2018届高三数学一轮复习： 第2章 第9节 函数模型及其应用

2018届高三数学一轮复习： 第2章 第9节 函数模型及其应用

第九节　函数模型及其应用 ‎[考纲传真]　1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．‎ ‎1．常见的几种函数模型 ‎(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．‎ ‎(2)反比例函数模型：y＝＋b(k，b为常数且k≠0)．‎ ‎(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．‎ ‎(4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)．‎ ‎(5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)．‎ ‎(6)幂函数模型：y＝a·xn＋b(a≠0)．‎ ‎2．三种函数模型之间增长速度的比较 ‎　　函数 性质　　‎ y＝ax(a＞1)‎ y＝logax(a＞1)‎ y＝xn(n＞0)‎ 在(0，＋∞)‎ 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax ‎3.解函数应用问题的步骤(四步八字)‎ ‎(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；‎ ‎(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；‎ ‎(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；‎ ‎(4)还原：将数学问题还原为实际问题．‎ 以上过程用框图表示如下：‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　　)‎ ‎(2)幂函数增长比直线增长更快．(　　)‎ ‎(3)不存在x0，使ax0＜x＜logax0.(　　)‎ ‎(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)＜f(x)＜g(x)．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到(　　)‎ A．100只　　　　　　　 B.200只 C．300只 D.400只 B　[由题意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)，当x＝8时，y＝100log3 9＝200.]‎ ‎3．(教材改编)在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　)‎ x ‎1.95‎ ‎3.00‎ ‎3.94‎ ‎5.10‎ ‎6.12‎ y ‎0.97‎ ‎1.59‎ ‎1.98‎ ‎2.35‎ ‎2.61‎ A.y＝2x B.y＝log2x C．y＝(x2－1) D.y＝2.61cos x B　[由表格知当x＝3时，y＝1.59，而A中y＝23＝8，不合要求，B中y＝log23∈(1,2)，C中y＝(32－1)＝4，不合要求，D中y＝2.61cos 3＜0，不合要求，故选B.]‎ ‎4．一根蜡烛长‎20 cm，点燃后每小时燃烧‎5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为(　　) ‎ ‎【导学号：01772069】‎ B　[由题意h＝20－5t,0≤t≤4.结合图象知应选B.]‎ ‎5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________．‎ －1　[设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，‎ ‎ ∴x＝－1.]‎ 用函数图象刻画变化过程 ‎　(1)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是(　　)‎ A　　　　　　B　　　　　　　C　 　 　D ‎(2)已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(　　)‎ ‎【导学号：01772070】‎ A　　　　　　B　　　　　　　C　　　　　D ‎(1)A　(2)D　[(1)前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，产品的总产量应呈直线上升，故选A.‎ ‎(2)依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当40)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(　　)‎ D　[y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.]‎ 应用所给函数模型解决实际问题 ‎　某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图291①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图291②.(注：利润和投资单位：万元)‎ ‎①　　　　　　　　　　　　　②‎ 图291‎ ‎(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；‎ ‎(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．‎ ‎①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？‎ ‎②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？‎ ‎[解]　(1)f(x)＝0.25x(x≥0)，g(x)＝2(x≥0).3分 ‎(2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝2＝6，‎ 所以总利润y＝8.25万元.5分 ‎②设B产品投入x万元，A产品投入(18－x)万元，该企业可获总利润为y万元．‎ 则y＝(18－x)＋2，0≤x≤18.7分 令＝t，t∈[0,3]，‎ 则y＝(－t2＋8t＋18)＝－(t－4)2＋.‎ 所以当t＝4时，ymax＝＝8.5，9分 此时x＝16,18－x＝2.‎ 所以当A，B 两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元.12分 ‎[规律方法]　求解所给函数模型解决实际问题的关注点：‎ ‎(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．‎ ‎(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．‎ ‎(3)利用该模型求解实际问题．‎ 易错警示：解决实际问题时要注意自变量的取值范围．‎ ‎[变式训练2]　(2017·西城区二模)某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)＝已知某家庭2016年前三个月的煤气费如下表：‎ 月份 用气量 煤气费 一月份 ‎4 m3‎ ‎4元 二月份 ‎25 m3‎ ‎14元 三月份 ‎35 m3‎ ‎19元 若四月份该家庭使用了‎20 m3‎的煤气，则其煤气费为(　　)‎ A．11.5元　　　　　 B.11元 C．10.5元 D.10元 A　[根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝，C＝4，所以f(x)＝所以f(20)＝4＋(20－5)＝11.5，故选A.]　‎ 构建函数模型解决实际问题 ‎　(1)(2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　)‎ A．2018年 B.2019年 C．2020年 D.2021年 ‎(2)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x ‎>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)‎ ‎(1)B　(2)y＝(x∈N*)　16　[(1)设2015年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n>200，得1.12n>，两边取常用对数，得n>≈＝，∴n≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．‎ ‎(2)当0＜x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x＞20时，y＝260－100－x＝160－x.‎ 故y＝(x∈N*)．‎ 当0＜x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，‎ x＝16时，ymax＝156.而当x＞20时，160－x＜140，‎ 故x＝16时取得最大年利润．]‎ ‎[规律方法]　构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：‎ ‎(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解．‎ ‎(2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法．‎ ‎(3)构建f(x)＝x＋(a＞0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解．‎ 易错警示：求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制．‎ ‎[变式训练3]　(2016·宁波模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．‎ ‎2 500　[L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000＝－Q2＋30Q－2 000＝－(Q－300)2＋2 500.‎ 当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元．]‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础．‎ ‎2．实际问题中往往解决一些最值问题，可以利用二次函数的配方法、函数的单调性、基本不等式等求得最值．‎ ‎3．解函数应用题的程序是：①审题；②建模；③解模；④还原．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型．‎ ‎2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．‎ ‎ 3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．‎