＝5 2 ＋2＝9 2 ， 又 O 到直线 AB 的距离 d＝2 2 3 ，∴S△AOB＝9 2 ×2 2 3 ×1 2 ＝3 2 2 . 答案：C 二、填空题 7．抛物线 y＝－4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵 坐标是________． 解析：设 M(x0，y0)，y＝－4x2 得 x2＝－1 4y，抛物线的焦点 F(0， － 1 16)，由抛物线定义得－y0＋ 1 16 ＝1，解得 y0＝－15 16. 答案：－15 16 8．如右图，过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 依次交抛物 线及其准线于点 A、B、C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方 程是________． 解析：作 BB′⊥l，AA′⊥l，由抛物线定义得 AF＝AA′＝3， BF＝BB′，由 BC＝2BF＝2BB′得∠BCB′＝30°，作 FM⊥AA′于 M，则∠AFM＝∠BCB′＝30°，AF＝3，则 AM＝3 2 ，则 A′M＝3 2 ＝p， ∴抛物线方程为 y2＝3x. 答案：y2＝3x 9．抛物线 x2＝2py(p>0)的焦点为 F，其准线与双曲线x2 3 －y2 3 ＝1 相 交于 A，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则 p＝________. 解析： 如图，在等边三角形 ABF 中，DF＝p，BD＝ 3 3 p，∴B 点坐标为 3 3 p，－p 2 . 又点 B 在双曲线上，故 1 3p2 3 － p2 4 3 ＝1.解得 p＝6. 答案：6 三、解答题 10．设抛物线 C：y2＝4x，F 为 C 的焦点，过 F 的直线 l 与 C 相 交于 A，B 两点． (1)设 l 的斜率为 1，求|AB|的大小； (2)求证：OA→ ·OB→ 是一个定值． 解：(1)∵由题意可知抛物线的焦点 F 为(1,0)，准线方程为 x＝－1， ∴直线 l 的方程为 y＝x－1， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 y＝x－1， y2＝4x 得 x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6， 由直线 l 过焦点，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8. (2)证明：设直线 l 的方程为 x＝ky＋1， 由 x＝ky＋1， y2＝4x 得 y2－4ky－4＝0. ∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，OA→ ＝(x1，y1)，OB→ ＝(x2，y2)． ∵OA→ ·OB→ ＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2 ＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2 ＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3. ∴OA→ ·OB→ 是一个定值． 11．如图，已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)，焦点为 F，过点 G(p,0) 作直线 l 交抛物线 C 于 A，M 两点，设 A(x1，y1)，M(x2，y2)． (1)若 y1y2＝－8，求抛物线 C 的方程； (2)若直线 AF 与 x 轴不垂直，直线 AF 交抛物线 C 于另一点 B， 直线 BG 交抛物线 C 于另一点 N.求证：直线 AB 与直线 MN 斜率之比 为定值． 解：(1)设直线 AM 的方程为 x＝my＋p，代入 y2＝2px 得 y2－2mpy －2p2＝0， 则 y1y2＝－2p2＝－8，得 p＝2. ∴抛物线 C 的方程为 y2＝4x. (2)设 B(x3，y3)，N(x4，y4)． 由(1)可知 y3y4＝－2p2，y1y3＝－p2. 又直线 AB 的斜率 kAB＝y3－y1 x3－x1 ＝ 2p y1＋y3 ， 直线 MN 的斜率 kMN＝y4－y2 x4－x2 ＝ 2p y2＋y4 ， ∴kAB kMN ＝y2＋y4 y1＋y3 ＝ －2p2 y1 ＋－2p2 y3 y1＋y3 ＝ －2p2 y1y3 y1＋y3 y1＋y3 ＝2. 1．已知直线 l1：4x－3y＋11＝0 和直线 l2：x＝－1，抛物线 y2＝ 4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：因为 x＝－1 恰为抛物线 y2＝4x 的准线，所以可画图观察．如 图，连接 PF.d2＝|PF|， ∴d1＋d2＝d1＋|PF|≥|FQ|＝|4×1－3×0＋11| 42＋－32 ＝15 5 ＝3. 答案：C 2．(2014·辽宁卷)已知点 A(－2,3)在抛物线 C：y2＝2px 的准线上， 过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B，记 C 的焦点为 F，则直线 BF 的斜率为( ) A.1 2 B.2 3 C.3 4 D.4 3 解析：依题意得准线为 x＝－2，从而 y2＝8x，F(2,0)，设直线 AB 为 y－3＝k(x＋2)，由题意， y－3＝kx＋2 y2＝8x 联立Δ＝0，又因交点在 第一象限所以 k>0，解得 k＝1 2 ，所以 B(8,8)则直线 BF 的斜率为8－0 8－2 ＝ 4 3 ，故选 D. 答案：D 3．已知直线 y＝a 交抛物线 y＝x2 于 A，B 两点．若该抛物线上存 在点 C，使得∠ACB 为直角，则 a 的取值范围为________． 解析： 方法 1：如图，以(0，a)为圆心， a为半径作圆，当圆与抛物线 有三个或四个交点时，C 存在． 联立 y＝x2，x2＋(y－a)2＝a 有(y－a)(y－a＋1)＝0. 即 y＝a 或 y＝a－1. 故 a－1≥0，即 a≥1. 方法 2：当 C 与原点重合时，∠ACB 最小． 故若存在 C 使得∠ACB 为直角，则∠AOB≤π 2 ， 即OA→ ·OB→ ≥0，故 a2－a≥0， 又 a>0，所以 a≥1. 答案：[1，＋∞) 4．(2014·安徽卷)如右图，已知两条抛物线 E1：y2＝2p1x(p1>0)和 E2：y2＝2p2x(p2>0)，过原点 O 的两条直线 l1 和 l2，l1 与 E1，E2 分别交 于 A1，A2 两点，l2 与 E1，E2 分别交于 B1，B2 两点． (1)证明：A1B1∥A2B2； (2)过原点 O 作直线 l(异于 l1，l2)与 E1，E2 分别交于 C1，C2 两点．记 △A1B1C1 与△A2B2C2 的面积分别为 S1 与 S2，求S1 S2 的值． 解：(1)证明：设直线 l1，l2 的方程分别为 y＝k1x，y＝k2x(k1，k2≠0)， 则 由 y＝k1x， y2＝2p1x， 得 A1 2p1 k21 ，2p1 k1 ， 由 y＝k1x， y2＝2p2x， 得 A2 2p2 k21 ，2p2 k1 . 同理可得 B1 2p1 k22 ，2p1 k2 ，B2 2p2 k22 ，2p2 k2 . 所以A1B1 → ＝ 2p1 k22 －2p1 k21 ，2p1 k2 －2p1 k1 ＝2p1 1 k22 －1 k21 ，1 k2 －1 k1 ， A2B2 → ＝ 2p2 k22 －2p2 k21 ，2p2 k2 －2p2 k1 ＝2p2 1 k22 －1 k21 ，1 k2 －1 k1 ， 故A1B1 → ＝p1 p2 A2B2 → ，所以 A1B1∥A2B2. (2)由(1)知 A1B1∥A2B2，同理可得 B1C1∥B2C2，C1A1∥C2A2.所以 △A1B1C1∽△A2B2C2. 因此S1 S2 ＝ |A1B1 → | |A2B2 → | 2. 又由(1)中的A1B1 → ＝p1 p2 A2B2 → 知|A1B1 → | |A2B2 → | ＝p1 p2 . 故S1 S2 ＝p21 p22 .