福建省莆田第六中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学（A）试题

福建省莆田第六中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学（A）试题

莆田第六中2019-2020学年（上）高一期中考试 数学试卷A ‎（时间120分钟，满分150分）‎ 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题5分，共60分）．‎ ‎1. 下列函数中，与函数为相同函数的是 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知集合，集合，则 ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.A 已知函数是定义域为的偶函数，则的值 ‎ ‎ A．0 B． C． 1 D． ‎ ‎4. 三个数之间的大小关系是 ‎ ‎ A．. B． C． D．‎ ‎5. 设函数与的图象交点为,则所在的区间是 　‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎6. 函数的图像大致是 （ ）‎ ‎7. 设，且，则 A． B．‎10 C．20 D．100‎ ‎8. 已知函数，若在上单调递增，则实数 的取值范围为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎9. 设,若,则 A. 2 B. ‎4 C. 6 D. 8‎ ‎10. 某商场对顾客实行购物优惠活动规定，一次购物付款总额：‎ ‎（1）如果标价总额不超过200元，则不给予优惠；‎ ‎（2）如果标价总额超过200元但不超过500元，则按标价总额给予9折优惠；‎ ‎（3）如果标价总额超过500元，其500元内的按第（2）条给予优惠，超过500元的部分给予8折优惠.‎ 某人两次去购物，分别付款180元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款 A. 550元 B. 560元 C. 570元 D. 580元 ‎11.设表示三者中较小的一个，若函数，则当时， 的值域是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.设为大于1的常数，函数若关于的方程 ‎ 恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围是 ‎ ‎ ‎ ‎ A．0＜b≤1 B．0＜b＜‎1 C．0≤b≤1 D．b＞1．‎ ‎ ‎ 二、填空题(共5小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．函数 的定义域是 ．‎ ‎14．已知函数与的图象关于直线对称，则的单调递增区间为 ． ‎ ‎15．当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”．‎2019年7月6日，第43届世界遗产大会宣布，中国良渚古城遗址成功申遗，获准列入世界遗产名录．目前中国世界遗产总数已达55处，位居世界第一．今年暑期，某中学的“考古学”兴趣小组对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的54%，利用参考数据：，请你推断上述所提取的草茎遗存物距今大约有 年（精确到1年）．‎ ‎16．给出下列结论：‎ ‎①，的值域是；‎ ‎②幂函数图象一定不过第四象限；‎ ‎③函数的图象过定点（1,0 )；‎ ‎④若，则的取值范围是；‎ ‎⑤若 (,),则.‎ 其中正确的序号是 . ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ ‎（1）计算：lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2；‎ ‎（2）已知（且），若，求的值．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知函数的图象过点．‎ ‎（1）求实数的值，并求的定义域和值域；‎ ‎（2）解不等式．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知函数是偶函数．‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若方程有解，求的取值范围．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 设函数，‎ ‎(1)用定义证明：函数是R上的增函数；‎ ‎(2)证明：对任意的实数t，都有； ‎ ‎(3)求值：．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时，两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）‎ ‎（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系．‎ ‎（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？‎ ‎０.125‎ ‎１‎ ‎０‎ ‎０‎ ‎１‎ ‎０.５‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数 ，是定义在上的奇函数.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）判断函数在上的单调性；‎ ‎（3）若且，求实数的取值范围。‎ 莆田第六中2019—2020学年（上）高一期中考试 数学试卷(A)参考答案 一．选择题：‎ ‎1－5DBBDA   6－10DACCC  11－12CA ‎ 二、填空题 ‎13．（3,4]，14． ，15． 4966，16． ②④⑤.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 解：（1）lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2‎ ‎＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52‎ ‎＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5 ……3分 ‎＝(1＋1)lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2. ……5分 ‎（2），=2，……6分 又，即，……7分 ‎……9分 则=9．……10分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：（1）由题意得，所以，……1分 ‎ 所以，‎ ‎ 由得或，‎ 则的定义域为，……4分 因为，所以的值域为．……6分 ‎ （2）不等式，‎ ‎ 所以即……10分 ‎ 得 ‎ 所以不等式的解集为……12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 解:(1)由函数f(x)是偶函数可知，f(－x)＝f(x)，‎ ‎∴log4(4x＋1)＋2kx＝log4(4－x＋1)－2kx，…1分 即log4＝－4kx，∴log44x＝－4kx，…4分 ‎∴x＝－4kx，即(1＋4k)x＝0，对一切x∈R恒成立，‎ ‎∴k＝－．……6分 ‎(2)由m＝f(x)＝log4(4x＋1)－x＝log4＝log4(2x＋), …9分 ‎∵2x>0,∴2x＋≥2,∴m≥log42＝．‎ 故要使方程f(x)＝m有解，m的取值范围为[，＋∞)．……12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 解：（1）证明：设任意，‎ 则‎………4分 ‎∴在R上是增函数 ………………6分 ‎（2）对任意t, ‎ ‎∴对于任意t,f(t)+f(1-t)=1 …………………10分 ‎（3）∵由（2）得f(t)+f(1-t)=1‎ ‎∴……12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 解：（1）设，……2分 所以，‎ 则，……5分 ‎ （2）设投股票类产品万元，则资债券类投资为万元，‎ 依题意得：，‎ 即 ……8分 ‎ 令，则，‎ 当，则，即时，，‎ 所以投股票类产品4万元，投资资债券类16万元时，‎ 获得最大收益，其最大收益是3万元. ……12分 ‎22．（本小题满分12分）‎ 解：（1）因为是在上的奇函数，所以，即，‎ 所以，‎ 则，‎ 即对定义域中的都成立，所以，‎ 又，所以；……………………4分 ‎（2）所以，‎ 设，……………………5分 设，则………………6分 ‎ ，‎ ‎. ………………………………………7分 当时，，即. ‎ 当时，在上是减函数. ……………………………………8分 当时，，即. ‎ 当时，在上是增函数. ………………………9分 ‎（3）由得，‎ 函数是奇函数， ‎ ‎， ………………………10分 由（2）得在上是增函数 ‎ ‎ 的取值范围是 …………………………12分