2018-2019学年新疆阿克苏市高级中学高一下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年新疆阿克苏市高级中学高一下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019 学年新疆阿克苏市高级中学高一下学期期末考试 数学（理）试题 一、单选题 1．过点 且与直线 垂直的直线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先求出所求直线的斜率，再写出直线的点斜式方程化简整理即得解. 【详解】 由题得直线的斜率为 所以直线的方程为 ， 即： 故选：B 【点睛】 本题主要考查相互垂直的直线的斜率关系，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些 知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．已知 的三边 满足 ，则 的内角 C 为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】原式可化为 ,又 ,则 C= ,故选 C. 3．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 的值为（ ） A． B．0 C． D．182 【答案】B 【解析】由 ，可得 ，可得 的值. 【详解】 解：已知等差数列 中 ， ( )1,0 2 0x y− = 2 1 0x y− − = 2 2 0x y+ − = 2 1 0x y− + = 2 1 0x y+ − = 2,− 0 2( 1)y x− = − − 2 2 0x y+ − = ABC∆ , ,a b c 2 2 2a b c ab+ = + ABC∆ 150° 120° 60° 30° 2 2 2 1 cos2 2 a b c Cab + − = = ( )0,C π∈ 60° { }na n nS 1 13a = 3 12S S= 8a 13 7 − 13 7 3 12S S= 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0a a a a a a a a a+ + + + + + + + = 8a { }na 3 12S S= 可得 ， 即： ， ， 故选 B 【点睛】 本题主要考查等差数列的性质，从数列自身的特点入手是解决问题的关键. 4．直线 ， ， 的斜率分别为 ， ， ，如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可得出直线 ， ， 的倾斜角满足 ，由倾斜角与斜率的关系得出结果. 【详解】 解：设三条直线的倾斜角为 ， 根据三条直线的图形可得 ， 因为 ， 当 时， ， 当 时， 单调递增，且 ， 故 ， 即 故选 A. 【点睛】 本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，解题的关键是熟悉正切函数的单调性. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0a a a a a a a a a+ + + + + + + + = 89 0a = 8 0a = 1l 2l 3l 1k 2k 3k 3 2 1k k k< < 2 3 1k k k< < 1 2 3k k k< < 2 1 3k k k< < 1l 2l 3l 1 3 20 90 180α α α° ° °< < < < < 1 2 3 α α α、 、 1 3 20 90 180α α α° ° °< < < < < t an , [ , ) ( , )k 0 90 90 180α α ° ° °= ∈  [ , )0 90α °∈ t ank 0α= > ( , )90 180α ° °∈ tank α= t an 0α < t an t an t an3 2 10α α α< < < 3 2 1k k 0 k< < < 5．数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2an＋1(n ∈N＋)，那么 a4 的值为( )． A．4 B．8 C．15 D．31 【答案】C 【解析】试题分析： ， ， ，故选 C. 【考点】数列的递推公式 6．设 ，若 3 是 与 的等比中项，则 的最小值为（ ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先找到 a,b 的关系，再利用基本不等式求解. 【详解】 因为 3 是 与 的等比中项， 所以 所以 a+b=2. 所以 ， 当且仅当 时取等. 故选：D 【点睛】 本题主要考查利用基本不等式求最值和等比中项的应用，解题的关键是“配凑”，意在考 查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 7．在 中， ，则此三角形解的情况是( ) A．一解 B．两解 C．一解或两解 D．无解 【答案】B 【解析】由题意知， ， ， ，∴ ，如图： 0, 0a b> > a3 b3 1 4 a b + 2 2 8 3 3 2 9 2 a3 b3 2 23 3 3 , 3 3 ,a b a b+⋅ = ∴ = 1 4 1 1 4 1 4 1 9= (5 ) 5+2 4 =2 2 2 2 b a a b a b a b + ⋅ + + + ≥（ ）( a+b) = （ ） 2 4,3 3a b= = ABC 80 100 A 45a b °＝ ， ＝ ， ＝ 80a = 100b = 45A∠ = ° 2sin 100 50 2 802b A = × = < ∵ ，∴此三角形的解的情况有 2 种，故选 B． 8．有一个容量为 200 的样本，样本数据分组为 ， ， ， ， ，其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计 样本数据落在区间 内的频数为（ ） A．48 B．60 C．64 D．72 【答案】B 【解析】由 ，求出 ，计算出数据落 在区间 内的频率，即可求解. 【详解】 由 , 解得 ， 所以数据落在区间 内的频率为 ， 所以数据落在区间 内的频数 ， 故选 B. 【点睛】 本题主要考查了频率分布直方图，频率、频数，属于中档题. 9．与圆 关于直线 对称的圆的方程为（ ） A． B． C． D． sinb A a b< < [50,70) [70,90) [90,110) [110,130) [130, 150) [90,110) (0.0050 0.0075 0.0100 0.0125 ) 20 1a+ + + + × = a [90,110) (0.0050 0.0075 0.0100 0.0125 ) 20 1a+ + + + × = 0.015a = [90,110) 0.015 20 0.3× = [90,110) 200 0.3 60× = 2 2:( 2) ( 2) 1C x y+ + − = 1 0x y− + = 2 2( 1) ( 1) 1x y− + + = 2 2( 1) ( 1) 1x y+ + + = 2 2( 1) ( 1) 1x y− + − = 2 2( 1) ( 1) 1x y+ + − = 【答案】A 【解析】设所求圆的圆心坐标为 ，列出方程组，求得圆心 关于 的对称点，即可求解所求圆的方程. 【详解】 由题意，圆 的圆心坐标 ， 设所求圆的圆心坐标为 ，则圆心 关于 的对称点， 满足 ，解得 ， 即所求圆的圆心坐标为 ，且半径与圆 相等， 所以所求圆的方程为 ，故选 A. 【点睛】 本题主要考查了圆的方程的求解，其中解答中熟记圆的方程，以及准确求解点关于直线 的对称点的坐标是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 10．．在各项均为正数的等比数列 中，若 ，则 … 等于（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】因为数列 为等比数列，所以 ， 所以 . 11．设 的内角 所对的边分别为 ，且 ， 已知 的面积 ， ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用正弦定理化简已知的等式得到 ，利用同角三角函数基本关系式可求 的 值，进而利用三角形面积公式即可得解 的值． ( , )a b ( 2,2)C − 1 0x y− + = 2 2:( 2) ( 2) 1C x y+ + − = ( 2,2)C − ( , )a b ( 2,2)C − 1 0x y− + = 2 1 12 2 2 1 02 2 b a a b − ⋅ = − + − + − + = 1, 1a b= = − (1, 1)C′ − C 2 2( 1) ( 1) 1x y− + + = { }nb 7 8 3b b⋅ = 3 1 3 2log logb b+ + 3 14log b+ ABC△ A B C， ， a b c， ， 3 cos 4a C csin A= ABC△ 1 sin 102S bc A= = 4b = a 23 3 28 3 26 3 25 3 tanC sinC a 【详解】 ， 变形为： ， 又 为三角形的内角， ， ，即 ， 为三角形的内角，可得： ， ， ， 解得： ． 故选：D． 【点睛】 此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及三角形面积公式在解三角形中 的应 用，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题． 12．在 中，若 为等边三角形（ 两点在 两 侧），则当四边形 的面积最大时， （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】求出三角形 的面积，求出四边形 的面积，运用三角函数的恒等变 换和正弦函数的值域，求出满足条件的角的值即可． 【详解】 设 ， ， ， 是正三角形， ， 由余弦定理得： ，  sin sin a c A C = 4 sin 3 cosc A a C∴ = 4sin sin 3sin cosC A A C= A sin 0A∴ ≠ 4sin 3cosC C∴ = 3tan 4C = C 3sin 5C = 4b = 1 1 310 sin 42 2 5S ab C a= = = × × × ∴ 25 3a = ABC∆ 4, 5,AB AC= = BCD∆ ,A D BC ABDC BAC∠ = 5 6 π 2 3 π 3 π 2 π BCD ABCD BC a= 4c = 5b = BCD∆ 23 4BCDS a∆∴ = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − ABCD BCD ABCS S S∆ ∆= + 23 1 sin4 2a cb A= + 3 1(25 16 40cos ) 20sin4 2A A= + − +  ， 时，四边形 的面积最大， 此时 ． 故选：A． 【点睛】 本题考查余弦定理和三角形的面积公式，考查两角的和差公式和正弦函数的值域，考查 化简运算能力，属于中档题． 二、填空题 13．已知等比数列 的前 项和为 ， ，则 的值是__________. 【答案】10 【解析】根据等比数列前 项和公式，由 可得 ，通过化简可得 ， 代入 的值即可得结果. 【详解】 ∵ ，∴ ，显然 ， ∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ，故答案为 10． 【点睛】 41 4110sin 10 3cos 20sin( )4 4 3A A A π= + − = + − 3 2A π π− = ABCD 5 6A BAC π∠ = ∠ = { }na n nS 4 2 4S S = 8 4 S S n 4 2 4S S = 2 3q = 8 8 4 4 1 1 S q S q −= − 2q 4 2 4S S = 4 24S S= 1q ≠ ( ) ( )2 4 1 11 1 4 1 1 a q a q q q − − =− − 21 4q+ = 2 3q = ( ) ( ) 8 1 8 48 44 4 1 1 11 1 1011 1 a q S qq qS qa q q − −−= = = + =−− − 本题主要考查等比数列的前 项和公式，本题解题的关键是看出数列的公比的值，属于 基础题． 14．圆 上的点 到直线 的距离的最小值是______. 【答案】 【解析】求圆心到直线的距离，用距离减去半径即可最小值. 【详解】 圆 C 的圆心为 ，半径为 ， 圆心 C 到直线的距离为： ， 所以最小值为： 故答案为： 【点睛】 本题考查圆上的点到直线的距离的最值，若圆心距为 d，圆的半径为 r 且圆与直线相离， 则圆上的点到直线距离的最大值为 d+r，最小值为 d-r. 15．若 满足约束条件 ， 的最小值为 ，则 ________． 【答案】4 【解析】由约束条件得到可行域， 取最小值时 在 轴截距最小，通 过直线平移可知过 时， 取最小值；求出 点坐标，代入 构造出方程求得结果. 【详解】 由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示： 取最小值时，即 在 轴截距最小 n 2 2: ( 1) 1C x y+ − = P : 2 3 0l x y− − = 5 1− C(0,1) 1R＝ | 0 2 3| 5 5 d − −= = 5 1− 5 1− ,x y 2 1 0 2 2 0 2 0 x y x y x y − + ≤  − + ≥  + − ≤ 3z x y m= + + 1 m = z 3y x m z= − − + y A z A z 3z x y m= + + 3y x m z= − − + y 平移直线 可知，当 过 点时，在 轴截距最小 由 得： ，解得： 本题正确结果： 【点睛】 本题考查现行规划中根据最值求解参数的问题，关键是能够明确最值取得的点，属于常 考题型. 16． 两等差数列{an}和{bn}前 n 项和分别为 Sn，Tn，且 ，则 =__________。 【答案】 【解析】数列{an}和{bn}为等差数列，所以 . 点睛：等差数列的常考性质：{an}是等差数列，若 m+n=p+q,则 . 三、解答题 17．已知数列 是公差不为 0 的等差数列， 成等比数列. （1）求 ； （2）设 ，数列 的前 n 项和为 ，求 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据已知条件求出 ，再写出等差数列的通项得解；（2）利用分组求 和求 . 【详解】 解：(1)设数列 的首项为 ，公差为 ，则 ． 因为 成等比数列， 3y x= − 3y x m z= − − + A y 2 2 0 2 1 0 x y x y − + =  − + = ( )1,0A − min 3 0 1z m∴ = − + + = 4m = 4 7 2 3 n n S n T n += + 2 20 7 15 a a b b + + 149 24 ( ) ( ) 1 21 2 20 1 21 21 1 217 15 1 21 21 21 7 21 2 1492 21 21 3 24 2 a a a a a a S b bb b b b T + × + + × += = = = =+ ×+ + + m n p qa a a a+ = + { }na 4 2 3 53, , ,a a a a= na 3 1 2 na nb n= − + { }nb nT nT 1na n= − 23 1= 1 22 2 n nT n n+ − + 1,a d nT { }na 1a ( )0d d ≠ ( )1 1na a n d+ −= 2 3 5, ,a a a 所以 , 化简得 又因为 ， 所以 ，又因为 ， 所以 ． 所以 ． (2)根据(1)可知 ， 【点睛】 本题主要考查等差数列通项的求法，考查等差等比数列前 n 项和的计算和分组求和，意 在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 18．如图，在 中， ， ，且 边的中点 在 轴上， 的 中点 在 轴上. （1）求点 的坐标； （2）求 的面积. 【答案】（1） ；（2）28. 【解析】（1）根据中点公式，列出方程组，即可求解，得到答案. （2）求得直线 的方程为 ，利用点到直线的距离公式和三角形的面 积公式，即可求解. 【详解】 （1）由题意，设点 ，根据 边的中点 在 轴上， 的中点 在 轴上， ( ) ( )( )2 1 1 12 4a d a d a d+ = + + 1 =0a d 0d ≠ 1=0a 4 1 3 3a a d= + = =1d 1na n= − 1na n= − 13 1 2n n nb −= − + ( ) ( )1 1 22 1 23 1 1 3 1 3 1= 1 22 1 2 2 2 n n n n nT n n − ⋅ −× − + − + = + − +− ABC∆ (5, 2)A − (7,4)B AC M y BC N x C ABC∆ ( 5, 4)− − AB 3 17 0x y− − = ( , )C x y AC M y BC N x 根据中点公式，可得 ，解得 ，所以点 的坐标是 . （2）由题设 ， 又由直线 的方程为 ， 故点 到直线 的距离 ， 所以 的面积 . 【点睛】 本题主要考查了中点公式的应用，以及点到直线的距离公式的应用，其中解答中熟记中 点公式，以及点到直线的距离公式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力， 属于基础题. 19．某工厂新研发了一种产品，该产品每件成本为 5 元，将该产品按事先拟定的价格进 行销售，得到如下数据： 单价 （元） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量 （件） 90 84 83 80 75 68 （1）求销量 （件）关于单价 （元）的线性回归方程 ； （2）若单价定为 10 元，估计销量为多少件； （3）根据销量 关于单价 的线性回归方程，要使利润 最大，应将价格定为多少？ 参考公式： ， .参考数据： ， 【答案】（1） （2）当销售单价定为 10 元时，销量为 50 件（3）要使 利润达到最大，应将价格定位 8.75 元. 【解析】（1）由均值公式求得均值 ， ，再根据给定公式计算回归系数 ，得回归 5 02 4 02 x y + = + = 5 4 x y = −  = − C ( 5, 4)− − 2 2| | (7 5) (4 2) 2 10AB = − + + = AB 3 17 0x y− − = C AB | 15 4 17 | 28 10 10 d − + −= = ABC∆ 1 1 28| | 2 10 282 2 10 S AB d= ⋅ = × × = x y y x y bx a= +   y x P 1 22 1 n i i i n i i x y nxy b x nx = = − = − ∑ ∑  a y bx= −  6 1 4066i i i x y = =∑ 6 2 1 434.2i i x = =∑ 20 250y x= − + x y ,a b 方程； （2）在（1）的回归方程中令 ，求得 值即可； （3）由利润 可化为 的二次函数，由二次函数知识可得利润最大值及此 时的 值. 【详解】 （1）由题意可得 ， ， 则 ， 从而 ，故所求回归直线方程为 . （2）当 时， ， 故当销售单价定为 10 元时，销量为 50 件. （3）由题意可得， ， . 故要使利润达到最大，应将价格定位 8.75 元. 【点睛】 本题考查线性回归直线方程，解题时只要根据已知公式计算，计算能力是正确解答本题 的基础. 20．已知点 ，圆 . （1）求过点 且与圆 相切的直线方程； （2）若直线 与圆 相交于 ， 两点，且弦 的长为 ， 求实数 的值. 【答案】（1） 或 ；（2） . 【解析】（1）考虑切线的斜率是否存在，结合直线与圆相切的的条件 d=r，直接求解圆 的切线方程即可． （2）利用圆的圆心距、半径及半弦长的关系，列出方程，求解 a 即可． 【详解】 （1）由圆的方程得到圆心 ，半径 . 10x = y ( 5)P y x= − x x ( )1 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 8.56x = × + + + + + = ( )1 90 84 83 80 75 68 806y = × + + + + + = 2 2 2 2 2 2 2 8 90 8.2 84 8.4 83 836 80 8.8 75 9 68 6 8.5 80 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 6 8.5b × + × + × + × + × + × − × ×= + + + + + − × 4066 4080 14 20434.2 433.5 0.7 − −= = = −− 80 20 8.5 250a y bx= − = + × = 20 250y x= − + 10x = 20 10 250 50y = − × + = ( ) ( )( )5 20 250 5P y x x x= − = − + − ( )220 8.75 281.25P x= − − + (3,3)M 2 2:( 1) ( 2) 4C x y− + − = M C 4 0( )ax y a− + = ∈R C A B AB 2 3 a 3x = 3 4 21 0x y+ − = 3 4 − (1,2) 2r = 当直线斜率不存在时，直线 与圆 显然相切； 当直线斜率存在时，设所求直线方程为 ，即 ， 由题意得： ，解得 ， ∴ 方程为 ，即 . 故过点 且与圆 相切的直线方程为 或 . （2）∵ 弦长 为 ，半径为 2. 圆心到直线 的距离 ， ∴ ， 解得 . 【点睛】 本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查切线方程的求法，考查了垂径定理的应 用，考查计算能力． 21．已知 中 ，角 的对边分别为 ． （1）若 依次成等差数列，且公差为 2，求 的值； （2）若 的外接圆面积为 ，求 周长的最大值． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）由 成等差数列，且公差为 ，可得 ，利用余弦定 理可构造关于 的方程，解方程求得结果；（2）设 ，利用外接圆面积为 ，求得 外接圆的半径 ．根据正弦定理，利用 表示出三边，将周长表示为关于 的函数 ， 利用三角函数的值域求解方法求得最大值. 【详解】 （1） 依次成等差数列，且公差为 ， ，由余弦定理得： 3x = C 3 ( 3)y k x− = − 3 3 0kx y k− + − = 2 | 2 3 3 | 2 1 k k k − + − = + 3 4k = − 33 ( 3)4y x− = − − 3 4 21 0x y+ − = M C 3x = 3 4 21 0x y+ − = AB 2 3 4 0ax y− + = 2 | 2 | 1 ad a += + 22 2 | 2 | 2 3 421 a a   + + =    +    3 4a = − ABC 2 3ACB π∠ = , ,A B C , ,a b c , ,a b c c ABC π ABC 7c = 2 3+ , ,a b c 2 2b a c b− = − = c B θ= π R θ θ ( )f θ , ,a b c 2 2b a c b∴ − = − = 2b c∴ = − 4a c= − 2 3ACB π∠ = 整理得： ，解得： 或 又 ，则 （2）设 ，外接圆的半径为 ，则 ，解得： 由正弦定理可得： 可得： ， ， 的周长 又 当 ，即： 时， 取得最大值 【点睛】 本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形、三角形周长最值的求解.求解周长的最值的 关键是能够将周长构造为关于角的函数，从而利用三角函数的知识来进行求解.考查了 推理能力与计算能力，属于中档题． 22．设 为正项数列 的前 项和，且满足 . （1）求 的通项公式； （2）令 ， ，若 恒成立，求 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）代入 求得 ，根据 与 的关系可求得 ，可知数 ( ) ( ) ( )( ) 2 2 22 2 2 4 22 1cos 3 2 2 2 4 2 c c ca b c ab c c π − + − −+ −= = = −− − 2 9 14 0c c− + = 7c = 2c = 4 0a c= − > 4c > 7c∴ = B θ= R 2Rπ π= 1R = 2 2sin sin sin a b c RA B C = = = = 22sin sinsin 33 b a c ππθ θ ∴ = = = −   2sinb θ= 2sin 3a θπ = −   3c = ABC∆∴ ( ) 2sin 2sin 33f a b c πθ θ θ = + + = + − +   2sin 2sin cos 2cos sin 3 sin 3 cos 3 2sin 33 3 3 π π πθ θ θ θ θ θ = + − + = + + = + +   0, 3 πθ  ∈   2 3 3 3 π π πθ∴ < + < ∴ 3 2 π πθ + = 6 πθ = ( )f θ 2 3+ nS { }na n 2 2 4 3n n na a S+ = + { }na 1 1 n n n b a a + = 1 2n nT b b b= + + +… nT m< m =2 1na n + 1[ , )6 +∞ 1n = 1 3a = na nS 1 2n na a −− = 列为等差数列，利用等差数列通项公式求得结果；验证 后可得最终结果；（2）由 （1）可得 ，采用裂项相消的方法求得 ，可知 ，从而得到 的范围. 【详解】 （1）由题知： ， ……① 令 得： ，解得： 当 时， ……② ①-②得： ∴ ，即 是以 为首项， 为公差的等差数列 经验证 满足 （2）由（1）知： 即 【点睛】 本题考查等差数列通项公式的求解、裂项相消法求和，关键是能够利用 与 的关系 证得数列为等差数列，从而求得通项公式，属于常规题型. 1a nb nT 1 6nT < m 0na > 2 2 4 3n n na a S+ = + 1n = 2 1 1 12 4 3a a S+ = + 1 3a = 2n ≥ 2 1 1 12 4 3n n na a S− − −+ = + ( )( )1 1 2 0n n n na a a a− −+ − − = 1 2 0n na a −∴ − − = 1 2n na a −− = { }na∴ 3 2 ( )3 2 1 2 1na n n∴ = + − = + 1 3a = 2 1na n= + 2 1na n∴ = + ( )( ) 1 1 1 1 2 1 2 3 2 2 1 2 3nb n n n n  = = − + + + +  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 5 5 7 2 1 2 3 2 3 2 3 6 4 6nT n n n n         ∴ = × − + − +⋅⋅⋅+ − = × − = −        + + + +         1 04 6n >+ 1 6nT∴ < 1 6m∴ ≥ 1 ,6m  ∈ +∞  na nS