数学理卷·2017届广东省佛山市高三4月教学质量检测（二）（2017

数学理卷·2017届广东省佛山市高三4月教学质量检测（二）（2017

‎2016~2017学年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）‎ 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知为实数集，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．复数（其中为虚数单位），为的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知实数，满足，则的最小值是（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎4．已知等比数列的前项和为，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．若将函数的图象向左平移（）个单位，所得图象关于原点对称，则最小时，（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：‎ 根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（ ）‎ A．样本中的女生数量多于男生数量 B．样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量 C．样本中的男生偏爱理科 D．样本中的女生偏爱文科 ‎9．运行如图所示的程序框图，输出和的值分别为（ ）‎ A．2，15 B．2，7 C．3，15 D．3，7‎ ‎10．直角中，为斜边边的高，若，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知双曲线：（，）的一条渐近线为，圆：与交于，两点，若是等腰直角三角形，且（其中为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设函数（）满足，现给出如下结论：‎ ‎①若是上的增函数，则是的增函数；‎ ‎②若，则有极值；‎ ‎③对任意实数，直线与曲线有唯一公共点.‎ 其中正确结论的个数为（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．若直线与曲线相切，则 ．‎ ‎14．有3女2男共5名志愿者要全部分到3个社区去参加志愿服务，每个社区1到2人，甲、乙两名女志愿者需到同一社区，男志愿者到不同社区，则不同的分法种数为 ．‎ ‎15．已知点，抛物线：（）的准线为，点在上，作于，且，，则 ．‎ ‎16．某沿海四个城市、、、的位置如图所示，其中，，，，，位于的北偏东方向.现在有一艘轮船从出发以的速度向直线航行，后，轮船由于天气原因收到指令改向城市直线航行，收到指令时城市 对于轮船的方位角是南偏西度，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．已知数列满足，，数列的前项和为，且.‎ ‎（Ⅰ）求数列，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎18．某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元.保险公司把职工从事的所有岗位共分为、、三类工种，根据历史数据统计出三类工种的每赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）.‎ ‎（Ⅰ）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，试分别确定各类工种每张保单保费的上限；‎ ‎（Ⅱ）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图，老板准备为全体职工每人购买一份此种保险，并以（Ⅰ）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润.‎ ‎19．如图，矩形中，，，在边上，且，将沿折到的位置，使得平面平面.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎20．已知椭圆：（）的焦距为4，左、右焦点分别为、，且与抛物线：的交点所在的直线经过.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）分别过、作平行直线、，若直线与交于，两点，与抛物线无公共点，直线与交于，两点，其中点，在轴上方，求四边形的面积的取值范围.‎ ‎21．设函数，其中，是自然对数的底数.‎ ‎（Ⅰ）若是上的增函数，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若，证明：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线：，曲线：（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求曲线，的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）曲线：（为参数，，）分别交，于，两点，当取何值时，取得最大值.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）设，且存在，使得，求的取值范围.‎ ‎2016~2017学年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）‎ 数学（理科）参考答案及评分标准 一、选择题 ‎1-5:ABCCB 6-10: CBDCA 11、12：DD 二、填空题 ‎13． 14．12 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：（Ⅰ）因为，，所以为首项是1，公差为2的等差数列，‎ 所以 又当时，，所以，‎ 当时，…① …②‎ 由①-②得，即，‎ 所以是首项为1，公比为的等比数列，故.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎①-②得 所以 ‎18．解：（Ⅰ）设工种的每份保单保费为元，设保险公司每单的收益为随机变量，则的分布列为 保险公司期望收益为 根据规则 解得元，‎ 设工种的每份保单保费为元，赔付金期望值为元，则保险公司期望利润为元，根据规则，解得元，‎ 设工种的每份保单保费为元，赔付金期望值为元，则保险公司期望利润为元，根据规则，解得元.‎ ‎（Ⅱ）购买类产品的份数为份，‎ 购买类产品的份数为份，‎ 购买类产品的份数为份，‎ 企业支付的总保费为元，‎ 保险公司在这宗交易中的期望利润为元.‎ ‎19．解：（Ⅰ）连接交于点，依题意得，所以，‎ 所以，所以，所以，‎ 即，，又，,平面.‎ 所以平面.‎ 又平面，所以.‎ ‎（Ⅱ）因为平面平面，‎ 由（Ⅰ）知，平面，‎ 以为原点，建立空间直角坐标系如图所示.‎ 在中，易得，，，‎ 所以，，，‎ 则，，‎ 设平面的法向量，则，即，解得，‎ 令，得，‎ 显然平面的一个法向量为.‎ 所以，所以二面角的余弦值为.‎ ‎20．解：（Ⅰ）依题意得，则，.‎ 所以椭圆与抛物线的一个交点为，‎ 于是，从而.‎ 又，解得 所以椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）依题意，直线的斜率不为0，设直线：，‎ 由，消去整理得，由得.‎ 由，消去整理得，‎ 设，，则，，‎ 所以，‎ 与间的距离（即点到的距离），‎ 由椭圆的对称性知，四边形为平行四边形，‎ 故，‎ 令，则，‎ 所以四边形的面积的取值范围为.‎ ‎21．解：（Ⅰ），是上的增函数等价于恒成立.‎ 令，得，令（）.以下只需求的最大值.‎ 求导得，‎ 令，，是上的减函数，‎ 又，故1是的唯一零点，‎ 当，，，递增；当，，，递减；‎ 故当时，取得极大值且为最大值，‎ 所以，即的取值范围是.‎ ‎（Ⅱ）.‎ 令（），以下证明当时，的最小值大于0.‎ 求导得.‎ ‎①当时，，；‎ ‎②当时，，令，‎ 则，又，‎ 取且使，即，则，‎ 因为，故存在唯一零点，‎ 即有唯一的极值点且为极小值点，又，‎ 且，即，故，‎ 因为，故是上的减函数.‎ 所以，所以.‎ 综上，当时，总有.‎ ‎22．解：（Ⅰ）因为，，，‎ 的极坐标方程为，‎ 的普通方程为，即，对应极坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）曲线的极坐标方程为（，）‎ 设，，则，，‎ 所以 ‎，‎ 又，，‎ 所以当，即时，取得最大值.‎ ‎23．解：（Ⅰ）当时，不等式即，等价于 或或 解得或或 即不等式的解集为.‎ ‎（Ⅱ）当时，，不等式可化为，‎ 若存在，使得，则，‎ 所以的取值范围为.‎