天津市和平区第一中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

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天津市和平区第一中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

天津一中2019-2020-1高一年级数学学科期末质量调查 一、选择题(共10小题)‎ ‎1.函数的一个零点所在的区间是(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出根据零点存在性定理得解.‎ ‎【详解】由题得,‎ ‎,‎ 所以 所以函数的一个零点所在的区间是.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查零点存在性定理,意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题.‎ ‎2.设,则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎,所以,故选A ‎3.若,,则sin=( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析:因为,,所以sin==,故选B.‎ 考点:本题主要考查三角函数倍半公式的应用.‎ 点评:简单题,注意角的范围.‎ ‎4.下列函数中,以为最小正周期的偶函数是( )‎ A. y=sin2x+cos2x B. y=sin2xcos2x C. y=cos(4x+)‎ D. y=sin22x﹣cos22x ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】A中,周期为,不是偶函数;‎ B中,周期为,函数为奇函数;‎ C中,周期为,函数为奇函数;‎ D中,周期为,函数为偶函数 ‎5.在中,满足,则这个三角形是( )‎ A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可知与符号相同,且均为正,则,即,即可判断选项 ‎【详解】由题,因为,所以与符号相同,‎ 由于在中,与不可能均为负,所以,,‎ 又因为,‎ 所以,即,所以,‎ 所以三角形是锐角三角形 故选:C ‎【点睛】本题考查判断三角形的形状,考查三角函数值的符号 ‎6.已知,,则值等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可分析得到,由差角公式,将值代入求解即可 ‎【详解】由题,‎ ‎,‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查正切的差角公式的应用,考查已知三角函数值求三角函数值问题 ‎7.将函数的图象向左平移个长度单位后,所得到的图象关于轴对称,则的最小值是(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:由题意得,,令,可得函数图象对称轴方程为,取是轴右侧且距离轴最近的对称轴,因为将函数的图象向左平移 个长度单位后得到的图象关于轴对称,的最小值为,故选B.‎ 考点:两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质,将三角函数图象向左平移个单位,所得图象关于轴对称,求的最小值,着重考查了三角函数的化简、三角函数图象的对称性等知识的灵活应用,本题的解答中利用辅助角公式,化简得到函数,可取出函数的对称轴,确定距离最近的点,即可得到结论.‎ ‎【此处有视频,请去附件查看】‎ ‎8.函数的在一个周期内的图象如图,此函数的解析式( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图像可得,利用对称性求得,即,再将代入求解即可 ‎【详解】由题,最大值为2,则,‎ 相邻的对称轴为和,所以,则,所以,‎ 因为点在曲线上,所以,即,‎ 所以,‎ 当时,,即,‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查由三角函数图像求解析式,考查数形结合思想和运算能力 ‎9.对于函数的图象,关于直线对称;关于点对称;可看作是把的图象向左平移个单位而得到;可看作是把的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的倍而得到以上叙述正确的个数是  ‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由判断;由判断;由的图象向左平移个单位,得到的图象判断;由的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的倍,得到函数的图象判断.‎ ‎【详解】对于函数的图象,令,求得,不是最值,故不正确; 令,求得,可得的图象关于点对称,故正确; 把的图象向左平移个单位,得到的图象,故不正确; ‎ 把的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的倍,得到函数的图象,故正确,故选B.‎ ‎【点睛】本题通过对多个命题真假的判断,综合考查三角函数的对称性以及三角函数的图象的变换规律,属于中档题.这种题型综合性较强,也是高考的命题热点,同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”,因此做这类题目更要细心、多读题,尽量挖掘出题目中的隐含条件,另外,要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手,然后集中精力突破较难的命题.‎ ‎10.已知函数,若在区间内没有零点,则的取值范围是 A B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数,由,可得 ‎ ‎ ,,因此即可得出.‎ ‎【详解】函数 ‎ ‎ 由,可得 ‎ 解得 , ‎ ‎∵ 在区间内没有零点, .‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎【此处有视频,请去附件查看】‎ 二、填空题(共6小题)‎ ‎11.已知点是角终边上一点,且,则的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角函数定义可得,进而求解即可 ‎【详解】由题,,所以,‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查由三角函数值求终边上的点,考查三角函数定义的应用 ‎12.已知,且,则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据同角的三角函数的关系,利用结合两角和的余弦公式即可求出.‎ ‎【详解】, ‎ ‎ , , , ‎ ‎, 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查同角的三角函数的关系,两角和的余弦公式,属于中档题.已知一个角的某一个三角函数值,便可运用基本关系式求出其它三角函数值,角的变换是解题的关键.‎ ‎13.已知一个扇形的弧长为,其圆心角为,则这扇形的面积为______.‎ ‎【答案】2 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据孤长公式求出对应的半径,然后根据扇形的面积公式求面积即可.‎ ‎【详解】设扇形半径为,圆心角为,‎ 弧长,可得=4,‎ 这条弧所在的扇形面积为,故答案为 .‎ ‎【点睛】本题主要考査扇形的面积公式和弧长公式,意在考查对基础知识与基本公式掌握的熟练程度,属于中档题.‎ ‎14.已知函数,若,则_____.‎ ‎【答案】-2020‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,设g(x)=f(x)+1=asinx+btanx,分析g(x ‎)为奇函数,结合函数的奇偶性可得g(2)+g(﹣2)=f(2)+1+f(﹣2)+1=0,计算可得答案.‎ ‎【详解】根据题意,函数f(x)=asinx+btanx﹣1,设g(x)=f(x)+1=asinx+btanx,‎ 有g(﹣x)=asin(﹣x)+btan(﹣x)=﹣(asinx+btanx)=﹣g(x),‎ 则函数g(x)为奇函数,‎ 则g(2)+g(﹣2)=f(2)+1+f(﹣2)+1=0,‎ 又由f(﹣2)=2018,则f(2)=﹣2020;‎ 故答案为-2020.‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性的性质以及应用,构造函数g(x)=f(x)+1是解题的关键,属于中档题.‎ ‎15.定义在上的奇函数满足:对于任意有,若,则的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得,则可化简,利用可得,由是在上的奇函数可得,由此 ‎【详解】由题,因为,所以,由,则,‎ 则,‎ 因为,令,则,所以,‎ 因为是在上的奇函数,所以,‎ 所以,‎ 故答案为:0‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性、周期性的应用,考查由正切值求正、余弦值 ‎16.己知函数,,若对任意,总存在,使得成立,则实数的取值范围为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题分析若对任意,总存在,使得成立,则的最大值小于等于的最大值,进而求解即可 ‎【详解】由题,因为,对于函数,则当时,是单调递增的一次函数,则;‎ 当时,在上单调递增,在上单调递减,则,‎ 所以的最大值为4;‎ 对于函数,,因为,所以,所以;‎ 所以,即,‎ 故,‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查函数恒成立问题,考查分段函数的最值,考查正弦型函数的最值,考查转化思想 三、简答题(共4小题)‎ ‎17.已知,.‎ Ⅰ求的值;‎ Ⅱ求的值;‎ Ⅲ若且,求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ根据同角的三角函数的关系即可求出;Ⅱ根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角差的余弦公式即可求出;Ⅲ由,根据同角的三角函数的关系结合两角差的正弦公式即可求出.‎ ‎【详解】Ⅰ,,‎ ‎,‎ ‎.‎ Ⅱ,‎ ‎.‎ Ⅲ,,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎ .‎ ‎【点睛】‎ 三角函数求值有三类,(1)“给角求值”;(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系.(3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,确定角.‎ ‎18.已知 求的值;‎ 求的值.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)作的平方可得,则,由的范围求解即可;‎ ‎(2)先利用降幂公式和切弦互化进行化简,得原式,将与代入求解即可 ‎【详解】(1)由题,,‎ 则,‎ 因为 又,则,所以 因此,‎ ‎(2)由题, ‎ ‎,‎ 由(1)可,代入可得原式 ‎【点睛】本题考查同角的平方关系式及完全平方公式的应用,考查降幂公式,考查切弦互化,考查运算能力 ‎19.已知函数;‎ ‎(1)求的定义域与最小正周期;‎ ‎(2)求在区间上的单调性与最值.‎ ‎【答案】(1)定义域,;‎ ‎(2)单调递增:,单调递减:,最大值为1,最小值为;‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)简化原函数,结合定义域求最小正周期;(2)在给定区间上结合正弦曲线,求单调性与最值.‎ 试题解析:‎ ‎ ;‎ ‎(1)的定义域:,最小正周期 ;‎ ‎(2),即最大值为1,最小值为,单调递增:,单调递减:,‎ ‎20.已知函数是定义在R上的奇函数,‎ ‎(1)求实数的值;‎ ‎(2)如果对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)1(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用函数为奇函数的定义即可得到m值;(2)先判断出函数f(x)在R上单调递增,利用奇偶性和单调性将不等式转为恒成立,然后变量分离,转为求函数最值问题,最后解不等式即可得a的范围.‎ ‎【详解】解:(1)方法1:因为是定义在R上的奇函数,‎ 所以,即,‎ 即,即 方法2:因为是定义在R上的奇函数,所以,即,‎ 即,检验符合要求.‎ ‎(2),‎ 任取,则 ,‎ 因为,所以,所以,‎ 所以函数在R上是增函数.‎ 注:此处交代单调性即可,可不证明 因为,且是奇函数 所以,‎ 因为在R上单调递增,所以,‎ 即对任意都成立,‎ 由于=,其中,‎ 所以,即最小值为3‎ 所以,‎ 即,解得,‎ 故,即.‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性综合应用,考查不等式恒成立问题,常用方法为利用变量分离转为函数最值问题,考查学生的计算能力和转化能力,属于中档题.‎
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