数学理卷·2018届河北省邢台一中高二下学期第三次月考（2017-05）

数学理卷·2018届河北省邢台一中高二下学期第三次月考（2017-05）

邢台一中2016-2017学年下学期第三次月考 高二年级数学（理科）试题 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：每小题5分,共60分.‎ ‎1.已知，，则与的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．不确定 ‎2.设都是正数，则三个数，，（ ）‎ A．都大于2 B．至少有一个不小于2 ‎ C．至少有一个大于2 D．至少有一个不大于2‎ ‎3.用数学归纳法证明不等式“”时，由（）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.已知，，，，…，，则推测（ ）‎ A．109 B．1033 C.199 D．29‎ ‎5.已知均为正实数，且，则的最小值为（ ）‎ A．24 B．32 C.20 D．28‎ ‎6.若不等式的解集是，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.定义在上的可导函数，其导函数为满足恒成立，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.某研究机构在对具有线性相关的两个变量和进行统计分析时，得到如下数据：‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ 由表中数据求得关于的回归方程为，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为，，已知他投篮一次得分的数学期望是2，则的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实数根个数是（ ）‎ A．3 B．4 C. 5 D．6‎ ‎11.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12. ，在不等式（）恒成立的条件下等式恒成立，求的取值集合（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.对任意实数（）和，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．‎ ‎14.若随机变量，且，则展开式中 项的系数是 ．‎ ‎15.若在处取得极大值10，则的值为 ．‎ ‎16.已知函数在处取得极值，若，则的最小值是 ．‎ 三、解答题 （17小题10分，18-22小题每题12分，共70分.） ‎ ‎17. 若不等式对一切正整数都成立.‎ ‎（1）猜想正整数的最大值；‎ ‎（2）并用数学归纳法证明你的猜想.‎ ‎18. 已知函数.‎ ‎（1）若不等式的解集是空集，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎19. 2017年省内某事业单位面向社会公开招骋工作人员，为保证公平竞争，报名者需要参加笔试和面试两部分，且要求笔试成绩必须大于或等于90分的才有资格参加面试，90分以下（不含90分）则被淘汰，现有2000名竞骋者参加笔试，参加笔试的成绩按区间，，，，，分段，其频率分布直方图如图所示（频率分布直方图有污损），但是知道参加面试的人数为500，且笔试成绩在的人数为1440.‎ ‎（1）根据频率分布直方图，估算竞骋者参加笔试的平均成绩；‎ ‎（2）若在面试过程中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题，答对3题者方可参加复赛，已知面试者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，若他连续三次答题中答对一次的概率为，求面试者甲答题个数的分布列及数学期望.‎ ‎20. 元旦期间，某轿车销售商为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种，方案一：每满6万元，可减6千元；方案二：金额超过6万元（含6万元），可摇号三次，其规则是依次装有2个幸运号、2个吉祥号的一号摇号机，装有2个幸运号、2个吉祥号的二号摇号机，装有1个幸运号、3个吉祥号的三号摇号机各摇号一次，其优惠情况为：若摇出3个幸运号则打6折，若摇出2个幸运号则打7折；若摇出1个幸运号则打8折；若没有摇出幸运号则不打折.‎ ‎（1）若某型号的车正好6万元，两个顾客都选中第二种方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率.‎ ‎（2）若你看中一款价格为10万的便型轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方案.‎ ‎21. 已知函数，，（其中）‎ ‎（1）当，时，求证：；‎ ‎（2）若，设，求函数在区间上的最大值.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数存在极小值点，且，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 ‎1--6 BBCACC 7--12 AADABA ‎13. 14. 15. 16.‎ ‎17.（1）当时， ，即 所以， 是正整数，所以猜想 ‎（2）下面利用数学归纳法证明： ‎ ‎①当时，已证：‎ ‎②假设时，不等式成立，即 则当时，有 因为 所以 所以当时不等式也成立[‎ 由①②知，对一切正整数，都有 所以的最大值等于25．‎ ‎18.试题解析：（Ⅰ） 作出的图象（略），‎ 数形结合知的最小值.‎ ‎∵不等式的解集是空集，‎ ‎∴实数的取值范围为.‎ ‎（Ⅱ）存在，使得成立，等价于，‎ 由（Ⅰ）可知，‎ 所以，解得，故实数的取值范围为.‎ ‎19.(1)设竞聘者成绩在区间的人数分别为，则 ‎，‎ 解得.‎ ‎，‎ 解得.,‎ 解得，竞聘者参加笔试的平均成绩为 ‎.‎ ‎(2)设面试者甲每道题答对的概率为，则，面试者甲答题个数的可能取值为，则；‎ ‎. 的分布列如下表：‎ ‎.‎ ‎20.试题解析：（1）选择方案二方案一更优惠，则需要至少摸出一个幸运球，设顾客不打折即三次没摸出幸运球为事件，则，故所求概率． ‎ ‎（2）若选择方案一，则需付款（万元）． ‎ 若选择方案二，设付款金额为万元，则可能的取值为，‎ ‎，‎ ‎， ， ‎ 故的分布列为 ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎10‎ 所以（万元）（万元），‎ 所以选择第二种方案根划算．‎ ‎21.解析：（1）证明：设 则 当x>时， ，当x<时， ‎ 单调递减，在上单调递增。‎ ‎∴.‎ ‎∴得证 ‎ ‎（2） ‎ ‎ ∵‎ 当时， ∴在[0，1]单调递增，∴‎ 当时，由.‎ 若即时， ∴在[0，1]单调递增，∴‎ 若即时，∴在（0，－ ）单调递增，（－ ，1）单调递减.‎ ‎∴ ＝.‎ 综上所述得 ‎22.解析：（Ⅰ）因为函数，所以其定义域为.‎ 所以 .‎ 当时， ，函数在区间上单调递减.‎ 当时， .‎ 当时， ，函数在区间上单调递减.‎ 当时， ，函数在区间上单调递增.‎ 综上可知，当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎（Ⅱ）因为 ，‎ 所以 （）.‎ 因为函数存在极小值点，所以在上存在两个零点， ，且 ‎.‎ 即方程的两个根为， ，且，‎ 所以，解得.‎ 则 .‎ 当或时， ，当时， ，‎ 所以函数的单调递减区间为与，单调递增区间为.‎ 所以为函数的极小值点.‎ 由，得.‎ 由于等价于.‎ 由，得，所以.‎ 因为，所以有，即.‎ 因为，所以.‎ 解得.‎ 所以实数的取值范围为.‎