数学（理）卷·2017届福建省福州外国语学校高三适应性考试（九）（2016

数学（理）卷·2017届福建省福州外国语学校高三适应性考试（九）（2016

‎ ‎ 高三数学（理科）试题 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，那么（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.命题：实数，若，则成等差数列.命题：实数，若，则成等比数列，下列选项正确的是（ ）‎ A．为假命题 B．为真命题 C．为真命题 D．为真命题 ‎3.已知均为钝角，，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.《孙子算经》中有这样一道题目：“今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？”意思是：有100头鹿，每户人家分1头还有剩余；每3户人家再分1头，正好分完，问共有多少户人家？设计流程图如下，则共输出值是（ ）‎ A．74 B．75 C.76 D．77‎ ‎5.已知向量的模长为1，且满足，则在方向上的投影等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.周末一家四人：爸爸，妈妈和两个孩子一起去看电影，并排坐在连号的四个座位上，要求孩子边必须有大人陪着，则不同的坐法种数（ ）‎ A．8 B．12 C.16 D．20‎ ‎8.已知，若，则 的值为（ ）‎ A．0 B． C.1 D．‎ ‎9.设双曲线右支上一动点，过点向此双曲线的渐近线做垂线，垂足分别为点与点，若始终在第一、四象限内，点为坐标原点，则此双曲线离心率的取值范围（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.一个不透明的袋子装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字为0，1，2，2，现甲从中摸出一个球后便放回，乙再从中摸出一个球，若输出的球上数字大即获胜（若数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸1号球的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.函数，若方程有8个不同的实根，则此8个实根之和是（ ）‎ A． B． C. D．2‎ ‎12.数列满足，，且，则的整数部分的所有可能值构成的集合是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知实数满足，则的最大值 ．‎ ‎14.现将一条直线经过点，且与相交所得弦长为，则此直线的方程是 ．‎ ‎15.某学校举行数学趣味比赛，共设置6道判断题，正确的打“√”，错误的打“×”，答对得2分，不答得1分，答错得0分，甲、乙、丙、丁的答案如下表，则同学丁得分是 ．‎ 学生 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 得分 甲 ‎×‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎7‎ 乙 ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎9‎ 丙 ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎7‎ 丁 ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎？‎ ‎16.已知函数，若对任意的，，恒有成立，则实数的取值范围是 ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知分别为三个内角的对边，且.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）当且的面积最大时，求的值.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ ‎2015年国内生产总值为676708亿元，下面是2015年中国大陆31个 省、市、自治区（不包含港澳台）为的GDP相对于2014年的GDP的实际增长率：‎ 广东：‎ 江苏：‎ 山东：‎ 浙江：‎ 河南：‎ 四川：‎ 河北：‎ 湖北：‎ 湖南：‎ 辽宁：‎ 福建：‎ 上海：‎ 北京：‎ 安徽：‎ 西藏：‎ 陕西：‎ 内蒙古：‎ 广西：‎ 江西：‎ 天津：‎ 重庆：‎ 黑龙江：‎ 吉林：‎ 云南：‎ 山西：‎ 贵州：‎ 新疆：‎ 甘肃：‎ 海南：‎ 宁夏：‎ 青海：‎ ‎（Ⅰ）根据上述数据，完成下列表格和频率分布直方图，并通过频率分布直方图近似估计增长率的中位数和平均数（注：同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）（精确度到）；‎ ‎（Ⅱ）现在安徽省某高校毕业生A，B因为某些原因想到外省份创业，毕业生A，B选择外省创业是等可能的，且A，B可以在选择同一省份，设两人中选择增长率达到和以上的城市的人数为，求的分布列和数学期望.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 在四棱锥中，设底面是边长为1的正方形，.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）过且与直线垂直的平面与交于点，当三棱锥的体积最大时，求二面角的大小.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 如图，等边的边长为，且其三个顶点均在抛物线上.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点，过点的直线交轨迹于两点，设直线的斜率分别为，‎ 证明：为定值，并求此定值.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）若在上为增函数，求实数的取值范围.‎ ‎（Ⅱ）当时，设的两个极值点为，且，求的最小值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.已知直线（为参数），曲线（为参数）.‎ ‎（Ⅰ）设与相交于两点，求；‎ ‎（Ⅱ）若把曲线上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最大值.‎ ‎23.已知.‎ ‎（Ⅰ）当时，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若恒成立，求的取值范围.‎ 数学（理科）参考答案 一、选择题 ‎1-5:DDCBB 6-10:CCBCD 11、12：DA 二、填空题 ‎13.3 14.或 15.8 16.‎ 三、解答题 ‎17.（Ⅰ）由正弦定理：，‎ ‎，得，‎ ‎，，又，∴.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），，∴，‎ 又，∴，∴，当且仅当时等号成立.‎ ‎∴，∴.‎ ‎18.（Ⅰ）‎ 设中位为，则，解得.‎ 平均数.‎ ‎（Ⅱ）A，B选择增长率达到及以上的概率为，且A与B相互独立，‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎.‎ ‎19.（Ⅰ）因为四边形是正方形，‎ 所以，，‎ 由此推出，‎ 又，‎ 所以，‎ 而，‎ 所以推出.‎ ‎（Ⅱ）设，三棱锥的底面积为定值，求得它的高，‎ 当，即时，最大值为，三棱锥的体积达到最大值为.‎ 以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则 ‎，令，，‎ ‎∴，‎ ‎∴二面角为.‎ ‎20.（Ⅰ）依题意：知，，‎ 设，则，‎ ‎.‎ 因为点在上，‎ 所以，解得，‎ 故抛物线的方程为.‎ ‎（Ⅱ）由题可知直线的斜率一定存在，‎ 设点，‎ 则联立得，‎ 所以，‎ ‎.‎ ‎21.（Ⅰ），‎ 由题意，即对恒成立，整理得：‎ ‎，即，在上恒成立，显然时 成立.‎ 时设，显然且对称轴为，‎ ‎∴在上单调递增，‎ ‎∴只要，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ），‎ 由题意，∴，解得.‎ ‎，，‎ 两式相减得，‎ ‎∴记为，‎ ‎，‎ ‎∴在递减，，‎ ‎∴的最小值为.‎ ‎22.（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）最大值.‎ ‎23.（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎ ‎