数学卷·2017届四川省自贡市高考数学三诊试卷（理科）（解析版）

数学卷·2017届四川省自贡市高考数学三诊试卷（理科）（解析版）

‎2017年四川省自贡市高考数学三诊试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题 ‎1．设集合A={x∈N|，0≤x≤2}，B={x∈N|1≤x≤3}，则A∪B=（　　）‎ A．{1，2} B．{0，1，2，3} C．{x|1≤x≤2} D．{x|0≤x≤3}‎ ‎2．已知复数z=1+i，则等于（　　）‎ A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2‎ ‎3．设变量x，y满足线性约束条件则目标函数z=2x+4y的最小值是（　　）‎ A．6 B．﹣2 C．4 D．﹣6‎ ‎4．阅读右边程序框图，当输入的值为3时，运行相应程序，则输出x的值为（　　）‎ A．7 B．15 C．31 D．63‎ ‎5．已知向量，，其中||=，||=2，且（+）⊥，则向量，的夹角是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知数列{an}为等差数列，且满足a1+a5=90．若（1﹣x）m展开式中x2项的系数等于数列{an}的第三项，则m的值为（　　）‎ A．6 B．8 C．9 D．10‎ ‎7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）‎ A． B． C． D． +2‎ ‎8．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周六的六天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排放法共有（　　）‎ A．20种 B．30种 C．40种 D．60种 ‎9．给出下列命题：‎ ‎①函数y=cos（﹣2x）是偶函数；‎ ‎②函数y=sin（x+）在闭区间上是增函数；‎ ‎③直线x=是函数y=sin（2x+）图象的一条对称轴；‎ ‎④将函数y=cos（2x﹣）的图象向左平移单位，得到函数y=cos2x的图象，其中正确的命题的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎10．已知函数f（x）=﹣2x5﹣x3﹣7x+2，若f（a2）+f（a﹣2）＞4，则实数a的取值范围（　　）‎ A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，3） C．（﹣1，2） D．（﹣2，1）‎ ‎11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），过双曲线右焦点F倾斜角为直线与该双曲线的渐近线分别交于M、N，O为坐标原点，若△OMF与△ONF的面积比等于2：1，则该双曲线的离心率等于（　　）‎ A．或 B． C．或 D．‎ ‎12．已知函数其中m＜﹣1，对于任意x1∈R且x1≠‎ ‎0，均存在唯一实数x2，使得f（x2）=f（x1），且x1≠x2，若|f（x）|=f（m）有4个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）‎ A．（0，1） B．（﹣1，0） C．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，0） D．（﹣2，﹣1）‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13．向图所示的边长为1的正方形区域内任投一粒豆子，则该豆子落入阴影部分的概率为　　．‎ ‎14．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若sinA=2sinB，c=4，C=，则△ABC的面积为　　．‎ ‎15．已知{an}是等比数列，a2=1，a5=，设Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1（n∈N*），λ为实数．若对∀n∈N*都有λ＞Sn成立，则λ的取值范围是　　．‎ ‎16．如图所示，一辆装载集装箱的载重卡车高为3米，宽为2.2米，欲通过断面上部为抛物线形，下部为矩形ABCD的隧道．已知拱口宽AB等于拱高EF的4倍，AD=1米．若设拱口宽度为t米，则能使载重卡车通过隧道时t的最小整数值等于　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．已知函数f（x）=4sinxcos（x﹣）+1．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．‎ ‎18．如图，圆锥的横截面为等边三角形SAB，O为底面圆圆心，Q为底面圆周上一点．‎ ‎（Ⅰ）如果BQ的中点为C，OH⊥SC，求证：OH⊥平面SBQ；‎ ‎（Ⅱ）如果∠AOQ=60°，QB=2，设二面角A﹣SB﹣Q的大小为θ，求cosθ的值．‎ ‎19．社区服务是综合实践活动课程的重要内容．上海市教育部门在全市高中学生中随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段 ‎22．在直角坐标系xoy中，直线l过点M（3，4），其倾斜角为45°，以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标，并使得它与直角坐标系xoy有相同的长度单位，圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ．‎ ‎（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，求|MA|•|MB|的值．‎ ‎　‎ ‎23．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2‎ ‎（Ⅰ）解不等式f（x）≥0‎ ‎（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2017年四川省自贡市高考数学三诊试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题 ‎1．设集合A={x∈N|，0≤x≤2}，B={x∈N|1≤x≤3}，则A∪B=（　　）‎ A．{1，2} B．{0，1，2，3} C．{x|1≤x≤2} D．{x|0≤x≤3}‎ ‎【考点】1D：并集及其运算．‎ ‎【分析】化简集合A、B，根据并集的定义写出A∪B．‎ ‎【解答】解：集合A={x∈N|，0≤x≤2}={0，1，2}，‎ B={x∈N|1≤x≤3}={1，2，3}，‎ 则A∪B={0，1，2，3}．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．已知复数z=1+i，则等于（　　）‎ A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2‎ ‎【考点】A7：复数代数形式的混合运算．‎ ‎【分析】复数代入表达式，利用复数乘除运算化简复数为a+bi的形式即可．‎ ‎【解答】解：因为复数z=1+i，‎ 所以===﹣=2i．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎3．设变量x，y满足线性约束条件则目标函数z=2x+4y的最小值是（　　）‎ A．6 B．﹣2 C．4 D．﹣6‎ ‎【考点】7C：简单线性规划．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 联立，解得A（3，﹣3），‎ 化目标函数z=2x+4y为y=x+，‎ 由图可知，当直线y=x+过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为6﹣12=﹣6，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．阅读右边程序框图，当输入的值为3时，运行相应程序，则输出x的值为（　　）‎ A．7 B．15 C．31 D．63‎ ‎【考点】EF：程序框图．‎ ‎【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的x，n的值，当n=4时不满足条件n≤‎ ‎3，退出循环，输出x的值为31．‎ ‎【解答】解：模拟程序的运行，可得 x=3，n=1‎ 满足条件n≤3，执行循环体，x=7，n=2‎ 满足条件n≤3，执行循环体，x=15，n=3‎ 满足条件n≤3，执行循环体，x=31，n=4‎ 不满足条件n≤3，退出循环，输出x的值为31．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．已知向量，，其中||=，||=2，且（+）⊥，则向量，的夹角是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】9R：平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】利用向量垂直的条件，结合向量数量积公式，即可求向量，的夹角 ‎【解答】解：设向量，的夹角为θ，‎ ‎∵||=，||=2，且（+）⊥，‎ ‎∴（+）•=+=+||•||cosθ=2+2cosθ=0，‎ 解得cosθ=﹣，‎ ‎∵0≤θ≤π，‎ ‎∴θ=，‎ 故选：A ‎　‎ ‎6．已知数列{an}为等差数列，且满足a1+a5=90．若（1﹣x）m展开式中x2项的系数等于数列{an}的第三项，则m的值为（　　）‎ A．6 B．8 C．9 D．10‎ ‎【考点】DC：二项式定理的应用．‎ ‎【分析】利用等差数列的性质，求出a3=45，利用（1﹣x）m展开式中x2项的系数等于数列{an}的第三项，可得=45，即可求出m．‎ ‎【解答】解：数列{an}为等差数列，且满足a1+a5=2a3=90，∴a3=45，‎ ‎∵（1﹣x）m展开式中x2项的系数等于数列{an}的第三项，‎ ‎∴=45，∴m=10，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）‎ A． B． C． D． +2‎ ‎【考点】L!：由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】如图所示，该几何体由两个三棱锥组成的，利用三角形面积计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，该几何体由两个三棱锥组成的，‎ 该几何体的表面积S=+1×1+++‎ ‎=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周六的六天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排放法共有（　　）‎ A．20种 B．30种 C．40种 D．60种 ‎【考点】D8：排列、组合的实际应用．‎ ‎【分析】根据题意，分2步进行分析：先在周一至周六的六天中任选3天，安排三人参加活动，再安排乙丙三人的顺序，求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，先在周一至周六的六天中任选3天，安排三人参加活动，有C63=20种情况，‎ 再安排甲乙丙三人的顺序，‎ 由于甲安排在另外两位前面，则甲有1种情况，乙丙安排在甲的后面，有A22=2种情况，‎ 则三人的安排方法有1×2=2种情况，‎ 则不同的安排放法共有20×2=40种；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．给出下列命题：‎ ‎①函数y=cos（﹣2x）是偶函数；‎ ‎②函数y=sin（x+）在闭区间上是增函数；‎ ‎③直线x=是函数y=sin（2x+）图象的一条对称轴；‎ ‎④将函数y=cos（2x﹣）的图象向左平移单位，得到函数y=cos2x的图象，其中正确的命题的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】利用诱导公式化简①，然后判断奇偶性；求出函数y=sin（x+）的增区间，判断②的正误；‎ 直线x=代入函数y=sin（2x+）是否取得最值，判断③的正误；利用平移求出解析式判断④的正误即可．‎ ‎【解答】解：①函数y=sin（﹣2x）=sin2x，它是奇函数，不正确；‎ ‎②函数y=sin（x+）的单调增区间是，k∈Z，在闭区间上是增函数，正确；‎ ‎③直线x=代入函数y=sin（2x+）=﹣1，所以x=图象的一条对称轴，正确；‎ ‎④将函数y=cos（2x﹣）的图象向左平移单位，得到函数y=cos（2x+）的图象，所以④不正确．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．已知函数f（x）=﹣2x5﹣x3﹣7x+2，若f（a2）+f（a﹣2）＞4，则实数a的取值范围（　　）‎ A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，3） C．（﹣1，2） D．（﹣2，1）‎ ‎【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．‎ ‎【分析】根据题意，令g（x）=f（x）﹣2，则g（x）=f（x）﹣2=﹣2x5﹣x3﹣7x，分析可得g（x）的奇偶性与单调性，则f（a2）+f（a﹣2）＞4，可以转化为g（a2）＞﹣g（a﹣2），结合函数的奇偶性与单调性分析可得a2＜2﹣a，解可得a的范围，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，令g（x）=f（x）﹣2，‎ 则g（x）=f（x）﹣2=﹣2x5﹣x3﹣7x，‎ g（﹣x）=﹣2（﹣x）5﹣（﹣x）3﹣7（﹣x）=﹣（﹣2x5﹣x3﹣7x），则g（x）为奇函数，‎ 而g（x）=﹣2x5﹣x3﹣7x，则g′（x）=﹣10x4﹣2x2﹣7＜0，则g（x）为减函数，‎ 若f（a2）+f（a﹣2）＞4，则有f（a2）﹣2＞﹣，‎ 即g（a2）＞﹣g（a﹣2），‎ 即g（a2）＞g（2﹣a），‎ 则有a2＜2﹣a，‎ 解可得﹣2＜a＜1，‎ 即a的取值范围是（﹣2，1）；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），过双曲线右焦点F倾斜角为 直线与该双曲线的渐近线分别交于M、N，O为坐标原点，若△OMF与△ONF的面积比等于2：1，则该双曲线的离心率等于（　　）‎ A．或 B． C．或 D．‎ ‎【考点】KC：双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】先求出栓曲线的渐近线方程直线方程，求出M，N的纵坐标，再根据三角形的面积比得到a与b的关系，根据离心率公式计算即可．‎ ‎【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，‎ 设直线方程为y=x﹣c，‎ 由和 解得yM=，yN=﹣，‎ ‎∵△OMF与△ONF的面积比等于2：1，‎ 若a＞b，‎ ‎∴： =2：1，‎ ‎∴a=3b，‎ ‎∴e====‎ 若a＜b，‎ ‎∴： =2：1，‎ ‎∴3a=b，‎ ‎∴e===，‎ 故选：C ‎　‎ ‎12．已知函数其中m＜﹣1，对于任意x1∈R且x1≠0，均存在唯一实数x2，使得f（x2）=f（x1），且x1≠x2，若|f（x）|=f（m）有4个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）‎ A．（0，1） B．（﹣1，0） C．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，0） D．（﹣2，﹣1）‎ ‎【考点】54：根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】根据f（x）在上的值域．‎ ‎【考点】H1：三角函数的周期性及其求法；HW：三角函数的最值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，利用三角函数的周期公式求函数的最小正周期．‎ ‎（Ⅱ）利用x∈‎ 上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的值域．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=4sinxcos（x﹣）+1．‎ 化简可得：f（x）=4sinxcosxcos+4sin2xsin+1‎ ‎=sin2x+2sin2x+1=sin2x﹣cos2x+2=2sin（2x﹣）+2‎ ‎（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期T=‎ ‎（Ⅱ）∵x∈上时，‎ ‎∴2x﹣∈[，]‎ 当2x﹣=时，函数f（x）取得最小值为2×（﹣1）+2=0；‎ 当2x﹣=时，函数f（x）取得最大值为2×+2=‎ ‎∴函数f（x）在区间上的值域为．‎ ‎　‎ ‎18．如图，圆锥的横截面为等边三角形SAB，O为底面圆圆心，Q为底面圆周上一点．‎ ‎（Ⅰ）如果BQ的中点为C，OH⊥SC，求证：OH⊥平面SBQ；‎ ‎（Ⅱ）如果∠AOQ=60°，QB=2，设二面角A﹣SB﹣Q的大小为θ，求cosθ的值．‎ ‎【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连结OC、AQ，推导出OC∥AQ，OC⊥BQ，SO⊥BQ，从而QB⊥平面SOC，进而OH⊥BQ，由此能证明OH⊥平面SBQ．‎ ‎（Ⅱ）以O为原点，OA为x轴，在平面ABC内过O作AB的垂线为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出cosθ．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）连结OC、AQ，‎ ‎∵O为AB的中点，BQ的中点为C，‎ ‎∴OC∥AQ，‎ ‎∵AB为圆的直径，∠AQB=90°，∴OC⊥BQ，‎ ‎∵SO⊥平面ABQ，SO⊥BQ，QB⊥平面SOC，‎ OH⊥BQ，‎ ‎∴OH⊥平面SBQ．‎ 解：（Ⅱ）由已知得QC=，OQ=2，OC=1，SO=2，‎ 以O为原点，OA为x轴，在平面ABC内过O作AB的垂线为y轴，‎ OS为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则A（2，0，0），B（﹣2，0，0），S（0，0，2），Q（1，，0），‎ ‎=（2，0，2），=（3，，0），‎ 设=（x，y，z）为平面的法向量，‎ 则，令z=1，得=（﹣，3，1），‎ 而平面SAB的法向量=（0，1，0），‎ ‎∴cosθ==．‎ ‎　‎ ‎19．社区服务是综合实践活动课程的重要内容．上海市教育部门在全市高中学生中随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段 ‎22．在直角坐标系xoy中，直线l过点M（3，4），其倾斜角为45°，以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标，并使得它与直角坐标系xoy有相同的长度单位，圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ．‎ ‎（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，求|MA|•|MB|的值．‎ ‎【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）直线l过点M（3，4），其倾斜角为45°，参数方程为，（t为参数）．由极坐标与直角坐标互化公式代入化简即可得出圆C的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）直线l的参数方程代入圆方程得+9=0，利用|MA|•|MB|=|t1|•|t2|=|t1t2|即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）直线l过点M（3，4），其倾斜角为45°，参数方程为，（t为参数）．‎ 圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ，直角坐标方程为x2+y2﹣4y=0；‎ ‎（Ⅱ）将直线的参数方程代入圆方程得： +9=0，‎ 设A、B对应的参数分别为t1、t2，则t1+t2=5，t1t2=9，‎ 于是|MA|•|MB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=9．‎ ‎　‎ ‎23．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2‎ ‎（Ⅰ）解不等式f（x）≥0‎ ‎（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】R5：绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（Ⅰ）化简函数的解析式，分类讨论，求得不等式的解集．‎ ‎（Ⅱ）不等式即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．根据绝对值的意义可得|x+|﹣|x|∈，故有+1≥﹣，由此求得a的范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2=，‎ 当x＜﹣时，由﹣x﹣3≥0，可得x≤﹣3．‎ 当﹣≤x＜0时，由3x﹣1≥0，求得 x∈∅．‎ 当x≥0时，由x﹣1≥0，求得 x≥1．‎ 综上可得，不等式的解集为{x|x≤﹣3 或x≥1}．‎ ‎（Ⅱ）f（x）≤|x|+a，即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．‎ 由于|x+|﹣|x|表示数轴上的x对应点到﹣对应点的距离减去它到原点的距离，故|x+|﹣|x|∈，‎ 故有+1≥﹣，求得a≥﹣3．‎