天津市和平区第一中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

天津市和平区第一中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

天津一中2019-2020-1高一年级数学学科期末质量调查 一、选择题（共10小题）‎ ‎1.函数的一个零点所在的区间是(　 )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出根据零点存在性定理得解.‎ ‎【详解】由题得，‎ ‎，‎ 所以 所以函数的一个零点所在的区间是.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎2.设，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，所以，故选A ‎3.若，，则sin=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为，，所以sin==，故选B．‎ 考点：本题主要考查三角函数倍半公式的应用．‎ 点评：简单题，注意角的范围．‎ ‎4.下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（ ）‎ A. y=sin2x+cos2x B. y=sin2xcos2x C. y=cos（4x+）‎ D. y=sin22x﹣cos22x ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】A中，周期为,不是偶函数；‎ B中，周期为，函数为奇函数；‎ C中，周期为，函数为奇函数；‎ D中，周期为，函数为偶函数 ‎5.在中，满足，则这个三角形是（ ）‎ A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可知与符号相同,且均为正,则,即,即可判断选项 ‎【详解】由题,因为,所以与符号相同,‎ 由于在中,与不可能均为负,所以,,‎ 又因为,‎ 所以,即,所以,‎ 所以三角形是锐角三角形 故选：C ‎【点睛】本题考查判断三角形的形状,考查三角函数值的符号 ‎6.已知，，则值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可分析得到,由差角公式,将值代入求解即可 ‎【详解】由题,‎ ‎,‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查正切的差角公式的应用,考查已知三角函数值求三角函数值问题 ‎7.将函数的图象向左平移个长度单位后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由题意得，，令，可得函数图象对称轴方程为，取是轴右侧且距离轴最近的对称轴，因为将函数的图象向左平移 个长度单位后得到的图象关于轴对称，的最小值为，故选B．‎ 考点：两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质，将三角函数图象向左平移个单位，所得图象关于轴对称，求的最小值，着重考查了三角函数的化简、三角函数图象的对称性等知识的灵活应用，本题的解答中利用辅助角公式，化简得到函数,可取出函数的对称轴，确定距离最近的点，即可得到结论．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎8.函数的在一个周期内的图象如图，此函数的解析式（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图像可得,利用对称性求得,即,再将代入求解即可 ‎【详解】由题,最大值为2,则,‎ 相邻的对称轴为和,所以,则,所以,‎ 因为点在曲线上,所以,即,‎ 所以,‎ 当时,,即,‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查由三角函数图像求解析式,考查数形结合思想和运算能力 ‎9.对于函数的图象，关于直线对称；关于点对称；可看作是把的图象向左平移个单位而得到；可看作是把的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍而得到以上叙述正确的个数是　　‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由判断；由判断；由的图象向左平移个单位，得到的图象判断；由的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象判断.‎ ‎【详解】对于函数的图象，令，求得，不是最值，故不正确； 令，求得，可得的图象关于点对称，故正确； 把的图象向左平移个单位，得到的图象，故不正确； ‎ 把的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，故正确，故选B．‎ ‎【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查三角函数的对称性以及三角函数的图象的变换规律，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.‎ ‎10.已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是 A B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数，由，可得 ‎ ‎ ，，因此即可得出．‎ ‎【详解】函数 ‎ ‎ 由，可得 ‎ 解得 ， ‎ ‎∵ 在区间内没有零点， .‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ 二、填空题（共6小题）‎ ‎11.已知点是角终边上一点，且，则的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角函数定义可得,进而求解即可 ‎【详解】由题,,所以,‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查由三角函数值求终边上的点,考查三角函数定义的应用 ‎12.已知，且，则的值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据同角的三角函数的关系，利用结合两角和的余弦公式即可求出．‎ ‎【详解】， ‎ ‎ ， ， ， ‎ ‎， 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查同角的三角函数的关系，两角和的余弦公式，属于中档题.已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值，角的变换是解题的关键．‎ ‎13.已知一个扇形的弧长为，其圆心角为，则这扇形的面积为______．‎ ‎【答案】2 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据孤长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可.‎ ‎【详解】设扇形半径为，圆心角为，‎ 弧长，可得=4，‎ 这条弧所在的扇形面积为，故答案为 .‎ ‎【点睛】本题主要考査扇形的面积公式和弧长公式，意在考查对基础知识与基本公式掌握的熟练程度，属于中档题.‎ ‎14.已知函数，若，则_____．‎ ‎【答案】-2020‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，设g（x）＝f（x）+1＝asinx+btanx，分析g（x ‎）为奇函数，结合函数的奇偶性可得g（2）+g（﹣2）＝f（2）+1+f（﹣2）+1＝0，计算可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，函数f（x）＝asinx+btanx﹣1，设g（x）＝f（x）+1＝asinx+btanx，‎ 有g（﹣x）＝asin（﹣x）+btan（﹣x）＝﹣（asinx+btanx）＝﹣g（x），‎ 则函数g（x）为奇函数，‎ 则g（2）+g（﹣2）＝f（2）+1+f（﹣2）+1＝0，‎ 又由f（﹣2）＝2018，则f（2）＝﹣2020；‎ 故答案为-2020．‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，构造函数g（x）＝f（x）+1是解题的关键，属于中档题．‎ ‎15.定义在上的奇函数满足：对于任意有，若，则的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得,则可化简,利用可得,由是在上的奇函数可得,由此 ‎【详解】由题,因为,所以,由,则,‎ 则,‎ 因为,令,则,所以,‎ 因为是在上的奇函数,所以,‎ 所以,‎ 故答案为：0‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性、周期性的应用,考查由正切值求正、余弦值 ‎16.己知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题分析若对任意,总存在,使得成立,则的最大值小于等于的最大值,进而求解即可 ‎【详解】由题,因为,对于函数,则当时,是单调递增的一次函数,则；‎ 当时,在上单调递增,在上单调递减,则,‎ 所以的最大值为4；‎ 对于函数,,因为,所以,所以；‎ 所以,即,‎ 故,‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查函数恒成立问题,考查分段函数的最值,考查正弦型函数的最值,考查转化思想 三、简答题（共4小题）‎ ‎17.已知，．‎ Ⅰ求的值；‎ Ⅱ求的值；‎ Ⅲ若且，求的值．‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ根据同角的三角函数的关系即可求出；Ⅱ根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角差的余弦公式即可求出；Ⅲ由，根据同角的三角函数的关系结合两角差的正弦公式即可求出．‎ ‎【详解】Ⅰ，，‎ ‎，‎ ‎.‎ Ⅱ，‎ ‎.‎ Ⅲ，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ .‎ ‎【点睛】‎ 三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．‎ ‎18.已知 求的值；‎ 求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）作的平方可得,则,由的范围求解即可；‎ ‎（2）先利用降幂公式和切弦互化进行化简,得原式,将与代入求解即可 ‎【详解】（1）由题,,‎ 则,‎ 因为 又,则,所以 因此,‎ ‎（2）由题, ‎ ‎,‎ 由（1）可,代入可得原式 ‎【点睛】本题考查同角的平方关系式及完全平方公式的应用,考查降幂公式,考查切弦互化,考查运算能力 ‎19.已知函数；‎ ‎（1）求的定义域与最小正周期；‎ ‎（2）求在区间上的单调性与最值.‎ ‎【答案】（1）定义域，；‎ ‎（2）单调递增：，单调递减：，最大值为1，最小值为；‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)简化原函数，结合定义域求最小正周期;(2)在给定区间上结合正弦曲线，求单调性与最值.‎ 试题解析：‎ ‎ ；‎ ‎（1）的定义域：，最小正周期 ；‎ ‎（2），即最大值为1，最小值为，单调递增：，单调递减：，‎ ‎20.已知函数是定义在R上的奇函数，‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）1（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用函数为奇函数的定义即可得到m值；（2）先判断出函数f(x)在R上单调递增，利用奇偶性和单调性将不等式转为恒成立，然后变量分离，转为求函数最值问题，最后解不等式即可得a的范围.‎ ‎【详解】解：（1）方法1：因为是定义在R上的奇函数，‎ 所以，即，‎ 即，即 方法2：因为是定义在R上的奇函数，所以，即，‎ 即，检验符合要求．‎ ‎（2），‎ 任取，则 ，‎ 因为，所以，所以，‎ 所以函数在R上是增函数．‎ 注：此处交代单调性即可，可不证明 因为，且是奇函数 所以，‎ 因为在R上单调递增，所以，‎ 即对任意都成立，‎ 由于=，其中，‎ 所以，即最小值为3‎ 所以，‎ 即，解得，‎ 故，即.‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性综合应用，考查不等式恒成立问题，常用方法为利用变量分离转为函数最值问题，考查学生的计算能力和转化能力,属于中档题.‎