【数学】2018届一轮复习人教A版第5章热点探究课3数列中的高考热点问题学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第5章热点探究课3数列中的高考热点问题学案

热点探究课(三)　数列中的高考热点问题 ‎[命题解读]　数列在中学数学中既具有独立性，又具有较强的综合性，是初等数学与高等数学的一个重要衔接点．本专题的热点题型有：一是等差、等比数列的综合问题；二是数列的通项与求和；三是数列与函数、不等式的交汇，难度中等．‎ 热点1　等差、等比数列的综合问题 解决等差、等比数列的综合问题，关键是理清两种数列的项之间的关系，并注重方程思想的应用，等差(比)数列共涉及五个量a1，an，Sn，d(q)，n，“知三求二”．‎ ‎　已知{an}是等比数列，前n项和为Sn(n∈N*)，且－＝，S6＝63.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an＋1的等差中项，求数列{(－1)nb}的前2n项和．‎ ‎[解]　(1)设数列{an}的公比为q.‎ 由已知，有－＝，‎ 解得q＝2或q＝－1.2分 又由S6＝a1·＝63，知q≠－1，‎ 所以a1·＝63，得a1＝1.‎ 所以an＝2n－1.6分 ‎(2)由题意，得bn＝(log2an＋log2an＋1)‎ ‎＝(log22n－1＋log22n)＝n－，‎ 即{bn}是首项为，公差为1的等差数列.10分 设数列{(－1)nb}的前n项和为Tn，则 T2n＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b)‎ ‎＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n ‎＝＝2n2.15分 ‎[规律方法]　1.若{an}是等差数列，则{ban}(b>0，且b≠1)是等比数列；若{an}是正项等比数列，则{logban}(b>0，且b≠1)是等差数列．‎ ‎2．对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以便实现等差、等比数列之间的相互转化．‎ ‎[对点训练1]　已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ>0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设a1>0，λ＝100.当n为何值时，数列的前n项和最大？‎ ‎[解]　(1)取n＝1，得λa＝2S1＝‎2a1，a1(λa1－2)＝0.‎ 若a1＝0，则Sn＝0.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝0－0＝0，‎ 所以an＝0(n≥1).2分 若a1≠0，则a1＝.‎ ‎ 当n≥2时，2an＝＋Sn,2an－1＝＋Sn－1，‎ 两式相减得2an－2an－1＝an，‎ 所以an＝2an－1(n≥2)，从而数列{an}是等比数列，‎ 所以an＝a1·2n－1＝·2n－1＝.‎ 综上，当a1＝0时，an＝0；当a1≠0时，an＝.6分 ‎(2)当a1>0，且λ＝100时，令bn＝lg，‎ 由(1)知，bn＝lg＝2－nlg 2.9分 所以数列{bn}是单调递减的等差数列，公差为－lg 2.‎ b1>b2>…>b6＝lg＝lg>lg 1＝0，‎ 当n≥7时，bn≤b7＝lg＝lg＝＝，‎ ‎12分 所以Tn>2×××…×＝.‎ 综上可得，对任意的n∈N*，均有Tn≥.14分 ‎[规律方法]　解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法等．总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了．‎ 热点探究训练(三)　数列中的高考热点问题 ‎1．已知数列{an}是等比数列，a2＝4，a3＋2是a2和a4的等差中项．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝2log2an－1，求数列{anbn}的前n项和Tn.‎ ‎[解]　(1)设数列{an}的公比为q，‎ 因为a2＝4，所以a3＝4q，a4＝4q2.2分 因为a3＋2是a2和a4的等差中项，所以2(a3＋2)＝a2＋a4.‎ 即2(4q＋2)＝4＋4q2，化简得q2－2q＝0.‎ 因为公比q≠0，所以q＝2.‎ 所以an＝a2qn－2＝4×2n－2＝2n(n∈N*).6分 ‎(2)因为an＝2n，所以bn＝2log2an－1＝2n－1，‎ 所以anbn＝(2n－1)2n，7分 则Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n，①‎ ‎2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)2n＋1.②‎ 由①－②得，－Tn＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n－1)2n＋1‎ ‎＝2＋2×－(2n－1)2n＋1‎ ‎＝－6－(2n－3)2n＋1，‎ 所以Tn＝6＋(2n－3)2n＋1.14分 ‎2．已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，试求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎[解]　(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，‎ 则f′(x)＝2ax＋b.‎ 由f′(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2，‎ 所以f(x)＝3x2－2x.2分 又因为点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上，‎ 所以Sn＝3n2－2n.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5；‎ 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＝6×1－5，‎ 所以an＝6n－5(n∈N*).6分 ‎(2)由(1)得bn＝＝ ‎＝，10分 故Tn＝‎ ＝‎ ＝.14分 ‎3．(2017·宁波镇海中学模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S3＝6.正项数列{bn}满足b1·b2·b3·…·bn＝2Sn.‎ ‎(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2)若λbn>an，对n∈N*均成立，求实数λ的取值范围．‎ ‎[解]　(1)∵等差数列{an}中，a1＝1，S3＝6，‎ ‎∴d＝1，故an＝n.2分 由 ‎①÷②得bn＝2Sn－Sn－1＝2an＝2n(n≥2)，‎ b1＝2S1＝21＝2，满足通项公式，故bn＝2n.6分 ‎(2)λbn>an恒成立，即λ>恒成立，8分 设cn＝，则＝，‎ 当n≥1时，cn＋1≤cn，{cn}单调递减，‎ ‎∴(cn)max＝c1＝，故λ>，∴λ的取值范围是.14分 ‎4．已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.‎ ‎(1)若‎2a2，a3，a2＋2成等差数列，求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝，证明：e1＋e2＋…＋en>. ‎ ‎【导学号：51062179】‎ ‎[解]　(1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1，Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得到an＋2＝qan＋1，n≥1.‎ 又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，‎ 故an＋1＝qan对所有n≥1都成立，‎ 所以数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列.3分 从而an＝qn－1.‎ 由2a2，a3，a2＋2成等差数列，可得 ‎2a‎3＝‎3a2＋2，即2q2＝3q＋2，则(2q＋1)(q－2)＝0.‎ 由已知，q>0，故q＝2.‎ 所以an＝2n－1(n∈N*).6分 ‎(2)证明：由(1)可知，an＝qn－1，‎ 所以双曲线x2－＝1的离心率en＝＝.9分 由e2＝＝，解得q＝.‎ 因为1＋q2(k－1)>q2(k－1)，所以>qk－1(k∈N*).12分 于是e1＋e2＋…＋en>1＋q＋…＋qn－1＝，‎ 故e1＋e2＋…＋en>.14分