数学文卷·2018届山东省淄博市六中高二上学期学分认定模块考试（期末）（2017-01）
淄博六中 15 级高二第一学期期末学分认定模块考试
数学文科
注意事项：
1．答卷前，考生务必用钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答
题纸和答题卡的相应位置处。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑。
3．非选择题答案必须写在答题纸相应位置处，不按要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡和答题纸一并收回。
第 I 卷（选择题 共 60 分）
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.命题“所有实数的平方都是正数”的否定为( )
A.所有实数的平方都不是正数
B.有的实数的平方是正数
C.至少有一个实数的平方不是正数
D.至少有一个实数的平方是正数
2.设 0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是( )
A．a3＞b3 B.1
a＜1
b C．ab＞1 D．lg(b－a)＜a
3.等比数列 x,3x+3,6x+6,…的第四项等于 ( )
A.-24 B.0 C.12 D.24
4.已知命题
p：对任意 x∈R，总有 2x>0； q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，
则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．¬p∧¬q C．¬p∧q D．p∧¬q
5.已知曲线 y= x2-3ln x 的一条切线的斜率为- ,则切点横坐标为( )
A.-2 B.3 C.2 或-3 D.2
6.在△ABC 中,若 sin B·sin C=cos2 ,且 sin2B+sin2C=sin2A,则△ABC 是( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
7.已知抛物线 y2=4x 的准线与双曲线-y2=1(a>0)相交于 A,B 两点,且 F 是抛物线的
焦点,若△FAB 是直角三角形,则双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.3
8.设 A,B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧所在的河岸边选定一
点 C,测出 AC 的距离为 50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算
出 A,B 两点间的距离为( )
A.50m B.50m
C.25m D.m
9.不等式组x＋y≥1
x－2y≤4的解集记为 D.有下面四个命题：
p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2， p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2，
p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3， p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.
其中真命题是( )
A．p2，p3 B．p1，p4 C．p1，p2 D．p1，p3
10.若“0
a2(a∈R)的解集.
20. （ 本 小 题 满 分 12 分 ） 已 知 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为
Sn,a1=,Sn=n2an-n(n-1),n=1,2,…
(1)证明:数列是等差数列,并求 Sn.
(2)设 bn=,求证:b1+b2+…+bn<.
21.（本小题满分 12 分）已知函数 f(x)=ln x, F(x)=x- -a,
(1)求函数 f(x)在 A(1,0)处的切线方程.
(2)若 F(x)在[1,+∞)上单调递增,求实数 a 的取值范围.
22. （本小题满分 12 分）已知 F(0,1)是中心在坐标原点 O 的椭圆 C 的一个焦点,
且椭圆 C 的离心率 e 为.
(1)求椭圆 C 的方程.
(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2)为椭圆 C 上不同的点,直线 MN 的斜率为 k1,A 是满足+=λ
(λ≠0)的点,且直线 OA 的斜率为 k2.
①求 k1·k2 的值.
2 若 A 的坐标为,求实数λ的取值范围.
淄博六中 15 级高二第一学期期末学分认定模块考试
数学文科答案
一、选择题
CDADD DBACA BB
二、填空题 13、21 14、( , ) 15、8 16、②
三、解答题
17.若函数 f(x)=log2m(x+1)是增函数,
则 2m>1,所以 m 的取值范围为 A=,________2 分
又∀x∈R,x2+mx+1≥0 为真命题时,Δ=m2-4≤0,
m 的取值范围为 B={m|-2≤m≤2}___________4 分
由“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,
故命题 p,q 中有且仅有一个真命题._________5 分
当 p 真 q 假时,实数 m 的取值范围为
A∩(∁RB)=∩[(-∞,-2)∪(2,+∞)]=(2,+∞).__________7 分
当 p 假 q 真时,实数 m 的取值范围为
(∁RA)∩B=∩[-2,2]=,__________9 分
综上可知实数 m 的取值范围是∪(2,+∞).________10 分
18、 (1)因为=，所以=，
所以 a2-b2=ac-c2，所以 cosB===.
因为 B∈(0，π)，所以 B=.___________5 分
(2)由 b=3，sinA=，=，得 a=2，
由 aa2,所以 12x2-ax-a2>0,即(4x+a)(3x-a)>0.
令(4x+a)(3x-a)=0,得 x1=-,x2=._______2 分
①a>0 时,-<,解集为;
②a=0 时,x2>0,解集为{x|x∈R,且 x≠0};
③a<0 时,->,解集为._________11 分
综上所述:当 a>0 时,不等式的解集为;
当 a=0 时,不等式的解集为{x|x∈R,且 x≠0};
当 a<0 时,不等式的解集为. ______12 分
20、 (1)由 Sn=n2an-n(n-1)知,当 n≥2 时,Sn=n2(Sn-Sn-1)-n(n-1),
即(n2-1)Sn-n2Sn-1=n(n-1),所以 Sn-Sn-1=1,对 n≥2 成立.
又 S1=1,所以是首项为 1,公差为 1 的等差数列.
所以 Sn=1+(n-1)·1,所以 Sn=._________6 分
(2)bn===,
所以 b1+b2+…+bn
= -+-+…+-+- =<.________12 分
21、 (1)因为 f′(x)= ,所以 f′(1)=1,
故切线方程为 y=x-1.__________4 分
(2)y=F(x)在[1,+∞)上单调递增,F′(x)= ,
则当 x≥1 时,x2-ln x+a+1≥0 恒成立,
即当 x≥1 时,a≥-x2+ln x-1 恒成立.
令 G(x)=-x2+ln x-1,则当 x≥1 时,G′(x)= <0,
故 G(x)=-x2+ln x-1 在[1,+∞)上单调递减,
从而 G(x)max=G(1)=-2,故 a≥G(x)max=-2,即 a 的取值范围为 a≥-2._______12 分
22.(1)依题意,可设椭圆 C 的方程为+=1(a>b>0),
由 c=1,e==,得 a=2,由 b2=a2-c2,可得 b2=3,故椭圆 C 的方程为+=1.___4 分
(2)①由 M(x1,y1),N(x2,y2)且 k1 存在,得 k1=,
由+=λ,λ≠0 且 k2 存在,得 k2=,
则 k1·k2=·=.
因为 M(x1,y1),N(x2,y2)在椭圆上,所以+=1,+=1,
两式相减得+=0,=-,所以 k1·k2=-.__________8 分
②若 A 的坐标为,则 k2=,由①可得 k1=-2.
设直线 MN:y=-2x+m(m∈R),由得 16x2-12mx+3m2-12=0,所以 x1+x2=.
因为+=λ,所以 x1+x2=λ,m=2λ.
又由Δ=(-12m)2-4×16×(3m2-12)>0,
解得-4
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