数学卷·2018届陕西省西安市庆安中学高二上学期第一次月考数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届陕西省西安市庆安中学高二上学期第一次月考数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年陕西省西安市庆安中学高二（上）第一次月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．若数列{an}满足3an+1=3an+1，则数列是（　　）‎ A．公差为1的等差数列 B．公差为的等差数列 C．公差为﹣的等差数列 D．不是等差数列 ‎2．等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（　　）‎ A．15 B．30 C．31 D．64‎ ‎3．等比数列{an}中，a2=9，a5=243，{an}的前4项和为（　　）‎ A．81 B．120 C．168 D．192‎ ‎4．等差数列中，a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78，则此数列前20项和等于（　　）‎ A．160 B．180 C．200 D．220‎ ‎5．设{an}是等比数列，且a1=，S3=，则它的通项公式为an=（　　）‎ A． •（）n﹣1 B． C． •（﹣）n﹣2 D． •（﹣2）n﹣1或 ‎6．等比数列{an}中，a3，a5 是方程x2﹣34x+64=0的两根，则a4等于（　　）‎ A．8 B．﹣8 C．±8 D．以上都不对 ‎7．若{an}是等比数列，其公比是q，且﹣a5，a4，a6成等差数列，则q等于（　　）‎ A．1或2 B．1或﹣2 C．﹣1或 2 D．﹣1或﹣2‎ ‎8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10：S5=1：2，则S15：S5等于（　　）‎ A．3：4 B．2：3 C．1：2 D．1：3‎ ‎9．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1、a3、a9成等比数列，则的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（　　）‎ A．21 B．20 C．19 D．18‎ ‎11．数列1，2，3，4…前n项的和为（　　）‎ A． + B．﹣++1‎ C．﹣+ D．﹣+‎ ‎12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200=（　　）‎ A．100 B．101 C．200 D．201‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．与的等比中项是　　．‎ ‎14．等比数列{an}中，公比为2，前四项和等于1，则前8项和等于　　．‎ ‎15．已知两个等差数列{an}，{bn}的前n项的和分别为Sn，Tn，且，则 =　　．‎ ‎16．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神八”的“长征”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2km，以后每秒钟通过的路程都增加2km，在到达离地面240km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是　　秒钟．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．已知等差数列{an}中，a15=8，a60=20，则a75=　　．‎ ‎18．已知等差数列{an}中，a3a7=﹣16，a4+a6=0，求：‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）{an}的前n项和Sn．‎ ‎19．已知{an}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若等比数列{bn}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求数列{bn}‎ 的前n项和公式．‎ ‎20．设数列{an}满足：a1=1，a2=，an+2=an+1﹣an （n=1，2，…）．令bn=an+1﹣an．‎ ‎（1）求证：数列{bn}是等比数列，并求bn；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式．‎ ‎21．在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n．‎ ‎（1）设bn=，证明：数列{bn}是等差数列．‎ ‎（2）求数列{an}的前n项和．‎ ‎22．已知数列{an}前n项和为Sn，且a1=1，an+1=Sn（n=1，2，3，…）‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）当bn=log（3an+1）时，求证：数列{}的前n项和Tn=．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年陕西省西安市庆安中学高二（上）第一次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．若数列{an}满足3an+1=3an+1，则数列是（　　）‎ A．公差为1的等差数列 B．公差为的等差数列 C．公差为﹣的等差数列 D．不是等差数列 ‎【考点】等差关系的确定．‎ ‎【分析】由3an+1=3an+1，可得an+1﹣an=，所以根据等差数列的定义进行判断．‎ ‎【解答】解：∵3an+1=3an+1，‎ ‎∴an+1﹣an=，‎ ‎∴数列{an}是以公差为的等差数列．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（　　）‎ A．15 B．30 C．31 D．64‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】由a7+a9=16可得 2a1+14d=16，再由a4=1=a1+3d，解方程求得a1和公差d的值，从而求得a12的值．‎ ‎【解答】解：设公差等于d，由a7+a9=16可得 2a1+14d=16，即 a1+7d=8．‎ 再由a4=1=a1+3d，可得 a1=﹣，d=．‎ 故 a12 =a1+11d=﹣+=15，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．等比数列{an}中，a2=9，a5=243，{an}的前4项和为（　　）‎ A．81 B．120 C．168 D．192‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】根据等比数列的性质可知等于q3，列出方程即可求出q的值，利用即可求出a1的值，然后利用等比数列的首项和公比，根据等比数列的前n项和的公式即可求出{an}的前4项和．‎ ‎【解答】解：因为==q3=27，解得q=3‎ 又a1===3，则等比数列{an}的前4项和S4==120‎ 故选B ‎　‎ ‎4．等差数列中，a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78，则此数列前20项和等于（　　）‎ A．160 B．180 C．200 D．220‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】先根据a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78可得到a1+a20=18，再由等差数列的前20项和的式子可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78‎ ‎∴a1+a20+a2+a19+a3+a18=54=3（a1+a20）‎ ‎∴a1+a20=18‎ ‎∴=180‎ 故选B ‎　‎ ‎5．设{an}是等比数列，且a1=，S3=，则它的通项公式为an=（　　）‎ A． •（）n﹣1 B． C． •（﹣）n﹣2 D． •（﹣2）n﹣1或 ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】由题意可得q的方程，解方程可得q，即可求出•（﹣2）n﹣1或．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}为等比数列，且a1=，S3=，‎ ‎∴S3=a1+a1q+a1q2=（1+q+q2）=，‎ 整理可得q2+q﹣2=0，解得q=﹣2或q=1，‎ ‎∴an=•（﹣2）n﹣1或，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．等比数列{an}中，a3，a5 是方程x2﹣34x+64=0的两根，则a4等于（　　）‎ A．8 B．﹣8 C．±8 D．以上都不对 ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】利用一元二次方程的根与系数关系求得a3a5=64，再由等比数列的性质得a4．‎ ‎【解答】解：在等比数列{an}中，‎ a3，a5 是方程x2﹣34x+64=0的两根，‎ 由根与系数关系得：a3a5=64，a3+a5=34＞0，‎ ‎∴a3＞0，a5＞0．‎ 再由等比数列的性质得：a42=a3a5=64．‎ ‎∴a4=±8．‎ 故选：C ‎　‎ ‎7．若{an}是等比数列，其公比是q，且﹣a5，a4，a6成等差数列，则q等于（　　）‎ A．1或2 B．1或﹣2 C．﹣1或 2 D．﹣1或﹣2‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】由题意可得﹣a5+a6=2a4 ，即﹣a4q+a4q2=2a4，化简可得（q+1）（q﹣2）=0，解方程求得q的值．‎ ‎【解答】解：∵﹣a5，a4，a6成等差数列，‎ ‎∴﹣a5+a6=2a4，‎ ‎∴﹣a4q+a4q2=2a4，‎ ‎∴q2﹣q﹣2=0，‎ ‎∴（q+1）（q﹣2）=0，‎ ‎∴q=﹣1或2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10：S5=1：2，则S15：S5等于（　　）‎ A．3：4 B．2：3 C．1：2 D．1：3‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】根据在等比数列中，每5项的和仍然成等比数列，设S5 =x，则由条件可得 S10 =x，S15= x，从而得到S15：S5 的值．‎ ‎【解答】解：在等比数列中，每5项的和仍然成等比数列，设S5 =x，则由条件可得 S10 =x，‎ ‎∴S10﹣S5 = x﹣x=﹣x，∴S15﹣S10 = x，∴S15= x+x=x，‎ 故 S15：S5 ==，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1、a3、a9成等比数列，则的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等差数列与等比数列的综合．‎ ‎【分析】因为{an}是等差数列，故a1、a3、a9都可用d表达，又因为a1、a3、a9恰好是等比数列，所以有a32=a1a9，即可求出d，从而可求出该等比数列的公比，最后即可求比值．‎ ‎【解答】解：等差数列{an}中，a1=a1，a3=a1+2d，a9=a1+8d，‎ 因为a1、a3、a9恰好是某等比数列，‎ 所以有a32=a1a9，即（a1+2d）2=a1（a1+8d），解得d=a1，‎ 所以该等差数列的通项为an=nd 则的值为=．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（　　）‎ A．21 B．20 C．19 D．18‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件．‎ ‎【解答】解：设{an}的公差为d，由题意得 a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①‎ a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②‎ 由①②联立得a1=39，d=﹣2，‎ ‎∴Sn=39n+×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20）2+400，‎ 故当n=20时，Sn达到最大值400．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．数列1，2，3，4…前n项的和为（　　）‎ A． + B．﹣++1‎ C．﹣+ D．﹣+‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】利用分组求和法求解．‎ ‎【解答】解：数列1，2，2，4…前n项的和：‎ S=（1+2+3+4+…+n）+（）‎ ‎=‎ ‎=﹣++1．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200=（　　）‎ A．100 B．101 C．200 D．201‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】由三点共线得a1+a200=1，再由等差数列前n项和公式解得．‎ ‎【解答】解：∵A，B，C三点共线 ‎∴a1+a200=1‎ 又∵‎ ‎∴s200=100‎ 故选A ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．与的等比中项是　±1　．‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】设与的等比中项a，则等比中项的性质可知，，可求 ‎【解答】解：设与的等比中项a 由等比中项的性质可知， =1‎ ‎∴a=±1‎ 故答案为：±1‎ ‎　‎ ‎14．等比数列{an}中，公比为2，前四项和等于1，则前8项和等于　17　．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用等比数列的求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵=1，解得a1=．‎ 则S8==17．‎ 故答案为：17．‎ ‎　‎ ‎15．已知两个等差数列{an}，{bn}的前n项的和分别为Sn，Tn，且，则 =　　．‎ ‎【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】令n=9，代入已知的等式，求出的值，然后利用等差数列的求和公式分别表示出S9和T9，利用等差数列的性质得到a1+a9=2a5及b1+b9=2b5，化简后即可得到的值．‎ ‎【解答】解：令n=9，得到=，‎ 又S9==9a5，T9==9b5，‎ ‎∴===．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎16．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神八”的“长征”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2km，以后每秒钟通过的路程都增加2km，在到达离地面240km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是　15　‎ 秒钟．‎ ‎【考点】函数的零点与方程根的关系．‎ ‎【分析】设出每一秒钟的路程为一数列，由题意可知此数列为等差数列，然后根据等差数列的前n项和的公式表示出离地面的高度，让高度等于240列出关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值．‎ ‎【解答】解：设每一秒钟通过的路程依次为a1，a2，a3，…，an，‎ 则数列{an}是首项a1=2，公差d=2的等差数列，‎ 由求和公式有na1+=240，即2n+n（n﹣1）=240，‎ 解得n=15，‎ 故答案为：15‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．已知等差数列{an}中，a15=8，a60=20，则a75=　24　．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】等差数列{an}中，由a15=8，a60=20，求出首项和公差，由此能求出a75．‎ ‎【解答】解：等差数列{an}中，‎ ‎∵a15=8，a60=20，‎ ‎∴，解得，d=，‎ ‎∴a75=+74×=24．‎ 故答案为：24．‎ ‎　‎ ‎18．已知等差数列{an}中，a3a7=﹣16，a4+a6=0，求：‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）{an}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出．‎ ‎（2）利用等差数列的求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解　（1）设{an}的公差为d，a3a7=﹣16，a4+a6=0=a3+a7，‎ 解得a3=4，a7=﹣4或a3=﹣4，a7=4．‎ ‎∴a1+2d=4，a1+6d=﹣4，或a1+2d=﹣4，a1+6d=4．‎ 解得或．‎ ‎∴an=8﹣2（n﹣1）=10﹣2n，或an=﹣8+2（n﹣1）=2n﹣10．‎ ‎（2）由（1）可得：或．‎ 因此Sn=﹣8n+2=n（n﹣9），或Sn=8n+×（﹣2）=﹣n（n﹣9）．‎ ‎　‎ ‎19．已知{an}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若等比数列{bn}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求数列{bn}的前n项和公式．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设出等差数列的公差为d，然后根据第三项为﹣6，第六项为0利用等差数列的通项公式列出方程解出a1和d即可得到数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）根据b2=a1+a2+a3和an的通项公式求出b2，因为{bn}为等比数列，可用求出公比，然后利用首项和公比写出等比数列的前n项和的公式．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差d．‎ 因为a3=﹣6，a6=0‎ 所以解得a1=﹣10，d=2‎ 所以an=﹣10+（n﹣1）•2=2n﹣12‎ ‎（Ⅱ）设等比数列{bn}的公比为q 因为b2=a1+a2+a3=﹣24，b1=﹣8，‎ 所以﹣8q=﹣24，即q=3，‎ 所以{bn}的前n项和公式为 ‎　‎ ‎20．设数列{an}满足：a1=1，a2=，an+2=an+1﹣an （n=1，2，…）．令bn=an+1﹣an．‎ ‎（1）求证：数列{bn}是等比数列，并求bn；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】（1）把已知数列递推式变形，即可证明数列{bn}是等比数列，再由等比数列的通项公式求bn；‎ ‎（2）把bn代入bn=an+1﹣an，然后利用累加法求得数列{an}的通项公式．‎ ‎【解答】（1）证明：∵bn+1=an+2﹣an+1=﹣an+1=（an+1﹣an）=bn．‎ ‎∴= （n=1，2，3，…），即{bn}是等比数列，公比q=，‎ 首项b1=a2﹣a1=．∴bn=；‎ ‎（2）解：an+1﹣an=．‎ ‎∴an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）‎ ‎=1+b1+b2+…+bn﹣1=1++…+（）n﹣1=．‎ ‎　‎ ‎21．在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n．‎ ‎（1）设bn=，证明：数列{bn}是等差数列．‎ ‎（2）求数列{an}的前n项和．‎ ‎【考点】数列的求和；等差关系的确定．‎ ‎【分析】（1）由an+1=2an+2n，可得，即bn+1﹣bn=1．即可证明；‎ ‎（2）由（1）可得：bn=1+（n﹣1）=n，，再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．‎ ‎【解答】（1）证明：∵an+1=2an+2n，∴，‎ ‎∴bn+1﹣bn=1．‎ ‎∴数列{bn}是等差数列，首项为=1，公差为1．‎ ‎（2）解：由（1）可得：bn=1+（n﹣1）=n，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴数列{an}的前n项和Sn=1+2×2+3×22+…+n•2n﹣1，‎ ‎2Sn=2+2×22+3×23+…+（n﹣1）×2n﹣1+n×2n，‎ ‎∴﹣Sn=1+2+22+…+2n﹣1﹣n×2n=﹣n×2n=（1﹣n）×2n﹣1．‎ ‎∴Sn=（n﹣1）×2n+1．‎ ‎　‎ ‎22．已知数列{an}前n项和为Sn，且a1=1，an+1=Sn（n=1，2，3，…）‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）当bn=log（3an+1）时，求证：数列{}的前n项和Tn=．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）利用递推式、等比数列的定义及其通项公式即可得出；‎ ‎（2）bn==n，可得=．再利用“裂项求和”即可得出．‎ ‎【解答】（1）解：∵an+1=Sn，∴当n≥2时，，∴an+1﹣an=，即．‎ 当n=1时，，a1=1，∴=，‎ 因此当n≥2时，数列{an}是等比数列，首项为，公比为，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2）证明：bn=（3an+1）==n，‎ ‎∴==．‎ ‎∴数列{}的前n项和Tn=+…+=1﹣=．‎ ‎∴数列{}的前n项和Tn=．‎