2018-2019学年湖南省娄底市高二上学期期中考试数学（理）试题 Word版
娄底市2018-2019年第一学期期中考试高二(理科)数学试题
时量：120分钟 总分：150分
一、选择题（每小题5分，每小题只有一个正确选项）
1．在中,内角的对边分别为，若，则 一定是( )
A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
2．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝（2+）bc，则角A等于( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝12，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0( )
A．无实根 B．有两个相等实根
C．有两个不等实根 D．不能确定有无实根
4．若a
d>0，则一定有( )
A.> B.< C.> D.＜
5．关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－10的解集为( )
A．{x|－21或x<－2}
C．{x|x>2或x<－1} D．{x|x<－1或x>1}
6．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的周长为2(＋1)，且sin B＋sin C＝sin A，则a＝ ( )
A. B．2 C．4 D．2
7．已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N*)，且{an}单调递增，则k的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(－∞，2) C．(－∞，3] D． (－∞，3)
8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40， Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝( )
A．12 B．14 C．16 D．18
9．等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15＝( )
A．2 B．±2 C．4 D．±4
10．若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为( )
A．－1 B．1 C. D．2
11．若lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)，则xy的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知两定点A(-2,0),B(1,0),若动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所围的面积等于( )
A.9π B.8π C.4π D.π
二、填空题（每小题5分）
13．命题“若A∉l，则B∈m”的逆否命题是________.
14.在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝，则的值为________．
15.“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程都增加2 km，在达到离地面210 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是______秒．
16．已知直线l:+=1,M是直线l上的一个动点,过点M作x轴和y轴的垂线,垂足分别为A,B,点P是线段AB的靠近点A的一个三等分点,点P的轨迹方程为________________.
三、解答题
17．（本题满分10分）
在△ABC中， =60°，c=a.
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面积.
18．（本题满分12分）设命题实数满足，其中，命题实数满足
.
（1）若，且为真，求实数的取值范围.
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
19．（本题满分12分）已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.
20．（本题满分12分）设不等式mx2－2x－m＋1＜0对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．
21．（本题满分12分）某厂有一批长为18m的条形钢板，可以割成1.8m和
1.5m长的零件．它们的加工费分别为每个1元和0.6元．售价分别为20元和15元，总加工费要求不超过8元．问如何下料能获得最大利润.
22．（本题满分12分）已知F1，F2分别是椭圆C：
（a＞b＞0）的左，右焦点，D，E分别是椭圆C的上顶点和右顶点，且，离心率e=
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设经过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求的最小值．
参考答案
一、选择题
1．C 2. A 3.C 4.D 5.B 6.B 7.D 8.B 9.A 10.B 11.A 12.C
二、填空题
13．若B∉m，则A∈l 14. 2 15. 14 16. 3x+8y-8=0
三、解答题
17、（本题满分10分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，，
所以由正弦定理得. （4分）
（Ⅱ）因为，所以.
由余弦定理得， （7分）
解得或（舍）. （8分）
所以△ABC的面积. （10分）
18、（本题满分12分）
对于命题p:，
其中，∴，
则，.
由，解得，即. （6分）
（1）若解得，若为真，则同时为真，
即，解得，∴实数的取值范围 （9分）
（2）若是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件，
∴，即，解得 （12分）
19、（本题满分12分）
解：(1)设{an}的公差为d，则由已知条件得
a1＋2d＝2,3a1＋d＝， （2分）
化简得a1＋2d＝2，a1＋d＝，
解得a1＝1，d＝， （4分）
故{an}的通项公式an＝1＋，即an＝. （6分）
(2)由(1)得b1＝1，b4＝a15＝＝8. （8分）
设{bn}的公比为q，则q3＝＝8，从而q＝2， （10分）
故{bn}的前n项和Tn＝ （12分）
20、（本题满分12分）
解：原不等式可化为(x2－1)m－(2x－1)＜0. （1分）
令f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，其中m∈[－2,2], 则原命题等价于关于m的一次函数(x2－1≠0时)或常数函数(x2－1＝0时)在m∈[－2,2]上的函数值恒小于零． （2分）
(1)当x2－1＝0时，由f(m)＝－(2x－1)＜0得x＝1； （4分）
(2)当x2－1＞0时，f(m)在[－2,2]上是增函数，要使f(m)＜0在[－2,2]上恒成立，只需
（6分）
解得1＜x＜； （7分）
(3)当x2－1＜0时，f(m)在[－2,2]上是减函数，要使f(m)＜0在[－2,2]上恒成立，只需
（9分）
解得＜x＜1. （10分）
综合(1)(2)(3)，得＜x＜. （12分）
21、（本题满分12分）
设割成的1.8m和1.5m长的零件分别为x个、y个，利润为z元，
则z＝20x＋15y－(x＋0.6y)即z＝19x＋14.4y且
， （3分）
作出不等式组表示的平面区域如图， （5分）
又由，
解出x＝，y＝，∴M(，)， （7分）
∵x、y为自然数，在可行区域内找出与M最近的点为(3,8)，此时z＝19×3＋14.4×8＝172. 2(元)． （8分）
又可行域的另一顶点是(0,12)，过(0,12)的直线使z＝19×0＋14.4×12＝172.8(元)；（9分）
过顶点(8,0)的直线使z＝19×8＋14.4×0＝152(元)． （10分）
M(，)附近的点(1,10)、(2,9)，直线z＝19x＋14.4y过点(1,10)时，z＝163；过点(2,9)时z＝167.6. （11分）
∴当x＝0，y＝12时，z＝172.8元为最大值．
答：只要截1.5m长的零件12个，就能获得最大利润．（12分）
22、（本题满分12分）
解：（Ⅰ）依题意得， （3分）
解得， （5分）
故所求椭圆方程为： （6分）
（Ⅱ）由（1）知F2（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的方程为x=ty+1，代入椭圆的方程，整理得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，
（8分）
∵，
，
，
， （11分）
当且仅当t=0时上式取等号．∴的最小值为：． （12分）
