2019-2020学年四川省成都市外国语学校高一上学期期中数学试题(解析版)

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2019-2020学年四川省成都市外国语学校高一上学期期中数学试题(解析版)

‎2019-2020学年四川省成都市外国语学校高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1.设集合,.若,则 (   )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵ 集合,,‎ ‎ ∴是方程的解,即 ‎ ∴‎ ‎ ∴,故选C ‎2.函数的图象大致是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据函数定义域,可排除AB选项,由复合函数单调性可排除C选项,即可确定正确选项.‎ ‎【详解】‎ 函数 则定义域为,解得,所以排除A、B选项 因为为单调递减函数, 在时为单调递减函数 由复合函数单调性可知为单调递增函数,所以排除C选项 综上可知,D为正确选项 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查了根据函数解析式判断函数图像,注意从定义域、单调性、奇偶性、特殊值等方面对比选项,即可得正确答案,属于基础题.‎ ‎3.函数的零点所在区间为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据零点存在定理,即可判断零点所在的区间.‎ ‎【详解】‎ 函数 则 根据零点存在定理可知,在内必有零点.‎ 而函数单调递增且连续,仅有一个零点.所以零点只能在内.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查了函数零点的判断,零点存在定理的简单应用,属于基础题.‎ ‎4.一水池有两个进水口,一个出水口,每个进水口的进水速度如图甲所示.出水口的出水速度如图乙所示,某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示.‎ 给出以下3个论断:①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水,则一定正确的是(  )‎ A.① B.①②‎ C.①③ D.①②③‎ ‎【答案】A ‎【解析】由甲,乙图得进水速度1,出水速度2,结合丙图中直线的斜率解答.‎ ‎【详解】‎ 由甲、乙两图可知进水速度为1,出水速度为2,结合丙图中直线的斜率,只进水不出水时,蓄水量增加速度是2,故①正确;不进水只出水时,蓄水量减少速度是2,故②不正确;两个进水一个出水时,蓄水量减少速度也是0,故③不正确.‎ ‎【点睛】‎ 数形结合是解决此题的关键,本题关键是抓住斜率为解题的突破口.‎ ‎5.已知,则下列关系正确的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据对数函数及指数函数的单调性,选取中间值即可比较大小.‎ ‎【详解】‎ 根据对数函数及指数函数的图像和性质可知:‎ ‎,所以 ‎,所以 所以 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数、对数函数的性质,中间值法比较大小的应用,属于基础题.‎ ‎6.函数的零点的个数为( )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】C ‎【解析】画出函数图像,根据两个函数图像的交点个数即可判断零点个数.‎ ‎【详解】‎ 函数的零点 即为,所以 画出两个函数图像如下图所示:‎ 根据图像及指数函数的增长趋势,可知两个函数有3个交点,所以函数有3个零点 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查了函数零点个数的判断,画出函数图像是常见的判断方法,属于基础题.‎ ‎7.方程的一根在区间内,另一根在区间内,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】设,‎ 又方程的一根在区间内,另一根在区间内,‎ ‎∴即解得:‎ 故选:B ‎8.若数,且,则( )‎ A. B.4 C.3 D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】将函数变形为,可知右端为奇函数,根据奇函数性质即可求得的值.‎ ‎【详解】‎ 将函数变形为 令 则 所以 即 所以为奇函数 因为,‎ 所以由代入可得 两式相加可得 所以 即 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查了奇函数的性质及简单应用,对数式的化简技巧,属于基础题.‎ ‎9.已知函数,若,且,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出函数的图像,根据图像分析出的取值范围,即可求得的范围.‎ ‎【详解】‎ 因为函数 画出函数图像如下图所示:‎ 因为且,不妨设 当时,或 所以 ‎ 因为 即,去绝对值可得 所以,根据对数运算得 即 所以 因为,由对勾函数的图像与性质可知 则 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查了对数函数的图像与性质,对数求值的简单应用,属于基础题.‎ ‎10.已知表示两数中的最大值,若,则的最小值为( )‎ A. B.1 C. D.2‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意画出两个函数图像,取得最大值的最小值即可.‎ ‎【详解】‎ 根据函数,画出图像如下图所示:‎ 取最大值后函数图像为:‎ 由图像可知,当时取得最小值,即 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查了函数图像的画法,取大、取小函数的求值,利用图像法分析是常用方法,属于中档题.‎ ‎11.给出下列命题,其中正确的命题的个数( )‎ ‎①函数图象恒在轴的下方;‎ ‎②将的图像经过先关于轴对称,再向右平移1个单位的变化后为的图像;‎ ‎③若函数的值域为,则实数的取值范围是;‎ ‎④函数的图像关于对称的函数解析式为 A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】C ‎【解析】对于①根据复合函数的单调性求得最值即可判断;‎ 对于②根据函数图像的翻折、平移变化即可判断;‎ 对于③根据对数函数值域为R时,判别式满足的条件,即可求得的取值范围;‎ 对于④根据关于对称的函数互为反函数,求得反函数即可判断.‎ ‎【详解】‎ 对于①函数,由复合函数的单调性判断方法可知,‎ 函数在时单调递增,在时单调递减.即在处取得最大值.‎ 所以,所以函数图像恒在轴的下方,所以①正确;‎ 对于②的图像经过先关于轴对称,可得;再向右平移1个单位可得,所以②正确;‎ 对于③函数的值域为,则满足能取到所有的正数.即满足,解不等式可得或,所以③错误.‎ 对于④函数的图像关于对称的函数为的反函数,根据指数函数与对数函数互为反函数可知,其反函数为,所以④正确.‎ 综上可知,正确的有①②④‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质,函数图像的平移变换和反函数的概念,综合性强,属于中档题.‎ ‎12.若函数,则使不等式有解时,实数的最小值为( )‎ A.0 B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据对数运算,将函数解析式变形化简,结合打勾函数的图像与性质即可求得函数的最大值,进而求得实数的最小值.‎ ‎【详解】‎ 函数 由对数运算化简可得 由对勾函数的图像与性质可知 因为不等式有解 所以 即 所以实数的最小值为 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查了对数的运算化简,对勾函数的图像与性质的应用,不等式有解的解法,属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13.函数恒过定点的坐标为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据对数函数的图像与性质即可求得函数过定点的坐标.‎ ‎【详解】‎ 函数 当时, ‎ 所以定点坐标为 故答案为: ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对数函数的图像与性质,对数函数过定点的求法,属于基础题.‎ ‎14.若,则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据函数解析式求法,先求得的解析式,再代入求值即可.‎ ‎【详解】‎ 因为函数 令 则 所以 即 所以 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数解析式的求法,函数求值,属于基础题.‎ ‎15.若函数是奇函数.则实数_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据奇函数,即可求得的值,进而得的值.‎ ‎【详解】‎ 函数是奇函数 所以满足,即 化简后可得 ‎ 因为对于任意上式恒成立,所以满足 解方程可得或 所以 故答案为: ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了奇函数的性质及简单应用,注意方程恒成立的条件,不要漏解,属于中档题.‎ ‎16.已知函数若存在实数且使得函数成立,则实数的取值范围为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】讨论对数函数的底数的两种情况:.画出图像即可研究存在不相等实数使函数成立的情况.‎ ‎【详解】‎ 当时,函数的图像如下图所示:‎ 所以此时存在实数使得恒成立,‎ 当时,函数图像如下图所示:‎ 若存在实数使得恒成立,‎ 则,解不等式可得 综上可知, 实数的取值范围为或 故答案为: ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数图像的综合应用,分类讨论思想的用法,属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17.已知全集,集合,集合是的定义域.‎ ‎(1)当时,求集合;‎ ‎(2)若,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】(1)代入的值,可得集合A,根据对数的图像与性质求得集合B,进而求得集合.‎ ‎(2)根据集合关系可知,即B为的子集,根据包含关系即可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为 则 根据对数图像与性质可知的定义域为 所以 ‎(2)解不等式可得 所以,‎ 因为 所以 所以,即 实数的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查了集合与集合的关系,集合的交集与补集运算,属于基础题.‎ ‎18.求下列各式的值 ‎(1);‎ ‎(2)已知,求值.‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】(1)由指数幂及对数的运算,化简即可求解.‎ ‎(2)根据完全平方公式及立方和公式,化简即可求值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)根据指数幂与对数的运算,化简可得 ‎(2)因为 两边同时平方可得 所以 由立方和公式及完全平方公式化简可得 ‎【点睛】‎ 本题考查了指数幂及对数的化简求值,完全平方公式及立方和公式的应用,对计算要求较高,属于基础题.‎ ‎19.设函数 ‎(1)解关于的方程;‎ ‎(2)令,求的值.‎ ‎【答案】(1)或(2)‎ ‎【解析】(1)根据题意,将代入原方程化简可得关于的方程,利用换元法令,转化为关于的一元二次方程,解方程即可求得的值.‎ ‎(2)根据解析式,分析并计算可知为定值,即可求值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为函数 代入可得 令 则 解得或 即或 解得或 ‎(2)根据题意 则 所以 且 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查了根据函数解析式求值,函数性质的分析及应用,指数幂的化简求值,属于基础题.‎ ‎20.已知函数为偶函数,且.‎ ‎(1)求的值,并确定的解析式;‎ ‎(2)若且),是否存在实数,使得在区间上为减函数.‎ ‎【答案】(1)或,(2)存在;‎ ‎【解析】(1)根据函数为偶函数,且可知且为偶数,即可求得的值,进而确定的解析式.‎ ‎(2)将(1)所得函数的解析式代入即可得的解析式.根据复合函数单调性对底数分类讨论,即可求得在区间上为减函数时实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为 则,解不等式可得 ‎ 因为 则或或 又因为函数为偶函数 所以为偶数 当时, ,符合题意 当时, ,不符合题意,舍去 当时, ,符合题意 综上可知, 或 此时 ‎(2)存在.理由如下:‎ 由(1)可得 则且 当时,根据对数函数的性质可知对数部分为减函数.根据复合函数单调性判断方法可知, 在上为增函数且满足在上恒成立 即解不等式组得 当时,根据对数函数的性质可知对数部分为增函数.根据复合函数单调性判断方法可知, 在上为减函数且满足在上恒成立 即解不等式组得 综上可知,当或时, 在上为减函数 所以存在实数,满足在上为减函数 ‎【点睛】‎ 本题考查了幂函数的定义及性质,复合函数单调性的判断及应用,分类讨论思想的用法,属于中档题.‎ ‎21.已知是定义在上的奇函数,且,若对于任意的且有恒成立.‎ ‎(1)判断在上的单调性,并证明你的结论;‎ ‎(2)若函数有零点,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)增函数;证明见解析. (2)‎ ‎【解析】(1)在定义域内任取,代入作差,结合即可证明单调性.‎ ‎(2)根据零点的定义, 结合奇函数性质即可转化为关于的方程,通过分离参数将方程转化为对勾函数,即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)函数在上单调递增.‎ 证明:因为定义在上的奇函数 则 任取,且 ‎ 则 因为时有恒成立.‎ 所以,即 所以在上单调递增 ‎(2)因为定义在上的奇函数,且 所以 若函数有零点 即有解 所以有解即可.‎ 则 因为 所以 即 ‎【点睛】‎ 本题考查了用定义证明函数的单调性,函数零点的综合应用,对勾函数求参数取值范围的方法,属于中档题.‎ ‎22.已知函数是奇函数.‎ ‎(1)求实数的值;‎ ‎(2)若,对任意有恒成立,求实数取值范围;‎ ‎(3)设,若,问是否存在实数使函数在上的最大值为?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2) (3)不存在,理由见解析.‎ ‎【解析】(1)根据定义域为R且为奇函数可知, 代入即可求得实数的值.‎ ‎(2)由(1)可得函数的解析式,并判断出单调性.根据将不等式转化为关于的不等式,结合时不等式恒成立,即可求得实数取值范围;‎ ‎(3)先用表示函数.根据求得的解析式,根据单调性利用换元法求得的值域.结合对数的定义域,即可求得的取值范围.根据对数型复合函数的单调性,即可判断在的取值范围内能否取到最大值0.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)函数的定义域为R,且为奇函数 所以,即 ‎ 解得 ‎ ‎(2)由(1)可知当时, ‎ 因为,即 解不等式可得 所以在R上单调递减,且 所以不等式可转化为 根据函数在R上单调递减 所不等式可化为 即不等式在恒成立 所以恒成立 化简可得 由打勾函数的图像可知,当时,‎ 所以 ‎(3)不存在实数.理由如下:‎ 因为 代入可得,解得或(舍)‎ 则,‎ 令,易知在R上为单调递增函数 所以当时, ,‎ 则 根据对数定义域的要求,所以满足在上恒成立 即在上恒成立 令,‎ 所以,即 又因为 所以 ‎ 对于二次函数,开口向上,对称轴为 ‎ 因为 所以 所以对称轴一直位于的左侧,即二次函数在内单调递增 所以,‎ 假设存在满足条件的实数,则:‎ 当时, 由复合函数单调性的判断方法,可知为减函数,所以根据可知,即 解得,所以舍去 当时, 复合函数单调性的判断方法可知为增函数,所以根据可知,即 解得,所以舍去 综上所述,不存在实数满足条件成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数奇偶性的性质及应用,不等式恒成立问题的解法,复合函数单调性的判断及最值求法,含参数的分类讨论思想的综合应用,综合性强,属于难题.‎
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