2018届二轮复习　选修部分学案（全国通用）

2018届二轮复习　选修部分学案（全国通用）

第23讲　选修4－4　选修4－5‎ ‎(对应 生用书第118页)‎ 一、选择题 ‎1.(2017·全国Ⅰ卷)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；‎ ‎(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a. ‎ ‎【导 号：07804137】‎ ‎[解]　(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.‎ 当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.‎ 由 解得或 从而C与l的交点坐标为(3,0)，.‎ ‎(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cos θ，sin θ)到l的距离为d＝.‎ 当a≥－4时，d的最大值为.‎ 由题设得＝，所以a＝8; ‎ 当a＜－4时，d的最大值为.‎ 由题设得＝，‎ 所以a＝－16.‎ 综上，a＝8或a＝－16.‎ 选修45：不等式选讲 已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；‎ ‎(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于 x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0. ①‎ 当x<－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；‎ 当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，‎ 从而－1≤x≤1；‎ 当x>1时，①式化为x2＋x－4≤0，‎ 从而1＜x≤.‎ 所以f(x)≥g(x)的解集为.‎ ‎(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2，‎ 所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.‎ 又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，‎ 所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.‎ 所以a的取值范围为[－1,1]．‎ ‎2．(2017·山西五月模拟)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数，φ∈)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心C的极坐标为，半径为2，直线l与圆C交于M，N两点．‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)当φ变化时，求弦长|MN|的取值范围．‎ ‎[解]　由已知，得圆心C的直角坐标为(1，)，半径为2，‎ ‎∴圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－)2＝4，‎ 即x2＋y2－2x－2y＝0，‎ ‎∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ ‎∴ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＝0，‎ 故圆C的极坐标方程为ρ＝4cos.‎ ‎(2)由(1)知，圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y＝0，‎ 将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中得，‎ ‎(2＋tcos φ)2＋(＋tsin φ)2－2(2＋tcos φ)－2(＋tsin φ)＝0，‎ 整理得，t2＋2tcos φ－3＝0，‎ 设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝－2cos φ，t1·t2＝－3，‎ ‎∴|MN|＝|t1－t2|＝＝，‎ ‎∵φ∈，∴cosφ∈，∴|MN|∈[，4]．‎ ‎(2017·郑州第一次质量预测)选修4－5：不等式选讲 已知a>0，b>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|的最小值为4.‎ ‎(1)求a＋b的值；‎ ‎(2)求a2＋b2的最小值．‎ ‎[解]　(1)因为|x＋a|＋|x－b|≥|a＋b|，‎ 所以f(x)≥|a＋b|，当且仅当(x＋a)(x－b)<0时，等号成立，‎ 又a>0，b>0，‎ 所以|a＋b|＝a＋b，所以f(x)的最小值为a＋b，‎ 所以a＋b＝4.‎ ‎(2)由(1)知a＋b＝4，b＝4－a，‎ a2＋b2＝a2＋(4－a)2＝a2－a＋ ‎＝2＋，‎ 当且仅当a＝，b＝时，a2＋b2取到最小值为.‎ ‎3.(2016·全国Ⅰ卷)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2‎ 的公共点都在C3上，求a. ‎ ‎【导 号：07804138】‎ ‎[解]　(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．‎ 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.‎ ‎(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，‎ 由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，‎ 从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.‎ 当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．‎ 所以a＝1.‎ ‎(2016·全国Ⅰ卷)选修45：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.‎ ‎(1)画出y＝f(x)的图象；‎ ‎(2)求不等式|f(x)|>1的解集．‎ 图231‎ ‎[解]　(1)由题意得f(x)＝ 故y＝f(x)的图象如图所示．‎ ‎(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，‎ 当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；‎ 当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.‎ 故f(x)＞1的解集为{x|1＜x＜3}，‎ f(x)＜－1的解集为.‎ 所以|f(x)|＞1的解集为 .‎ ‎4．(2017·石家庄一模)选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，将曲线C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原 的，得到曲线C2.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝2.‎ ‎(1)求曲线C2的参数方程；‎ ‎(2)过坐标原点O且关于y轴对称的两条直线l1与l2分别交曲线C2于A，C和B，D，且点A在第一象限，当四边形ABCD的周长最大时，求直线l1的普通方程．‎ ‎[解](1)由ρ＝2，得ρ2＝4，因为ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2＝4.‎ 由题可得曲线C2的方程为＋y2＝1.‎ 所以曲线C2的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(2)设四边形ABCD的周长为l，点A(2cos θ，sin θ)，‎ 则l＝8cos θ＋4sin θ＝4 ‎＝4sin (θ＋φ)，‎ 其中cos φ＝，sin φ＝.‎ 所以当θ＋φ＝2kπ＋(k∈Z)时，l取得最大值，最大值为4.‎ 此时θ＝2kπ＋－φ(k∈Z)，‎ 所以2cos θ＝2sin φ＝，sin θ＝cos φ＝，‎ 此时A.‎ 所以直线l1的普通方程为y＝x.‎ ‎(2017·全国Ⅱ卷)选修45：不等式选讲 已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：‎ ‎(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4，‎ ‎(2)a＋b≤2.‎ ‎[证明]　(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6‎ ‎＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.‎ ‎(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)‎ ‎≤2＋(a＋b)＝2＋，‎ 所以(a＋b)3≤8，‎ 因此a＋b≤2.‎