黑龙江省大庆中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

黑龙江省大庆中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

绝密★启用前 大庆中学2019-2020学年高三期中考试试题 文科数学 总分：150 时间：120分钟 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 设i是虚数单位,若复数,则复数z的模为(    )‎ A. 1 B. C. D. ‎ 2. 设集合,集合,则等于    ‎ A. B. C. D. ‎ 3. 设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与‎2a－b平行，那么a与b的数量积等于(　　)‎ A．－　　　 B．－ C． D． 4. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据单位：件,若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为   ‎ ‎​‎ A. 3,5 B. 5,‎5 ‎C. 3,7 D. 5,7‎ 5. 不等式成立的一个必要不充分条件是(    )‎ A. B. 或 C. D. 或 6. 已知直线a,b和平面,下列四个说法 ,,则；,,则a与b不平行； 若 ‎,,则；,,则． 其中说法正确的是(    )‎ A. B. C. D. ‎ 1. 等比数列的各项均为正数,且,则   ‎ A. 12 B. ‎10 ‎C. 8 D. ‎ 2. 函数的部分图象如图所示,则(    )‎ A. B. C. D. ‎ 3. 若直线被圆截得弦长为4,则的最小值是       ‎ A. 9 B. ‎4 ‎C. D. ‎ 4. 若函数的导函数的图象如图所示,则的图象可能(    )‎ A. B. C. D. ‎ 5. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为、若双曲线C上存在一点P,使得为等腰三角形,且,则双曲线的离心率为(    )‎ A. B. C. 2 D. 3‎ 1. 已知函数,若关于x的方程恰有3个不同的实数解,则实数m的取值范围是(    )‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 2. 若x,y满足约束条件,则的最大值为______．‎ 3. 函数的最大值是______．‎ 4. 如图,在正方体中,E,F分别是,DC的中点,则异面直线与EF所成角的大小为_______．‎ 5. 如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC、直角边AB、直角边AC,的三边所围成的区域若,过点A作于D,当面积最大时,黑色区域的面积为______．‎ 三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）‎ ‎（一）必考题：共60分 6. 如图,已知面ABCD,四边形ABEF为矩形,四边形ABCD为直角梯形,,,,． 求证：面BCE； 求三棱锥的体积．‎ 1. 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,,．  求c； 设D为BC边上一点,且,求的面积．‎ 2. 某高校共有学生15000人,其中男生10500人,女生4500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300名学生每周平均体育运动时间的样本数据单位：小时．  Ⅰ应收集多少位女生的样本数据？Ⅱ根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图所示,其中样本数据的分组区间为： ,,,,,, 估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；Ⅲ在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时,请完成每周平均体育运动时间与性别列联表,并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 附：．‎ 3. 已知,椭圆的离心率,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点．‎ 求椭圆的方程；‎ 设过点A的动直线l与椭圆E相交于P,Q两点,当的面积最大时,求直线l的方程．‎ 1. 已知函数是自然对数的底数． 求证：； 若不等式在上恒成立,求正数a的取值范围．‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ 2. 在平面直角坐标系xOy中,曲线C：,直线：,直线：,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系．‎ 写出曲线C的参数方程以及直线,的极坐标方程；‎ 若直线与曲线C分别交于O,A两点,直线与曲线C分别交于O,B两点,求的面积．‎ 3. 已知函数,,且的解集为．Ⅰ求m的值；Ⅱ若正实数a,b,c满足,求证：．‎ 大庆市大庆中学高三文科第一学期期中测试 答案和解析 ‎【答案】‎ ‎1. D 2. C 3. B 4. A 5. D 6. B 7. B 8. A 9. A 10. C 11. A 12. C ‎ ‎13.  ‎ ‎14. 1  ‎ ‎15.  ‎ ‎16.   ‎ ‎17. 解：证明：四边形ABEF为矩形,‎ ‎, 平面BCE,平面BCE, 面BCE． 证明：面ABCD,四边形ABEF为矩形, 平面ABCD, 平面ABCD, , 四边形ABCD为直角梯形,,,, , , , ,面BCE,面BCE, 面BCE． 面BEF,面BEF, 面BEF, ‎ 平面ABCD,平面ABCD, , 又,,面ABEF,面ABEF, 面ABEF． 三棱锥的体积：‎ ‎ ．‎ ‎  ‎ ‎18. 解：,, ,． 由余弦定理可得, 即, 即, 解得舍去或, 故． , , , , , , 又 , ．  ‎ ‎19. 解：Ⅰ,应收集90位女生的样本数据；Ⅱ由频率分布直方图可得, ‎ 该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率为；Ⅲ由Ⅱ知,300位学生中有人每周平均体育运动时间超过4小时,75人每周平均体育运动时间不超过4小时, 又因为样本数据中有210份是关于男生的,90份是关于女生的,所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：‎ ‎　　‎ 男生 女生 总计 每周平均体育运动时间不超过4小时 ‎45‎ ‎30‎ ‎75‎ 每周平均体育运动时间超过4小时 ‎165‎ ‎60‎ ‎225‎ 总计 ‎210‎ ‎90‎ ‎300‎ ‎, 有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．  ‎ ‎20. 解：Ⅰ设,由条件知,,‎ 又,‎ 故椭圆的方程为；‎ ‎ Ⅱ当轴时,不合题意,故可设,‎ ‎,‎ ‎,‎ 设,,‎ ‎,‎ ‎,‎ 又点到直线的距离,‎ OPQ的面积,‎ 设,则, ,‎ 当且仅当,即时等号成立,‎ 满足,当时,OPQ的面积取得最大值2,‎ 此时直线的方程为或．‎ ‎  ‎ ‎21. 解：证明：由题意知,要证,只需证, 求导得,当时,, 当时,, 在上是增函数,在上是减函数, 即在处取得极小值,这个极小值也为最小值,即, ,即, ； 不等式在上恒成立, 即在上恒成立, ‎ 亦即在上恒成立, 令,, 以下求在上的最小值, ,当时,, 当时,, 当时,单调递减,当时,单调递增, 在处取得最小值为, 正数a的取值范围是．  ‎ ‎22. 解：曲线C：, 依题意,曲线C：, 故曲线C的参数方程是为参数, 直线：,直线：, ,的极坐标方程为：, ：． 曲线C：, 曲线C的极坐标方程为, 把代入, 得,所以． 把代入, 得,所以． 所以 ．  ‎ ‎23.Ⅰ解：因为, 所以等价于, 由,得解集为,, ‎ 又由的解集为,故Ⅱ证明：由Ⅰ知, 又,b,c是正实数, ． 当且仅当时等号成立, 所以．  ‎ ‎【解析】‎ ‎1. 解：, ． 故选：D． 直接利用复数模的计算公式求解． 本题考查复数模的求法,是基础题．‎ ‎2. 【分析】 本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题目． 化简集合A和B,根据补集与交集的定义写出即可． 【解答】 解：集合 , 集合 , 则, ． 故选C．‎ ‎3. 【分析】 本题主要考查充分必要条件,考查不等式解法,属于基础题解题时,先求出不等式的解集,再根据集合的包含关系判断即可． 【解答】 解：解不等式得：或, ‎ 不等式成立的一个必要不充分条件可以是：或, 故选B．‎ ‎4. 【分析】 本题考查的知识点是茎叶图,平均数和中位数,难度不大,属于基础题． 由已知这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,可得x,y的值． 【解答】‎ 解：由已知可得甲组数据的中位数为65, 故乙组数据的中位数也为65, 即, 则乙组数据的平均数为： , 故, 故选A．‎ ‎5. 【分析】 本题考查向量的三角形法则和向量的数乘运算,属于基础题． 根据向量的三角形法则和向量的数乘运算求出,,再代值计算即可． 【解答】 解： , ,, ． 故选D．‎ ‎6. 【分析】 本题考点是平面的基本性质及推论,考查综合利用平面的定理与性质判断平面中线线之间的位置关系与线面之间的位置关系,属于知识的灵活运用题本题中的四个说法是三个涉及线线之间的平行关系,一个涉及到线面之间的垂直关系,‎ 故可以用相关的定理与性质逐一判断其正误． 【解答】 解：对于,,,a,b之间的位置关系可以是平行与异面,故本说法不对； 对于,,,则a,b之间的位置关系可以是相交与异面,一定不平行,故本说法正确； 对于,若,,可以得出,故本说法正确； 对于,由,,则a,b之间的位置关系可以是相交,平行,异面,不一定平行,故本说法不正确． 综上正确 故选B．‎ ‎7. 【分析】 本题主要考查了等比数列的性质,解题的关键是灵活利用等比中项的性质,以及对数运算,属较易题． 先根据等比中项的性质可知,进而根据,求得的值,最后根据等比数列的性质求得,则答案可得． 【解答】‎ 解：由等比数列的性质可得, , , 10 ​． 故选B．‎ ‎8. 【分析】 本题考查由的部分图象确定其解析式,确定各个参数的值是解答的关键,属于基础题． 根据已知中的函数的部分图象,求出满足条件的A,,值,可得答案． 【解答】 解：由图可得函数的最大值为2,最小值为,故A, ,故,, 故． 将代入可得, 则,即, ‎ ‎,则结合各选项可知A选项正确． 故选A．‎ ‎9. 【分析】 本题考查了直线和圆相交的性质,基本不等式的应用问题,是中档题． 求出圆心和半径,可得直线过圆心,即；再利用基本不等式乘法求得的最小值． 【解答】 解：圆,即圆, 它表示以为圆心、半径为2的圆； 弦长等于直径, 直线经过圆心,故有, 即,再由,,可得： , 当且仅当,即,时取等号, 的最小值是9． 故选A．‎ ‎10. 【分析】 本题主要考查函数图象的判断,结合导数判断函数单调性,属于基础题． 根据函数单调性和导数之间的关系判断函数的单调性即可． 【解答】 解：由图像可得有两个零点,,且, 当,或时,,即函数为减函数, 当,时, 0'/>,函数为增函数, 即当,函数取得极小值,当,函数取得极大值, 观察各选项可知C符合题意, 故选C．‎ ‎11. 【分析】 通过分析可知,利用双曲线的定义可知,通过余弦定理化简得,进而计算可得结论本题考查求双曲线的离心率,涉及到余弦定理等基础知识,‎ 考查分析问题、解决问题的能力,注意解题方法的积累,属于中档题． 【解答】 解：由题可知,边为腰, 则等腰三角形的腰, 根据双曲线的定义可知, , , 即, 化简得：, , 解得或舍, 故选：A．‎ ‎12. 【分析】 求出的单调性和极值,判断方程的根的情况,令,根据的根的情况得出的零点分布情况,利用零点的存在性定理列出不等式求出m的范围本题考查了函数的单调性,零点的存在性定理,二次函数的性质,属于中档题． 【解答】 解：, 当时,,当时,, 在上单调递减,在上单调递增． ． 作出的大致函数图象如下： ‎ ‎ 由图象可知当时,有两解, 当或时,有一解,当时,无解． 令,则有三个零点, 在上有一个零点,在上有一个零点． 的图象开口向上,且, 在上必有一个零点, 当时,代入,可得, 此时,,,不符合题意． 当时,代入,可得,此时,不符合题意． 在上有一个零点,在上有一个零点． ,,即, 解得． 故选C．‎ ‎13. 【分析】  本题考查了简单线性规划；一般步骤是：画出平面区域；分析目标函数,确定求最值的条件． 首先画出平面区域,然后将目标函数变形为直线的斜截式,求在y轴的截距最大值． 【解答】 解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分,当直线经过D点时,z最大, 由得, 所以的最大值为； ‎ ‎ 故答案为．‎ ‎14. 【分析】 本题考查了同角的三角函数的关系以及二次函数的性质,属于基础题． 根据同角三角函数的基本关系将化简,利用换元得到一个关于t的二次函数,根据二次函数性质即可求出答案． 【解答】 解： , 令,则, 则​ , 当时,时,,即的最大值为1, 故答案为1．‎ ‎15. 【分析】 本题考查异面直线,异面直线所成角,考查推理能力及空间思维能力,属于基础题． 将EF平移到,则与所成角大小即为与EF所成角大小． 【解答】 解：由题知正方体中,E,F分别是,DC的中点, ‎ 连接,则, 则与所成角大小即为与EF所成角大小, 因为为正方体, 所以,即为等边三角形, 故AD与所成角大小为, 即与EF所成角大小为,即 , 故答案为 ．‎ ‎16. 解：因为,设, 所以,, , 所以, 设,, 则,解得,得； 当时,, 0'/>,为增函数； 当时,,,为减函数； 所以,当时,最大,面积最大, 设的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为II,其余部分记为III, 此时,区域Ⅱ的面积为, 且, 故当面积最大时,区域Ⅱ的面积为． 故答案为：． 的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为II,其余部分记为III,由题意,计算的面积,求出面积取最大值时对应的值,再计算区域Ⅱ的面积． 本题考查了三角函数模型应用问题,也考查了逻辑推理与计算能力,是中档题．‎ ‎17. 本题考查线面平行、线面垂直的证明,考查三棱锥的体积的求法,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、转化化归思想,考查数据处理能力和运用意识,是中档题． ‎ 推导出,由此能证明面BCE； 推导出,,由此能证明面BCE； 三棱锥的体积,由此能求出结果．‎ ‎18. 本题考查了余弦定理和三角形的面积公式,属于中档题． 先根据同角的三角函数的关系求出A,再根据余弦定理即可求出； 先根据夹角求出cosC,求出CD的长,得到,然后求出三角形ABC的面积从而得到三角形ABD的面积．‎ ‎19. 本题主要考查独立性检验,频率分布直方图,分层抽样等基础知识,考查数形结合能力、运算求解能力以及应用用意识,考查必然与或然思想等,属于中档题．Ⅰ根据15000人,其中男生10500人,女生4500人,可得应收集多少位女生的样本数据；Ⅱ由频率分布直方图可得,即可求出该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；Ⅲ写出列联表,求出,与临界值比较,即可得出结论．‎ ‎20. 本题考查椭圆的方程的求法,直线与椭圆的方程的综合应用,考查分析问题解决问题的能力．‎ 利用椭圆的离心率以及直线的斜率,求出椭圆的几何量,然后求椭圆C的方程；  由设直线的斜率为k,方程为,联立直线与椭圆方程,通过,求出k的范围,设,,利用韦达定理,求出,坐标原点O到直线的距离,得到的表达式,利用换元法以及基本不等式,通过面积的最大值,求出k的值,得到直线方程 ‎ ‎21. 本题考查利用导数研究函数的单调性及函数的最值,也考查了不等式恒成立问题,参数a的取值范围的求法,属于中档题． 要证,只需证,求导得,利用导数性质能证明； 不等式在上恒成立,即在上恒成立,令,,利用导数性质求在上的最小值,由此能求出正数a的取值范围．‎ ‎22. 本题考查曲线的参数方程、直线的极坐标方程的求法,考查三角形面积的求法,考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题． 由曲线C的直角坐标方程能求出曲线C的参数方程；由直线,的直角坐标方程能求出,的极坐标方程． ‎ 由曲线C：,得曲线C的极坐标方程为,把代入,得把代入,得由此能求出的面积．‎ ‎23.Ⅰ等价于,求出解集,利用的解集为,求m的值；Ⅱ由Ⅰ知,利用柯西不等式即可证明． 本题考查不等式的解法,考查柯西不等式的运用,属于中档题．‎