数学理卷·2018届贵州省遵义四中高二上学期期末考试（2017-01）

数学理卷·2018届贵州省遵义四中高二上学期期末考试（2017-01）

遵义四中2018届高二第一学期期末测试 数学（理科）‎ ‎（满分：150分 时间：120分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 双曲线的实轴长是（ ）‎ A．2 B． C．4 D．‎ ‎2.已知命题p：∃x0∈，x＋1<0，则 (　　)　‎ A．¬p：∀x∈，x2＋1>0 B．¬p：∃x∈，x2＋1>0‎ C．¬p：∀x∈，x2＋1≥0 D．¬p：∃x∈，x2＋1≥0‎ ‎3．某单位有职工75人，其中青年职工35人，中年职工25人，老年职工15人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本容量为15，则样本中的青年职工人数为 (　　)‎ A．7 B．5 C．3 D．10‎ ‎4. 抛物线的焦点坐标是( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别是（ ）.‎ A．23与26 B．31与26‎ C．24与30 D．26与30 ‎ ‎6.“”是“方程的曲线是椭圆”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分条件又不必要条件 ‎7.为了研究学生性别与是否喜欢数学课之间的关系，得到列联表如下：‎ 喜欢数学 不喜欢数学 总计 男 ‎40‎ ‎80‎ ‎120‎ 女 ‎40‎ ‎140‎ ‎180‎ 总计 ‎80‎ ‎220‎ ‎300‎ 并经计算：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 请判断有（ ）把握认为性别与喜欢数学课有关.‎ A．％ B． C． D． ‎ ‎8．阅读右面的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S的值是(　　)‎ A．5 049 B．5 050 ‎ C．5 051 D．5 052‎ ‎9.点在边长为1的正方形内运动，则动点到顶点的距离的概率为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10.如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，,.若，分别是棱，上的点，且，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11. 已知分别为双曲线的左、右顶点， 是上一点，且直线的斜率之积为，则的离心率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.设，在圆上运动，且，点在直线上运动，则的最小值为（ ）‎ A．3 B．4 C． D．‎ 二、填空题 ‎13. 某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段： [40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如下图所示），则分数在[70，80）内的人数是 ．‎ ‎14.从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是________．‎ ‎15. 点是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小 .‎ ‎16.已知点为双曲线右支上的一点，点分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的一条渐近线的斜率为，若为的内心，且，则的值为 ．‎ 三、解答题 ‎ 17.（本题满分10分）‎ 设数列满足：,.‎ ‎（1）证明:数列为等比数列，并求出数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎ 18.（本题满分12分）‎ 已知函数，.‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）在中，内角，，所对边的长分别是，，，若，，，求的面积的值.‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，‎ ‎，底面为直角梯形，，为的中点，平面交于点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）求二面角的余弦值.‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 一台机器使用时间较长，但还可以使用．它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果：‎ 转速x(转/秒)‎ ‎16‎ ‎14‎ ‎12‎ ‎8‎ 每小时生产有 缺点的零件数y(件)‎ ‎11‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎(1)用相关系数对变量y与x进行相关性检验；‎ ‎(2)如果y与x有线性相关关系，求线性回归方程；‎ ‎(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么，机器 的运转速度应控制在什么范围内？(结果保留整数)‎ 参考数据： ，，，.‎ 参考公式：相关系数计算公式 ：‎ ‎ 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：‎ ‎ ， .‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 已知平面内一动点到点距离比到直线的距离小2. 设动点的轨迹为.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）若过点的直线与曲线交于、两点，过点作直线：的垂线，垂足为，设， .‎ ‎ 求证：①，； ②、、三点共线 (为坐标原点).‎ ‎22.（本题满分12分）‎ 已知椭圆:的离心率为，左焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于两点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）在轴上，是否存在定点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．‎ 遵义四中2018届高二第一学期期末测试 数学（理科）参考答案 ‎1—12.CCA BBB DAC DBD ‎13.30 14. 15. 16.‎ ‎17.解析：（1）证明：‎ ‎ 于是 ……4分 ‎ 即数列是以为公比的等比数列. ‎ 因为，所以 ……6分 ‎（2） ① ‎ ‎ ② ……8分 ‎①②得 ‎ ……10分 ‎ ‎ 故 ……12分 ‎18.解（1）∵，，‎ ‎∴， ……3分 由，，解得，.‎ ‎∴函数的单调递增区间是，.……6分 ‎（2）∵在中，，，，‎ ‎∴，解得，.‎ 又，∴. ……8分 依据正弦定理，有，解得.……9分 ‎∴，……10分 ‎∴.……12分 ‎19.证明：（1）因为底面为直角梯形，‎ ‎ 所以.‎ ‎ 因为 ‎ 所以. ……2分 ‎ 因为，‎ 所以. ……3分 ‎（2）因为分别为的中点，，‎ ‎ 所以. ……4分 ‎ 因为 ‎ 所以.‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以.‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以. ‎ ‎ 所以. ……6分 ‎ 因为，‎ ‎ 所以 ‎ 因为，‎ 所以. ……7分 ‎（3）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系. ‎ ‎ 则. ‎ 由（II）可知，，‎ 所以的法向量为. ……9分 设平面的法向量为 因为，,‎ 所以.即.‎ 令，则，.‎ 所以 ……11分 所以. ‎ 所以二面角的余弦值为. ……12分 ‎20.解　(1)＝12.5，＝8.25， 4＝412.5， ……2分 ‎ 所以r＝ ‎＝ ‎＝≈≈0.995. ……4分 ‎ 因为r>0.75，所以y与x有很强的线性相关关系． ……5分 ‎ ‎(2) ＝≈0.728 6， ……7分 ‎ ＝－ ＝8.25－0.728 6×12.5＝－0.857 5，‎ ‎∴所求线性回归方程为 ＝0.728 6x－0.857 5. ……9分 ‎ ‎(3)要使 ≤10⇒0.728 6x－0.857 5≤10，‎ 所以x≤14.901 9≈15.‎ 所以机器的转速应控制在15转/秒以下． ……12分 ‎21.解：（1）由题意可知：动点到点距离与到直线的距离相等，‎ ‎ 根据抛物线的定义，动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，‎ ‎ 所以动点的轨迹方程为 ……6分 ‎ ‎（2）联立直线与抛物线的方程，可得， ……9分 ‎ ‎ 设，，则，‎ ‎ ，‎ ‎ 所以、、三点共线. ……12分 ‎，‎ 则．……6分 又，‎ ‎． ……8分 设存在点，则，，‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ， ……10分 要使得(为常数)，只要，[来源:学,科,网Z,X,X,K]‎ 从而，‎ 即 ……11分 由（1）得，‎ 代入（2）解得，从而， ‎ 故存在定点，使恒为定值． ……12分