数学(理)卷·2018届吉林省实验中学高三上学期第四次模拟考试(2017

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数学(理)卷·2018届吉林省实验中学高三上学期第四次模拟考试(2017

吉林省实验中学2017-2018学年度上学期 高三年级第四次月考数学(理科)试题 第Ⅰ卷 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1. 已知集合M={x|x>x2},N={y|y=,x∈M},则M∩N=(  )‎ A.{x|0<x<} B.{x|1<x<2} C.{x|0<x<1} D.{x|<x<1}‎ ‎2. “(m-1)(a-1)>0”是“logam>0”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3. 执行如图所示的程序框图,若输出k的值为8,则判断框内可填入的条件是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4. 已知一个四棱锥的三视图及有关数据如图所示,则该几何体的体积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ ‎ (第3题) (第4题)‎ ‎5. 已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是(  )‎ A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 ‎6. 已知x,y满足约束条件当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2时,a2+b2的最小值为(  )‎ A.5 B.4 C. D.2‎ ‎7. 已知f(x)是定义在R上的函数,对任意x∈R都有f(x+4)=f(x)+2f(2),若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,且f(1)=2,则f(2019)等于(  )‎ A.2 B.3 C.-2 D.-3‎ ‎8. 将函数的图像向右平移个单位后得到函数 的图像,若对满足的,,有,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 已知数列为等比数列,且,则的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10. 在中,角所对的边分别为,若 ,则当角 取得最大值时, 的周长为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点, 是它们的一个公共点,且错误!未找到引用源。则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( ) ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 已知函数,如果存在实数,其中,使得 ‎,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分.)‎ ‎13. 已知定义在R上的函数f(x)=关于x的方程f(x)=c(c为常数)恰有三个不同的实数根x1,x2,x3,则x1+x2+x3=________.‎ ‎14. 已知数列{an}满足a1=1,an+1·an=2n(n∈N),记数列{an}的前n项和为Sn,则S100= .‎ ‎15. 已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为3的球面上,且PA,PB,PC两两互相垂直,则三棱锥P-ABC的侧面积的最大值为________。‎ ‎16. 在 且错误!未找到引用源。,函数的最小值为,则的最小值为______ .‎ 三、解答题:(本大题共6小题,其中17-21小题为必考题,每小题12分;第22—23题为选考题,考生根据要求做答,每题10分)‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB.‎ ‎(1)求cosB的值.‎ ‎(2)若错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。=2,且b=2错误!未找到引用源。,求a和c的值.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 如图,在四棱锥中,底面为等边三角形,,为的中点.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)求平面与平面所成二面角的正弦值.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 已知数列{an}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和Sn满足S=an。‎ ‎(1)求Sn的表达式;‎ 错误!未找到引用源。.‎ 错误!未找到引用源。.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知椭圆: 的长轴长为,且椭圆与圆: 的公共弦长为.‎ ‎(1)求椭圆的方程.‎ ‎(2)经过原点作直线(不与坐标轴重合)交椭圆于, 两点, 轴于点,点在椭圆上,且,求证: , , 三点共线..‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 函数, .‎ ‎(1)当时,求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(2)若对, 恒成立,求整数的最大值.‎ 请考生在22、23二题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题记分.‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4-45:参数方程极坐标选讲 以平面直角坐标系的原点为极点, 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位, 直线的参数方程为,圆的极坐标方程为.‎ ‎(1)求直线的普通方程与圆的直角坐标方程;‎ ‎(2)设曲线与直线交于两点, 若点的直角坐标为,求的值.‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎(1)解不等式;‎ ‎(2)若对于任意,都有,使得成立,求实数的取值范围.‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D B B C C B A D C C C A ‎13.【答案】0 14. 【答案】错误!未找到引用源。 15.【答案】:18 16.【答案】:错误!未找到引用源。‎ ‎17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB.‎ ‎(1)求cosB的值.‎ ‎(2)若错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。=2,且b=2错误!未找到引用源。,求a和c的值.‎ 由b2=a2+c2-2accosB,可得a2+c2=12,‎ 所以(a-c)2=0,即a=c,所以a=c=错误!未找到引用源。.‎ ‎18.已知数列{an}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和Sn满足S=an。‎ ‎(1)求Sn的表达式;‎ ‎(2)设bn=,求{bn}的前n项和Tn。‎ ‎①式两边同除以Sn-1·Sn,得-=2,‎ ‎∴数列是首项为==1,公差为2的等差数列。 ‎ ‎∴=1+2(n-1)=2n-1,‎ ‎∴Sn=。‎ ‎19.如图,在四棱锥中, 底面为等边三角形,,为的中点.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)求平面与平面所成二面角的正弦值.‎ ‎【答案】(1) AB=1;(Ⅱ) .‎ ‎【解析】‎ 试题解析:(1)连接AC, 因为PA⊥底面ABCD,平面ABCD,所以PA⊥BC,又因为PB⊥BC,,所以BC⊥底面PAB,因为平面PAB,所以AB⊥BC,因为△BCD为等边三角形,所以∠ABD=30°.又已知AB=AD,BD=,可得AB=1. ‎ ‎(Ⅱ)分别以BC,BA所在直线为x,y轴,过B且平行PA的直线为z轴建立空间直角坐标系.P(0,1,),C(,0,0),E(,,),D(,,0).由题意可知平面PAB的法向量为m=(1,0,0).‎ 设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),则即则n=(3,-,-2).‎ cosám,nñ==.所以平面BDE与平面ABP所成二面角的正弦值. ‎ ‎20.已知椭圆: 的长轴长为,且椭圆与圆: 的公共弦长为.‎ ‎(1)求椭圆的方程.‎ ‎(2)经过原点作直线(不与坐标轴重合)交椭圆于, 两点, 轴于点,点在椭圆上,且,求证: , , 三点共线..‎ ‎【解析】试题分析:(1)根据题意列出关于 、 、的方程组,结合性质 , ,求出 、 、,即可得结果;(2)设, ,则, .‎ 因为点, 都在椭圆上,所以,利用“点差法”证明 ,即可得结论.‎ 试题解析:(1)由题意得,则.‎ 由椭圆与圆: 的公共弦长为,其长度等于圆的直径,‎ 可得椭圆经过点,所以,解得.所以椭圆的方程为.‎ ‎(2)证明:设, ,则, .‎ 因为点, 都在椭圆上,所以所以 ‎ ‎,‎ 即.又 ,‎ 所以,即,所以所以 又 ,所以,所以, , 三点共线.‎ ‎21.函数, .‎ ‎(1)当时,求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(2)若对, 恒成立,求整数的最大值.‎ ‎【解析】试题分析:(1)求出,从而可得, ,利用点斜式可得结果;(2)对, 恒成立等价于对恒成立,利用导数研究函数的单调性,结合为正数这一条件可得结果.‎ 试题解析:(1)由得,‎ 当时, , , ,求得切线方程为.‎ ‎(2)若对, 恒成立等价于对恒成立,‎ 设函数,则, ‎ 再设函数,则.∵, ,即在上为增函数,‎ 又, ,所以存在,使得,‎ ‎∴当时, ,即,故在上递减;‎ 当时, ,即,故在上递增.‎ ‎∴的最小值为.‎ 由得.所以,‎ 所以,又,故整数的最大值为3.‎ ‎22.以平面直角坐标系的原点为极点, 轴的正半轴为极轴, ‎ 建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位, 直线的参数方程为,圆的极坐标方程为.‎ ‎(1)求直线的普通方程与圆的直角坐标方程;‎ ‎(2)设曲线与直线交于两点, 若点的直角坐标为,求的值.‎ ‎(1)直线的普通方程为:,C的直角坐标方程为;(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)消去参数可得直线的普通方程,由公式可化极坐标方程为直角坐标方程;(2)直线的参数方程是过点的标准参数方程,因此把直线参数方程代入圆的直角坐标方程,方程的解,则,由韦达定理可得.‎ 试题解析:(1)直线的普通方程为:, ‎ ‎,所以.‎ 所以曲线C的直角坐标方程为(或写成).. ‎ ‎(2)点P(2,1)在直线上,且在圆C内,把代入,得,设两个实根为,则,即异号.‎ 所以.‎ 考点:参数方程与普通方程的互化,极坐标方程与直角坐标方程的互化,直线参数方程的应 ‎23.选修4-5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎(1)解不等式;‎ ‎(2)若对于任意,都有,使得成立,求实数的取值范围.‎ ‎(1)(2)或.‎ ‎【解析】试题分析:(1)根据绝对值几何意义得,再根据绝对值定义得,即得不等式解集,(2)原命题等价于,利用绝对值三角不等式求值域: 而,所以,再根据绝对值定义求不等式解集得实数的取值范围.‎ 试题解析:(1)由,得,‎ 得解集为.‎ ‎(2)因为任意,都有,使得成立,所以,‎ 又,‎ 所以,解得或,所以实数的取值范围为或.‎
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