2018-2019学年重庆市万州二中高二下学期期中考试 数学（理） Word版
高2020级高二下期理科数学中期考试试题
命题人：张应红 审题人：冉小魏
一、单选题
1．已知复数z=2+i1-i（i是虚数单位），则z（z是z的共轭复数）的虚部为( )
A．12 B．-12 C．32 D．-32
2．汽车以V=3t+1(单位：ms)作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的位移是( )
A．4.5m B．5m C．5.5m D．6m
3．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn=nm”类比得到“a⋅b=b⋅a”；
②“m+nt=mt+nt”类比得到“a+b⋅c=a⋅c+b⋅c”；
③“m⋅nt=mn⋅t”类比得到“a⋅bc=ab⋅c”．
以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
4．从右图所示的长方形区域内任取一点M，则点M取自图中阴影部分的概率为( )
A．34 B．33 C．13 D．25
5．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃。甲说：“是丙或丁打碎的。”乙说：“是丁打碎的。”丙说：“我没有打碎玻璃。”丁说：“不是我打碎的。”他们中只有一人说了谎，请问是( )打碎了玻璃。
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值，则a的取值范围为( )
A．(-1,2) B． (-∞,-3)∪(6,+∞)
C．(-3,2) D．(-∞,-1)∪(2,+∞)
7．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如右图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n-1，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,⋯，则此数列的前55项和为( )
A．4072 B．2026 C．4096 D．2048
8．函数f(x)的定义域是R，f(0)=2，对任意x∈R，f(x)+f'(x)>1，则不等式
ex⋅f(x)>ex+1的解集为（ ）
A． {xx>0} B．{xx<-1或x>1}
C．{xx<0} D．{xx<-1或0
22+5
（Ⅱ）已知a>0,b>0，且a+b>2，求证：1+ba和1+ab中至少有一个小于2.
19．用一根长为144分米的铁丝制作一个长方体框架(由12条棱组成),使得长方体框架的底面长是宽的2倍．在制作时铁丝恰好全部用完且损耗忽略不计．现设该框架的底面宽是x分米,用V(x)表示该长方体框架所占的空间体积(即长方体的体积)．
（1）试求函数V(x)的解析式及其定义域；
（2）当该框架的底面宽x取何值时,长方体框架所占的空间体积最大,并求出最大值．
20．已知函数f(x)=ax2+(2a-1)x-lnx.
（1）当a=12时，求函数f(x)在点x=1处的切线方程；
（2）讨论函数f(x)的单调性.
21．已知函数fx=ex-1-x-ax2.
（1）当a=0时，求函数fx的最小值；
（2）当x≥0时，若不等式fx≥0恒成立，求实数a的取值范围；
22．已知函数h(x)=alnx+x2-(a+2)x，g(x)=(a-1)lnx+(1+a)x2-4x.
（Ⅰ）若函数h(x)在[2,5]上单调递增，求实数a的取值范围;
（Ⅱ）若函数f(x)=h(x)-g(x)的图象与直线y=m(m∈R)交于A,B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f'(x0)<0（f'(x)为函数f(x)的导函数）.
参考答案
DCBCD BAADB BC
12. 【解析】∵，
∴。
将看成，即曲线。
将看成，即直线。
表示曲线上的点与直线上的点间的距离的平方。作与直线平行的曲线的切线，
由，得，令，得，
解得或（舍去）。所以切点为。
故点到直线的距离为。
故曲线上的点到直线的最小距离为。
∴的最小值为5。 选C。
16．【解析】
解：设公切线与f（x）＝x2+1的图象切于点（x1，x12+1），
与曲线C：g（x）＝2alnx+1切于点（x2，2alnx2+1），
∴2x1=2ax2=(2alnx2+1)-(x12+1)x2-x1=2alnx2-x12x2-x1，
化简可得，2x1=2x1x2lnx2-x12x2-x1，∴x1=2x2-2x2lnx2
∵2x1=2ax2，a=2x22-2x22lnx2，
设h（x）=2x2-2x2lnx（x＞0），则h′（x）=2x1-2lnx，
∴h（x）在（0，e）上递增，在（e，+∞）上递减，
∴h（x）max＝h（e）=e，∴实数a的的最大值为e，故答案为：e．
17．【解析】z=2m2-3m-2+m2-3m+2i ，
（1）z为纯虚数，则{2m2-3m-2=0m2-3m+2≠0，则m=-12.
（2）2m2-3m-2+m2-3m+2=0，则m=0或m=2.
18． 【解析】（Ⅰ）证明：因为6+7和22+5 都是正整数，所以
只需证6+72>22+52，
只需证13+242>13+410，
即证242>410，即证42>210，
即证422>2102，
即证42>40，
因为42>40显然成立，所以原不等式成立.
（Ⅱ）假设1+ba≥2，1+ab≥2
则因为a>0,b>0,，有1+b≥2a,1+a≥2b,
所以2+a+b≥2a+2b，
故a+b≤2.这与题设条件a+b>2相矛盾，所以假设错误.
因此1+ba和1+ab中至少有一个小于2.
19． 【解析】（1）由题意,当长方体框架的底面宽是x分米时,其长是2x分米,高是144-4(x+2x)4=(36-3x)分米,
所以V(x)=x⋅2x⋅(36-3x)=6x2(12-x)．
由x>02x>036-3x>0,解得00,12-x>0,
所以V(x)=6x2(12-x)=24⋅x2⋅x2⋅(12-x)≤24(x2+x2+12-x3)3 =24×64=1536,
当且仅当x2=12-x,即x=8时,V(x)有最大值,
最大值为V(x)max=1536．
即当该框架的底面宽为8分米时，长方体框架所占的空间体积最大，最大值为1536立方分米．
法2：因为V(x)=6x2(12-x)=72x2-6x3(00；当x∈(8,12)时,V'(x)<0．
从而V(x)在区间(0,8)上单调递增,在区间(8,12)上单调递减,
故当x=8时,V(x)有最大值,最大值为V(x)max=V(8)=1536．
即当该框架的底面宽为8分米时，长方体框架所占的空间体积最大，最大值为1536立方分米．
20．【解析】（1）当a=12时，fx=12x2-lnxx>0,f(1)=12
⇒f'(x)=x-1x=(x+1)(x-1)x
∴切线斜率k=f'1=0，切线方程为：y=12
（2）由f(x)=ax2+(2a-1)x-lnx(x>0)，
可得：f'(x)=2ax2+(2a-1)x-1x=(x+1)(2ax-1)x
①当a≤0时，f'(x)<0，f(x)在(0,+∞)为减函数；
②当a>0时，x∈(0,12a)时，f'(x)<0，故f(x)在(0,12a)为减函数；x∈(12a,+∞)时，f'(x)>0，故f(x)在(12a,+∞)为增函数.
21．【解析】（1）当a=0时，fx=ex-1-x，∴f'x=ex-1，
当x∈-∞,0时，f'x<0；当x∈0,+∞时，f'x>0，
故fx在-∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，
∴fxmin=f0=0，
（2）由条件得f'x=ex-1-2ax，
令hx=ex-1-2ax，则h'x=ex-2a.
①当2a≤1时，在0,+∞上，h'x≥0，hx单调递增，
∴hx≥h0，即f'x≥f'0=0，∴fx在0,+∞上为增函数，
∴fx≥f0=0，∴a≤12时满足条件.
②当2a>1时，令h'x=0，解得x=ln2a，在0,ln2a上，h'x<0，hx单调递减，
∴当x∈0,ln2a时，有hx2时，h(x)在(0,1)和(a2,+∞)上单调递增，在(1,a2)上单调递减，∵函数h(x)在[2,5]上单调递增，∴a2≤2， 20)，
∴f'(x)=1x+(2-a)-2ax=-(2x+1)(ax-1)x.
当a≤0时，f'(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，与直线y=m不可能有两个交点，故a>0．
令f'(x)≥0，解得01a，故f(x)在(0,1a]上单调递增，在(1a,+∞)上单调递减．
不妨设Ax1,m，Bx2,m，且00.即证x0>1a⇔x1+x2>2a⇔x2>2a-x1⇔f(x2)0．
设F(x)=f(2a-x)-f(x)=ln(2-ax)-ln(ax)+2ax-2，
则F'x=-a2-ax-1x+2a=-2ax-12x2-ax<0.
∴F(x)=f(2a-x)-f(x)在(0,1a)上单调递减.
又F(1a)=f(2a-1a)-f(1a)=0，
故当00，原不等式成立．