2018-2019学年安徽省太和中学高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年安徽省太和中学高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年安徽省太和中学高二下学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】解出集合，利用交集的定义可得出集合.‎ ‎【详解】‎ ‎，，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合交集的运算，同时也涉及了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2．若为虚数单位，复数与的虚部相等，则实数的值是 A. B.2 C.1 D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】先化简与，再根据它们虚部相等求出m的值.‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ 因为复数与的虚部相等，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的运算和复数相等的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎3．设向量，，若向量与同向，则（ ）‎ A．2 B．-2 C．±2 D．0‎ ‎【答案】A ‎【解析】由与平行，利用向量平行的公式求得x,验证与同向即可得解 ‎【详解】‎ 由与平行得，所以，又因为同向平行，所以. 故选A ‎【点睛】‎ 本题考查向量共线（平行）的概念，考查计算求解的能力，属基础题。‎ ‎4．《张邱建算经》有这样一个问题：宫廷将黄金按照等差依次赏赐给甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸这十位官人，前面的三人甲、乙和丙先进来，共领到黄金四斤；后面的四人庚、辛、壬、癸也按照所应领到得黄金三斤；中间的三人丁、戊、已尚未到，也按照应分得黄金数量留给，则戊应领黄金斤数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设甲、乙分别得黄金斤，斤，则公差为，根据题意列出关于、的方程组，求出与，可得出戊应领黄金斤数为斤，由此可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 据题意设甲、乙分别得黄金斤，斤，则，‎ ‎，，因此，戊应得黄金斤，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列基本量的计算，解题的关键在于将题中的文字语言转化为数学语言，将问题转化为数列问题进行求解，考查方程思想的应用，属于中等题.‎ ‎5．已知，则 A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据已知求出，再求.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 故，‎ 从而.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查诱导公式和同角的三角函数关系，考查二倍角的正弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎6．设，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得出是函数的周期，可得出，可得出的表达式，即可求出的最小值.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，是函数的周期，则，‎ 即，又因为，当时，取最小值，故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数图象变换，同时也考查了余弦型函数的周期，解题的关键就是确定出余弦型函数的周期，并利用周期公式进行计算，考查化归与转化思想，属于中等题.‎ ‎7．若执行如图所示的程序框图，输出的值为，则输入的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】将所有的算法循环步骤列举出来，得出不满足条件，满足条件，可得出的取值范围，从而可得出正确的选项.‎ ‎【详解】‎ ‎，；‎ 不满足，执行第二次循环，，；‎ 不满足，执行第三次循环，，；‎ 不满足，执行第四次循环，，；‎ 不满足，执行第五次循环，，；‎ 满足，跳出循环体，输出的值为，所以，的取值范围是.‎ 因此，输入的的值为，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查循环结构框图的条件的求法，解题时要将算法的每一步列举出来，结合算法循环求出输入值的取值范围，考查分析问题和推理能力，属于中等题.‎ ‎8．给定命题p：“若a2017>－1，则a>－1”；命题q：“∀x∈R，x2tan x2>0”．则下列各命题中，真命题的是(　　)‎ A．p∨q B．(p)∨q C．(p)∧q D．(p)∧(q)‎ ‎【答案】A ‎【解析】对于命题，因为幂函数在定义域上单调递增，所以由，得，故命题是真命题；对于命题，故命题是假命题；所以是真命题； ,都是假命题,故选A．‎ ‎9．已知为双曲线的左、右焦点，过分别作垂直于轴的直线交双曲线于四点，顺次连接这四个点正好构成一个正方形，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由该图形为正方形可得，从而有，‎ 又，则双曲线的离心率为 故选：B 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ ‎10．如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为，则称该图形是“和谐图形”.已知其中四个三角形上的数字之和为，现从、、、、中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可知，另外两个三角形上的数字之和为，列出所有的基本事件，并确定基本事件的数目，并确定事件“两个三角形上的数字之和为”所包含的基本事件数，再利用古典概型的概率公式计算出所求事件的概率.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，若该图形为“和谐图形”，‎ 则另外两个三角形上的数字之和恰为.从、、、、中任取两个数字的所有情况有、、、、、、、、、，共种，而其中数字之和为的情况有、，共种，‎ 因此，该图形为“和谐图形”的概率为，故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，解题的关键就是列举出基本事件，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎11．若偶函数在上单调递减，，，，则、、满足（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由偶函数的性质得出函数在上单调递增，并比较出三个正数、、的大小关系，利用函数在区间上的单调性可得出、、的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 偶函数在上单调递减，函数在上单调递增，‎ ‎，，，‎ ‎，，故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的单调性比较函数值的大小关系，解题时要利用自变量的大小关系并结合函数的单调性来比较函数值的大小，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎12．表面积为的球放置在棱长为的正方体上，且与上表面相切，球心在正方体上表面的射影恰为该表面的中心，则四棱锥的外接球的半径为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求出球的半径长为，可得出四棱锥的高为，且底面正方形外接圆的半径为，并设四棱锥的外接球的半径为，可得出，从而解可计算出四棱锥的外接球的半径.‎ ‎【详解】‎ 由题可得四棱锥为正四棱锥，因为球的表面积为，所以球的半径为，‎ 所以正四棱锥的高为，底面正方形的对角线长为，‎ 设四棱锥的外接球的半径为，则，解得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查四棱锥外接球的半径，解题时要充分分析几何体的结构，确定球心的位置，由此列方程求解，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.‎ 二、填空题 ‎13．已知各项均为正数的等比数列的公比为，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为为等比数列，所以，又因为各项均为正数， ，故答案为2.‎ ‎14．曲线在点 处的切线方程为________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】先求得导数，根据导数的意义求得斜率，再由点斜式即可求得切线方程。‎ ‎【详解】‎ 将x=1代入解得坐标为 ‎ ‎ ，所以斜率 ‎ 由点斜式方程可得切线方程为 ‎【点睛】‎ 本题考查了导数与切线方程的简单应用，属于基础题。‎ ‎15．【2018届四川省南充高级中学高三1月检测】已知抛物线的焦点为， 是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】（或）‎ ‎【解析】如图依抛物线的定义，可得，，∴，由余弦定理得 ，∴，故答案为.‎ ‎16．已知函数，若存在，且，，使得恒成立，则实数的取值范围是____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出图象，观察可知关于对称，设，构造关于的函数，求解最值可得.‎ ‎【详解】‎ 作出图象，如图所示，设，则，，.‎ 令，则，所以，‎ 所以当时，，所以在上单调递增，所以当时，，‎ 所以，所以由函数图象可知，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分段函数的最值问题，数形结合是求解函数问题的常用法宝，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.‎ 三、解答题 ‎17．“双十一网购狂欢节”源于淘宝商城（天猫）2009年11月11 日举办的促销活动，当时参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是11月11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期.如今，中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”.某淘宝电商分析近8年“双十一”期间的宣传费用（单位：万元）和利润（单位：十万元）之间的关系，得到下列数据：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎（1）请用相关系数说明与之间是否存在线性相关关系（当时，说明 与之间具有线性相关关系）；‎ ‎（2）根据（1）的判断结果，建立与之间的回归方程，并预测当时，对应的利润为多少（精确到0.1）.‎ 附参考公式：回归方程中中和最小二乘估计分别为 ‎，相关系数 参考数据：‎ ‎.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：(1) 由题意得，利用公式求出 ，从而作出判断；(2)利用最小二乘法求出与之间的回归方程，进而进行估计.a 试题解析：‎ ‎（1）由题意得，‎ 又，‎ 所以，‎ 所以与之间具有线性相关关系.‎ ‎（2）因为， ，‎ 所以回归直线方程为，‎ 当时， .‎ 点睛：（1）线性回归方程体现了两个变量之间的相关关系，求得两个变量间的回归关系之后可根据回归方程进行估计，以便为下一步的决策提供参考依据。‎ ‎（2）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，均值的大小也可为下一步的决策提供参考依据。‎ 点睛：求线性回归直线方程的步骤 ‎（1）用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；‎ ‎（2）求系数：公式有两种形式，即。当数据较复杂时，题目一般会给出部分中间结果，观察这些中间结果来确定选用公式的哪种形式求；‎ ‎（3）求： ；‎ ‎（4）写出回归直线方程．‎ ‎18．在中，角、、所对的边分别为、、，的面积.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求的周长.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由正弦定理角化边的思想，并进行化简得出，然后利用余弦定理求出的值，可得出角的大小；‎ ‎（2）由，由内角和定理以及诱导公式得出，利用三角恒等变换思想计算出的值，可得出的值，可得出，再利用余弦定理求出的值，可得出的周长.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，知，‎ 由正弦定理，得，即，‎ 由余弦定理，得，又因为，所以；‎ ‎（2）由，‎ 得，‎ 即，整理得，‎ 解得，所以，由余弦定理，得，‎ 即，所以的周长为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形的面积公式、正弦定理以及余弦定理解三角形，同时也考查了利用三角恒等变换思想进行化简计算，解题时充分已知元素类型合理选择正弦、余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎19．如图，平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）.‎ ‎【解析】（1）由过作，垂足为，计算出的三边长，利用勾股定理证明出，由平面，得出，利用直线与平面垂直的判定定理可证明平面，由此可得出；‎ ‎（2）证明出平面，由此可得出为三棱锥的高，并计算出的面积，然后利用锥体的体积公式可计算出三棱锥的体积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）过作，垂足为，‎ 又因为四边形为梯形，，，又，，‎ 所以，四边形为矩形，‎ ‎，所以，且.‎ 由勾股定理得，同理可得.‎ 所以，所以，‎ 因为平面，平面，所以，‎ 又因为平面，平面，，所以平面.‎ 又因为平面，所以；‎ ‎（2）因为平面，平面，所以，‎ 又因为，平面，平面，，‎ 所以平面，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与直线垂直的证明，以及利用等体积法计算三棱锥的体积，在计算时要充分利用题中的垂直关系，找出合适的底面和高来计算三棱锥的体积，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎20．已知函数，，.‎ ‎（1）若函数在定义域上为单调递增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设函数，，，若存在使成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）求出函数的解析式，由题意得出对任意的 ‎，利用参变量分离法得出在恒成立，然后利用基本不等式求出函数的最大值，可得出实数的取值范围；‎ ‎（2）构造函数，由题意得出，利用导数求出函数在区间上的最大值，然后解不等式即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，，‎ 所以，所以，‎ 据题意，得对成立，‎ 所以只需对成立，‎ 所以只需在恒成立，‎ 又当时，，所以，‎ 即所求实数的取值范围是；‎ ‎（2）据题意，存在使成立，‎ 引入，则，‎ 又因为，，所以恒成立，‎ 所以函数在上是增函数，所以当时，，‎ 所以，所以，所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，以及利用导数研究函数不等式能成立问题，解题时要将问题转化为函数的最值来求解，考查化归与转化数学思想，属于难题.‎ ‎21．已知椭圆经过点，的四个顶点围成的四边形的面积为.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）过的左焦点作直线与交于、两点，线段的中点为，直线（为坐标原点）与直线相交于点，是否存在直线使得为等腰直角三角形，若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，直线的方程为或.‎ ‎【解析】（1）由题中条件得出关于、的方程组，解出与的值，可得出椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线的方程为，设点，，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出线段的中点的坐标，得出直线的方程，可求出点的坐标，利用斜率关系得知，由此得出，利用距离公式可求出的值，即可对问题进行解答.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意，得，，将代入，‎ 整理得，解得，所以的方程为；‎ ‎（2）由题意知，直线的斜率不为，设，，.‎ 联立方程组，消去，整理得，‎ 由韦达定理，得，.‎ 所以，，‎ 即，所以直线的方程为，‎ 令，得，即，所以直线的斜率为，‎ 所以直线与恒保持垂直关系，故若为等腰直角三角形，只需，‎ 即，‎ 解得，又，所以，所以，‎ 从而直线的方程为或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程的求解，以及直线与椭圆的存在性问题，对于这类问题的求解，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求思想求解，同时要将题中的一些条件进行等价转化，考查化归与转化思想以及方程思想的应用，属于难题.‎ ‎22．以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数）.‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；‎ ‎（2）设点的直角坐标为，过的直线与直线平行，且与曲线交于、两点，若，求的值.‎ ‎【答案】（1）直线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为；‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】（1）利用两角和的余弦公式以及可将的极坐标方程转化为普通方程，在曲线的参数方程中消去参数可得出曲线的普通方程；‎ ‎（2）求出直线的倾斜角为，可得出直线的参数方程为（为参数），并设点、的参数分别为、，将直线的参数方程与曲线普通方程联立，列出韦达定理，由，代入韦达定理可求出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以，‎ 由，，得，‎ 即直线的直角坐标方程为；‎ 因为消去，得，所以曲线的普通方程为；‎ ‎（2）因为点的直角坐标为，过的直线斜率为，‎ 可设直线的参数方程为（为参数），‎ 设、两点对应的参数分别为、，将参数方程代入，‎ 得，则，.‎ 所以，解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查参数方程、极坐标与普通方程的互化，同时也考查了直线参数方程的几何意义的应用，求解时可将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，结合韦达定理进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎23．已知函数.‎ ‎（1）当时，求的解集；‎ ‎（2）若恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）将代入函数的解析式，并将函数表示为分段函数，分段解出不等式，可得出所求不等式的解集；‎ ‎（2）分和两种情况，将函数的解析式表示为分段函数，求出函数的最小值，然后解出不等式可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，‎ 当时，由，得；‎ 当时，由，得；‎ 当时，不等式无解.‎ 所以原不等式的解集为；‎ ‎（2）当时，；‎ 当时，.‎ 所以，由，得或，‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查绝对值不等式的解法以及绝不等式不等式恒成立问题，一般采用去绝对值的办法，利用分类讨论思想求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.‎