2019高三数学文北师大版一轮课时分层训练44+直线与圆、圆与圆的位置关系

2019高三数学文北师大版一轮课时分层训练44+直线与圆、圆与圆的位置关系

课时分层训练(四十四)　‎ 直线与圆、圆与圆的位置关系 ‎ (对应学生用书第269页)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)‎ A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 B　[由题意知点在圆外，则a2＋b2>1，圆心到直线的距离d＝<1，故直线与圆相交．]‎ ‎2．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是(　　)‎ ‎ 【导学号：00090284】‎ A．－2 B．－4‎ C．－6 D．－8‎ B　[由x2＋y2＋2x－2y＋a＝0，‎ 得(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，‎ 所以圆心坐标为(－1,1)，半径r＝，‎ 圆心到直线x＋y＋2＝0的距离为＝，‎ 所以22＋()2＝2－a，解得a＝－4.]‎ ‎3．(2018·南昌模拟)若圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)内切，则ab的最大值为(　　)‎ A． B．2‎ C．4 D．2 B　[圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)．‎ 化为(x－a)2＋y2＝9，圆心坐标为(a,0)，半径为3.‎ 圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)，化为x2＋(y＋b)2＝1，圆心坐标为(0，－b)，半径为1，‎ ‎∵圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)内切，‎ ‎∴＝3－1，即a2＋b2＝4，ab≤(a2＋b2)＝2.‎ ‎∴ab的最大值为2.]‎ ‎4．(2017·河北衡水中学三模)已知圆C：(x－1)2＋y2＝25，则过点P(2，－1)的圆C的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是(　　)‎ A．10 B．9 C．10 D．9 C　[易知最长弦为圆的直径10.又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC|＝，∴最短弦的长为2＝2＝2.故所求四边形的面积S＝×10×2＝10]．‎ ‎5．(2018·福州模拟)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为(　　)‎ A．y＝－ B．y＝－ C．y＝－ D．y＝－ B　[圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC|＝＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，‎ 将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－.故选B．]‎ 二、填空题 ‎6．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为________________．‎ x＋y－3＝0　[∵圆C1的圆心C1(3,0)，圆C2的圆心C2(0,3)，‎ ‎∴直线C1C2的方程为x＋y－3＝0，‎ AB的中垂线即直线C1C2，故其方程为x＋y－3＝0.]‎ ‎7．若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝__________.‎ ‎2　[如图，过点O作OD⊥AB于点D，则 ‎|OD|＝＝1.‎ ‎∵∠AOB＝120°，OA＝OB，‎ ‎∴∠OBD＝30°，‎ ‎∴|OB|＝2|OD|＝2，即r＝2.]‎ ‎8．(2017·安徽十校联考)已知圆C：(x＋2)2＋y2＝4，直线l：kx－y－2k＝0(k∈R)，若直线l与圆C恒有公共点，则实数k的最小值是__________. ‎ ‎【导学号：00090285】‎ ‎－　[圆心C(－2,0)，半径r＝2.‎ 又圆C与直线l恒有公共点．‎ 所以圆心C(－2,0)到直线l的距离d≤r.‎ 因此≤2，解得－≤k≤.‎ 所以实数k的最小值为－.]‎ 三、解答题 ‎9．已知点A(1，a)，圆x2＋y2＝4.‎ ‎(1)若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；‎ ‎(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为2，求a的值．‎ ‎[解]　(1)由于过点A的圆的切线只有一条，‎ 则点A在圆上，故12＋a2＝4，∴a＝±. 2分 当a＝时，A(1，)，易知所求切线方程为x＋y－4＝0；‎ 当a＝－时，A(1，－)，易知所求切线方程为x－y－4＝0. 5分 ‎(2)设过点A的直线方程为x＋y＝b，‎ 则1＋a＝b，即a＝b－1， 8分 又圆心(0,0)到直线x＋y＝b的距离d＝，‎ ‎∴2＋2＝4，则b＝±.‎ 因此a＝b－1＝±－1. 12分 ‎10．(2017·唐山模拟)已知定点M(0,2)，N(－2,0)，直线l：kx－y－2k＋2＝0(k为常数)．‎ ‎(1)若点M，N到直线l的距离相等，求实数k的值；‎ ‎(2)对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，求实数k的取值范围．‎ ‎[解]　(1)∵点M，N到直线l的距离相等，‎ ‎∴l∥MN或l过MN的中点．‎ ‎∵M(0,2)，N(－2,0)，∴直线MN的斜率kMN＝1，‎ MN的中点坐标为C(－1,1). 3分 又∵直线l：kx－y－2k＋2＝0过定点D(2,2)，‎ ‎∴当l∥MN时，k＝kMN＝1；‎ 当l过MN的中点时，k＝kCD＝.‎ 综上可知，k的值为1或. 6分 ‎(2)∵对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，‎ ‎∴l与以MN为直径的圆相离，即圆心(－1,1)到直线l的距离大于半径，10分 ‎∴d＝>，解得k<－或k>1. 12分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2015·山东高考)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)‎ A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－ D　[由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝＝1，解得k＝－或k＝－，故选D．]‎ ‎2．(2017·济南质检)过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·＝__________.‎ ‎ 【导学号：00090286】‎ 　[如图所示，可知OA⊥AP，OB⊥BP，OP＝＝2.‎ 又OA＝OB＝1，可以求得AP＝BP＝，∠APB＝60°.‎ 故·＝××cos 60°＝.]‎ ‎3．已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝4，点O是坐标原点，直线l：y＝kx与圆C交于M，N两点．‎ ‎(1)求k的取值范围；‎ ‎(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比为的两段弧？‎ 若能，求出直线l的方程；若不能，请说明理由．‎ ‎[解]　(1)将y＝kx代入圆C的方程x2＋(y－4)2＝4.‎ 得(1＋k2)x2－8kx＋12＝0. 2分 ‎∵直线l与圆C交于M，N两点，‎ ‎∴Δ＝(－8k)2－4×12(1＋k2)>0，得k2>3，(*)‎ ‎∴k的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞). 5分 ‎(2)假设直线l将圆C分割成弧长的比为的两段弧，‎ 则劣弧所对的圆心角∠MCN＝90°，‎ 由圆C：x2＋(y－4)2＝4知圆心C(0,4)，半径r＝2. 8分 在Rt△MCN中，可求弦心距d＝r·sin 45°＝，‎ 故圆心C(0,4)到直线kx－y＝0的距离＝，‎ ‎∴1＋k2＝8，k＝±，经验证k＝±满足不等式(*)， 10分 故l的方程为y＝±x.‎ 因此，存在满足条件的直线l，其方程为y＝±x. 12分