湖南省怀化市新博览联考2020届高三上学期期中考试数学理试题

湖南省怀化市新博览联考2020届高三上学期期中考试数学理试题

湖南省怀化市2019-2020学年新博览联考高三（上）期中数学理科试卷 一、选择题 ‎1.已知集合A={x|-1＜x＜2}，，则A∩B=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 分别求出集合A，B，结合集合的交集运算，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，集合A={x|-1＜x＜2}，={x|x≥0}，‎ 所以A∩B={x|0≤x＜2}=[0，2）．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎2.命题“∀x∈N*，x2∈N*且x2≥x”的否定形式是（　　）‎ A. ,且 B. ,或 C. ,且 D. ,或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据全称命题的否定是特称命题，准确改写，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，根据命题的全称命题，则否定是特称命题，‎ 可得命题：“且”的否定为“或”.‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，结合全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键，属于基础题．‎ ‎3.已知数列{an}中，“an+12=an•an+2”是“数列{an}为等比数列”的什么条件（　　）‎ A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合等比数列的性质，以及充分条件和必要条件的定义进行判断，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，若数列{an}为等比数列，则满足an+12=an•an+2，‎ 当数列an=0时满足an+12=an•an+2，但此时数列{an}为等比数列不成立，‎ 即“an+12=an•an+2”是“数列{an}为等比数列”的必要不充分条件，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键，属于基础题基础．‎ ‎4.设函数，若，则b等于（　　）‎ A. 2 B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据题意，由函数的解析式可得f（）3-b，按b的范围分情况讨论，代入函数的解析式，求出b的值，综合可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，函数，则f（）4×-b3-b，‎ 若b≤2，则3-b≥1，‎ 此时f（f（））f（3-b） 4，解可得；‎ 若b＞2，则3-b＜1，‎ 此时f（f（））f（3-b）4×（3-b）-b12-5b4，解可得b，（舍）‎ 故b=1；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的解析式，涉及函数值的计算，其中解答中数列应用分段函数的解析式，结合分段条件，分类讨论求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎5.已知，则cos2α=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用三角函数关系式的恒等变换和三角函数的定义及倍角公式的应用求出结果．‎ ‎【详解】由题意，已知，所以，‎ 利用三角函数的定义，解得，故cos2α=1-2sin2α=．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的变换，倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ ‎6.设向量满足，且与的夹角为，则=（　　）‎ A. 2 B. 4 C. 12 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件可求出，进而求出，从而根据进行数量积的运算，即可求出的值．‎ ‎【详解】由题意，向量满足，‎ 所以，‎ 所以=．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了根据向量得到坐标求向量的长度的方法，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎7.已知等差数列{an}中，a3+a5=π，Sn是其前n项和．则sinS7等于（　　）‎ A. 1 B. 0 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列{an}中，a3+a5=π，利用等差数列的性质，求得，由此能求出sinS7．‎ ‎【详解】由题意，等差数列{an}中，a3+a5=π，‎ 又由==，‎ 所以sinS7==sin（-）=-sin=-1．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列中前7项和的正弦值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则C等于（　　）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用正弦定理余弦定理，即可求得结果，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，知，所以，‎ 因为，解得A=，‎ 由于a=，c=1，所以，解得，‎ 由于c＜a，所以．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.‎ ‎9.设f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+3）=f（x-1），若当x∈[-2，0]时，f（x）=2-x，记，，c=f（32），则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据f（x+3）=f（x-1），得到函数是周期为4的周期函数，结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，因为f（x+3）=f（x-1），所以f（x+4）=f（x），‎ 即函数f（x）是周期为4的周期函数，‎ 当x∈[2，0]时，f（x）=2x，则函数f（x）为减函数，‎ 即当x∈[0，2]时，f（x）为增函数，‎ 又由，则=f（2）=f（2），c=f（32）=f（0），‎ 因为0＜＜2，且当x∈[0，2]时，f（x）为增函数，‎ 所以f（0）＜f（）＜f（2），所以a＞b＞c，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，结合条件求出函数的周期，结合函数的周期性，奇偶性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎10.已知函数，是的导函数，则下列结论中错误的个数是（ ）‎ ‎①函数的值域与的值域相同；‎ ‎②若是函数的极值点，则是函数的零点；‎ ‎③把函数的图像向右平移个单位长度，就可以得到的图像；‎ ‎④函数和在区间内都是增函数.‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数f(x)的导函数g(x)，再分别判断f(x)、g(x)的值域、极值点和零点，图象平移和单调性问题即可一一做出判断，从而得到答案.‎ ‎【详解】， ，‎ ‎①， ，，两函数的值域相同，都是，故①正确； ②，若是函数的极值点，则，，解得，，，也是函数的零点，故②正确；‎ ‎③，把函数的图象向右平移个单位，得，故③错误； ④，时，，是单调增函数，，也是单调增函数，故④正确.‎ 综上所述，以上结论中错误的个数是1.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了两角和与差的正弦公式，正弦函数的单调性，以及三角函数图象的变换，熟练掌握公式和正弦函数的性质是解本题的关键，属中档题.‎ ‎11.在△ABC中，AC⊥AB，AB=2，AC=1，点P是△ABC所在平面内一点，，且满足，若，则2λ+μ的最小值是（　　）‎ A. B. 5 C. 1 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立适当的直角坐标系，分别表示出，，进而表示出，再用参数方程，结合三角函数性质求出范围，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，以A 为原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，‎ 则A（0，0），B（2，0），C（0，1），，，‎ 所以，所以点M满足：（x-1）2+（y-2）2=1，‎ 设M（1+cosθ，2+sinθ），‎ 则由得：（1+cosθ，2+sinθ）=（2λ，μ），‎ 所以，‎ 所以2λ+μ的最小值是3-．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量基本定理，以及三角函数的性质的应用，其中解答中根据向量的平面向量的基本定理，结合三角函数求范围是关键，属于中档题．‎ ‎12.设函数，若存在f（x）的极值点x0满足，则m的取值范围是（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数f′（x）=，利用f′（x0）=0，得到x0=mk，k∈Z，可转化为：k2m2+3＜m2，k∈Z，即要使原问题成立，只需存在k∈Z，使成立即可，转化求解表达式的最值即可．‎ ‎【详解】由题意，函数，可得f′（x）=，‎ 因为是f（x）的极值点，所以，‎ 即，得，k∈Z，即=mk，k∈Z，‎ 所以可转化为：，‎ 即k2m2+3＜m2，k∈Z，即，‎ 要使原问题成立，只需存在k∈Z，使成立即可，‎ 又k2的最小值为0，所以，解得或，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ 二、填空题 ‎13.已知曲线y=ax+lnx在点（1，a）处的切线过点（2，3），则a=______．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导函数，然后确定切线的斜率，可得切线方程，利用曲线在点（1，a）处的切线过点（2，3），建立方程，解之即可求出所求．‎ ‎【详解】由题意，曲线y=ax+lnx，则=a+，当x=1时，=a+1，‎ 所以曲线y=ax+lnx在点（1，a）处的切线方程为，‎ 又因为曲线y=ax+lnx在点（1，a）处的切线过点（2，3），‎ 所以，解得：a=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究在曲线某点处的切线方程，以及导数的几何意义，其中解答中熟记曲线在某点处的切线方程的求法是解答的关键，着重考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎14.已知函数的定义域、值域都是，则__________．‎ ‎【答案】或.‎ ‎【解析】‎ 分析：分类讨论a的取值范围，得到函数的单调性，代入数据即可求解.‎ 详解：当时，易知函数为减函数，‎ 由题意有，解得：，符合题意，此时；‎ 当时，易知函数为增函数，‎ 由题意有，解得，符合题意，此时.‎ 综上可得：的值为或.‎ 故答案为：或.‎ 点睛：在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为{x|x>0}．对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按01进行分类讨论．‎ ‎15.由曲线，直线y=2x，x=2所围成的封闭的图形面积为______．‎ ‎【答案】3-2ln2‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 求出曲线，直线y=2x的交点坐标，根据定积分的几何意义列式，即可求解．‎ ‎【详解】依题意，联立方程组，解得，‎ 所以封闭的图形面积为=（x2-2lnx）=3-2ln2．‎ 故答案为：3-2n2．‎ ‎【点睛】本题考查了定积分的几何意义，定积分的求法，其中解答中确定定积分式，准确运算是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及计算能力，属于基础题．‎ ‎16.用g（n）表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数，例如：6的因数有1，2，3，6，g（6）=3，9的因数有1，3，9，g（9）=9，那么g（1）+g（2）+g（3）+…+g（22019-1）=______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 据题中对的定义，判断出，且若n为奇数则，利用等差数列的前n项和公式及逐差累加的方法及等比数列的前n项和公式，求出 的值．‎ ‎【详解】由的定义易知，且若n为奇数，则，‎ 令，‎ 则 ‎，‎ 即，分别取n为，‎ 累加得，‎ 又，‎ 所以，从而，‎ 令，则所求为：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式、等比数列的前n项和公式、逐差累加的方法等知识点的综合应用，其中解答中认真审题，合理运用等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，熟练应用累加法求和是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17.给定两个命题，p：对任意实数x都有x2+ax+1≥0恒成立；q：幂函数y=xa-1在（0，+∞）内单调递减；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（-∞，-2）∪[1，2]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过两个命题是真命题求出a的范围，然后通过当p真q假时，当p假q真时，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，对任意实数都有x2+ax+1≥0恒成立，则△=a2-4≤0，解得-2≤a≤2，‎ 幂函数y=xa-1在（0，+∞）内单调递减，可得a-1＜0，解得a＜1，‎ 由题意知p与q一真一假，‎ 当p真q假时，有-2≤a≤2且a≥1，得1≤a≤2，‎ 当p假q真时，有a＜-2或a＞2且a＜1，得a＜-2，‎ 综上，所求实数a的取值范围是（-∞，-2）∪[1，2]．‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，以及函数恒成立条件的转化，其中解答中正确求解命题，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及计算能力，属于基础题．‎ ‎18.已知函数．‎ ‎（1）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；‎ ‎（2）若f（x）在区间上的最小值为1，求m的最小值．‎ ‎【答案】（1）．,  ．‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．‎ ‎（2）利用正弦型函数的性质的应用求出结果．‎ ‎【详解】（1）由题意，函数，‎ ‎==，‎ 所以的最小正周期：．‎ 由，解得 即函数的单调递减区间是  ．‎ ‎（2）由（1）知，‎ 因为，所以．‎ 要使f（x）在区间上的最小值为1，‎ 即在区间上的最小值为-1．‎ 所以，即．‎ 所以m的最小值为．‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ ‎19.设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S4=16．‎ ‎（1）求数列{an}，{bn}通项公式；‎ ‎（2）当d＞1时，记，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【答案】（1）或 ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用已知条件建立方程组，求出数列的通项公式．‎ ‎（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出结果．‎ ‎【详解】（1）由题意，可得，即，‎ 解得或，‎ 所以或，‎ 又由，可得或，‎ 所以或.‎ ‎（2）由d＞1，知，，故．‎ 于是：①，‎ ‎②‎ ‎①-②得：，‎ 故．‎ ‎【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.‎ ‎20.已知函数，，‎ ‎（1）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若a=3，且对任意的x1∈[-1，2]，总存在，使g（x1）-f（x2）=0成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令t=x2，则t∈[1，3]，记，问题转化为函数y=h（t）与y=a有两个交点，利用函数的导数判断函数的单调性求解函数的最小值然后求解实数a的范围．‎ ‎（2）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]，通过当m=0时，当m＞0时，当m＜0时，分类求实数m的取值范围，推出结果即可．‎ ‎【详解】（1）由题意，函数，，‎ 令t=x2，则t∈[1，3]，则，‎ 要使得函数f（x）有两个零点，即函数y=h（t）与y=a有两个交点，‎ 因为，当t∈（1，2）时，＜0；当t∈（2，3）时，＞0，‎ 所以函数h（t）在（1，2）递减，（2，3）递增，‎ 从而h（t）min=h（2）=4，，h（1）=5，‎ 由图象可得，当时，y=h（t）与y=a有两个交点，‎ 所以函数f（x）有两个零点时实数a的范围为：．‎ ‎（2）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]，‎ 当m=0时，，显然成立；‎ 当m＞0时，在[-1，2]上单调递增，所以，‎ 记，‎ 由对任意的，总存在，使成立，可得，‎ 所以且，解得，‎ 当m＜0时，在[-1，2]上单调递减，所以，‎ 所以且，截得，‎ 综上，所求实数m的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数取得函数的最值或值域，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ ‎21.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若a=3，求△ABC的周长L的取值范围．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）L∈（6，9]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由条件可得，再结合正弦定理及三个角之间的关系可得，进而求出A；‎ ‎（2）利用余弦定理再结合基本不等式，求得3＜b+c≤6，即可得到周长L的范围．‎ ‎【详解】（1）由题意，，．‎ 所以，‎ 由正弦定理，可得，‎ 因为，所以sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，‎ 又由，则，‎ 整理得，又因为，所以．‎ ‎（2）由（1）和余弦定理，即，‎ 即，整理得，‎ 又由（当且仅当b=c=3时等号成立）‎ 从而，可得b+c≤6，‎ 又b+c＞a=3，∴3＜b+c≤6，从而周长L∈（6，9].‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和的应用，以及基本不等式求最值的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎22.已知函数，函数g（x）=-2x+3．‎ ‎（1）当a=2时，求f（x）的极值；‎ ‎（2）讨论函数的单调性；‎ ‎（3）若-2≤a≤-1，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤t|g（x1）-g（x2）|恒成立，求实数t的最小值．‎ ‎【答案】（1）f（x）极大值=f（1）=0，无极小值 ‎（2）当a≤0时，F（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时，F（x）在单调递增，在单调递减 ‎（3）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当a=2时，利用导数求得函数 的单调区间，进而得到极值．‎ ‎（2）求得，分a≤0和a＞0，两种情况讨论，即可得出函数的单调区间；‎ ‎（3）把不等式转化为f（x2）-f（x1）≤t[g（x1）-g（x2）]，得到f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，令，得到h（x）在[1，2]递减，求得 对任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立，进而转化变量只需要研究，即可求得t的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由题意，当a=2时，函数f（x）=lnx-x2+x，‎ 则．‎ 易知f（x）在（0，1）递增，（1，+∞）递减，‎ 所以函数f（x）极大值为，无极小值．‎ ‎（2）由函数，‎ 则．‎ ‎①a≤0时，＞0，恒成立，∴F（x）在（0，+∞）单调递增；‎ ‎②当a＞0，由＞0得，＜0得，‎ 所以F（x）在单调递增，在单调递减．‎ 综上：当a≤0时，F（x）在（0，+∞）单调递增；‎ 当a＞0时，F（x）在单调递增，在单调递减．‎ ‎（3）由题知t≥0，．‎ 当-2≤a≤-1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2，‎ 又g（x）单调递减，∴不等式等价于f（x2）-f（x1）≤t[g（x1）-g（x2）]．‎ 即f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，‎ 记，则h（x）在[1，2]递减．‎ ‎ 对任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立．‎ 令．‎ 则在[1，2]上恒成立，‎ 则，‎ 而在[1，2]单调递增，∴，所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，考查运算求解能力，以及函数与方程思想，是难题．‎ ‎ ‎