数学文卷·2017届江西省南昌三中高三12月第四次月考（2016
南昌三中 2016—2017 学年度上学期第四次考试
高三数学（文）试卷
命题：饶雄峰 审题：张金生
一、选择题（每题 5 分，四个选项中只有一个正确）
1、已知全集 U＝R，且 A＝{x||x－1|>2}，B＝{x|x2－6x＋8<0}，则(∁UA)∩B 等于( )
A．[－1,4) B．(2,3) C．(2,3] D．(－1,4)
2、复数 z＝ i
1＋i
在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3、已知两个不同的平面 α、β 和两条不重合的直线 m、n，有下列四个命题
①若 m∥n，m⊥α，则 n⊥α ②若 m⊥α，m⊥β，则 α∥β
③若 m⊥α，m∥n，n⊂β，则 α⊥β ④若 m∥α，α∩β＝n，则 m∥n
其中正确命题的个数是( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
4、设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝－3，ak＋1＝3
2
，Sk＝－12，则正整数 k＝( )
A．10 B．11 C．12 D．13
5、已知 sinα＋ 2cosα＝ 3，则 tanα＝( )
A.
2
2 B. 2 C．－ 2
2 D．－ 2
6、设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)，且函数 f(x)在 x＝－2 处取得极小值，则
函数 y＝xf′(x)的图像可能是( )
7 已知 h>0，设命题 p 为：两个实数 a, b 满足|a－b|<2h，命题 q 为：两个实数满足|a－1|
− 2x =
5 12 0x y− − =
( )f x
1( ) lnxg x xkx
−= + 1 [0,1]x ∈ 2 (0,1]x ∈ 1 2( ) ( )f x g x>
k
22、（10 分）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）．以原
点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 的极坐标方程为 ．
写出 的直角坐标方程；
为直线 上一动点，当 到圆心 的距离最小时，求 的直角坐标．
23.（10 分）已知函数 f(x)=|x-a|,其中 a>1.
(1)当 a=2 时,求不等式 f(x)≥4-|x-4|的解集;
(2)已知关于 x 的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2 的解集为{x|1≤x≤2},求 a 的值.
南昌三中高三数学月考试卷（文）
一、1、C 2、A 3、C 4、 D 5、A 6、C
7. B 8．C 9、A 10、D 11.C 12. B
二、13．
1
5 14、②③ 15．1006 16、3 3
三、17、(1)f(x)＝ 3sin2x－2cosx(－cosx)＝ 3sin2x＋2cos2x＝ 3sin2x＋cos2x＋1＝2sin(2x＋
π
6)＋1，由 2kπ－π
2≤2x＋π
6≤2kπ＋π
2(k∈Z)，得 kπ－π
3≤x≤kπ＋π
6(k∈Z)．
故函数 f(x)的单调增区间为[kπ－π
3，kπ＋π
6](k∈Z)．
(2)∵f(α
2－ π
12)＝2sinα＋1＝3
2，∴sinα＝1
4.
∵α 是第二象限角，∴cosα＝－ 1－sin2α＝－ 15
4 . ∴sin2α＝－ 15
8 ，cos2α＝7
8.
∴cos(2α＋π
3)＝cos2αcosπ
3－sin2αsinπ
3＝7
8×1
2－(－ 15
8 )× 3
2 ＝7＋3 5
16 .
x yΟ l
13 2
3
2
x t
y t
= +
=
t
x C 2 3sinρ θ=
( )Ι C
( )ΙΙ Ρ l Ρ C Ρ
18、(1)当 n＝1 时，a1＝S1，由 S1＋1
2
a1＝1，得 a1＝2
3
，
当 n≥2 时，∵Sn＝1－1
2
an，Sn－1＝1－1
2
an－1，
∴Sn－Sn－1＝1
2
(an－1－an)，即 an＝1
2
(an－1－an) ∴an＝1
3
an－1(n≥2)
∴{an}是以2
3
为首项，1
3
为公比的等比数列．
故 an＝2
3
·(1
3
)n－1＝2·(1
3
)n(n∈N＋)．
(2)1－Sn＝1
2
an＝(1
3
)n，bn＝log3(1－Sn＋1)＝log3(1
3
)n＋1＝－n－1.
1
bnbn＋1
＝ 1
(n＋1)(n＋2)＝ 1
n＋1
－ 1
n＋2
1
b1b2
＋ 1
b2b3
＋…＋ 1
bnbn＋1
＝(1
2
－1
3
)＋( 1
3
－1
4
)＋…＋( 1
n＋1
－ 1
n＋2
)＝ 1
2
－
1
n＋2
，解方程1
2
－ 1
n＋2
＝25
51
，得 n＝100.
19、(1)证明：因为 AB⊥平面 PAD，PH平面 PAD，
所以 PH⊥AB，因为 PH 为△PAD 中 AD 边上的高，
所以 PH⊥AD.因为 AB∩AD＝A，所以 PH⊥平面 ABCD.
(2)连接 BH，取 BH 中点 G，连接 EG，因为 E 是 PB 的中点，
所以 EG∥PH，因为 PH⊥平面 ABCD，
所以 EG⊥平面 ABCD，则 EG＝1
2
PH＝1
2
，
VE－BCF＝1
3
S△BCF·EG＝1
3
·1
2
·FC·AD·EG＝ 2
12
.
(3)证明：取 PA 中点 M，连接 MD，ME, 略
21．（Ⅰ）因为 ，所以 ，
解得： 或 ，又 ，所以 ， ………2 分
由 ，解得 ， ，列表如下：
1
0 0
极小值 极大值 2
所以 ， ，
因为 ，所以函数 的零点是 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 时， ，
“对任意 ，存在 ，使 ”等价于“ 在 上的最小
值大于 在 上的最小值，即当 时， ”，
2 2( ) 3 4f x x mx m′ = − − − 2(2) 12 8 5f m m′ = − − − = −
1m = − 7m = − 2m > − 1m = −
2( ) 3 4 1 0f x x x′ = − + − = 1 1x = 2
1
3x =
x 1( , )3
−∞ 1
3
1( ,1)3
(1, )+∞
( )f x′ − + −
( )f x
50
27
1 50( ) ( )3 27f x f= =极小值 ( ) (1) 2f x f= =极大值
3 2 2( ) 2 2 ( 2)( 1)f x x x x x x= − + − + = − − + ( )f x 2x =
[0,1]x∈ min
50( ) 27f x =
1 [0,1]x ∈ 2 (0,1]x ∈ 1 2( ) ( )f x g x> ( )f x [0,1]
( )g x (0,1] (0,1]x∈ min
50( ) 27g x <
因为 ，
① 当 时，因为 ，所以 ，符合题意；
② 当 时， ，所以 时， ， 单调递减，
所以 ，符合题意；
③ 当 时， ，所以 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，所以 时， ，
令 （ ），则 ，所以 在 上单调递
增，所以 时， ，即 ，
所以 ，符合题意，
综上所述，若对任意 ，存在 ，使 成立，则实数 的取值
范围是 ．
22、(1)
(2)(3,0)
23.(1)当 x≤2 时,由 f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得 x≤1;
当 2 10 1k
< < 1(0, )x k
∈ ( ) 0g x′ < ( )g x 1( ,1)x k
∈
( ) 0g x′ > ( )g x (0,1]x∈ min
1 1 1( ) ( ) 1 lng x g k k k
= = − +
23( ) ln 27x x xϕ = − − 0 1x< < 1( ) 1 0x x
ϕ′ = − > ( )xϕ (0,1)
(0,1)x∈ 50( ) (1) 027xϕ ϕ< = − < 23ln 27x x− <
min
1 1 1 23 50( ) ( ) 1 ln 1 27 27g x g k k k
= = − + < + =
1 [0,1]x ∈ 2 (0,1]x ∈ 1 2( ) ( )f x g x> k
( ,0) (0, )−∞ ∪ +∞
03222 =−+ yyx
