数学文卷·2017届安徽省黄山市高三第二次模拟考试(2017

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数学文卷·2017届安徽省黄山市高三第二次模拟考试(2017

安徽省黄山市2017届高三第二次模拟考试 数学(文)试题 参考公式:如果事件、互斥, 那么 如果事件、互斥独立, 那么 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2. 复数,若,则实数的值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中,有一道数学名题叫“宝塔装灯”,内容为“远望巍巍塔七层,红灯点点倍加增;共灯三百八十一,请问顶层几盏灯? ” (加增的顺序为从塔顶到塔底). 答案应为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.已知函数,其中,从中随机抽取个,则它在上是减函数的概率为 ( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎5. 在中,,给出满足条件,就能得到动点的轨迹方程 下表给出了一些条件及方程:‎ 条件 方程 ‎① 周长为 ‎②面积为 ‎③中,‎ 则满足条件①,②,③的轨迹方程依次为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知的取值范围是,执行下面的程序框图,则输出的的概率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.若圆上只有一点到双曲线的一条渐近线的距离为,则该双曲线离心率为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9. 已知,则的大小关系是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.已知满足约束条件,若目标函数的最大值为,则( )‎ A.有最小值 B.有最大值 ‎ C. 有最小值 D.有最大值 ‎11. 函数与的图象上存在关于轴对称的点,则实数的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎12. 将函数的图象向左平移个单位,得函数的图象(如图) ,点分别是函数图象上轴两侧相邻的最高点和最低点,设,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13. 已知,则在方向上的投影为 .‎ ‎14.已知抛物线,点,点在抛物线上,当点到抛物线准线的距离与点到点的距离之和最小时,延长交抛物线于点,则的面积为 .‎ ‎15.已知两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等. 椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体. 如图(1)将底面直径皆为,高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上. 以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面,可以证明总成立. 则短轴长为,长轴为的椭球体的体积为 .‎ ‎16.对正整数,设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为,则数列的前项和等于 .‎ 三、解答题 ‎ ‎(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17. 中,角所对的边分别为,向量 ,且的值为. ‎ ‎(1)求的大小;‎ ‎(2)若 ,求的面积.‎ ‎18. 如图,四棱锥中,底面是矩形,平面底面,且是边长为的等边三角形,在上,且面.‎ ‎(1)求证: 是的中点;‎ ‎(2)求多面体的体积.‎ ‎19. 全世界越来越关注环境保护问题,某监测站点于2016年8月某日起连续天监测空气质量指数,数据统计如下:‎ 空气质量指数 空气质量等级 空气优 空气良 轻度污染 中度污染 重度污染 天数 ‎(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出的值,并完成頻率分布直方图:‎ ‎(2)由頻率分布直方图,求该组数据的平均数与中位数;‎ ‎(3)在空气质量指数分别为和的监测数据中,用分层抽样的方法抽取天,从中任意选取天,求事件“两天空气都为良”发生的概率.‎ ‎20. 设分别是椭圆的左、右焦点,过作倾斜角为的直线交椭圆于两点,到直线的距离为,连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为. ‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为,当最大时,求直线的方程.‎ ‎21.已知函数. ‎ ‎(1)若时,讨论函数的单调性;‎ ‎(2)若,过作切线,已知切线的斜率为,求证:.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 选修4-4:坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程为,过点的直线交曲线于两点.‎ ‎(1)将曲线的极坐标方程的化为普通方程;‎ ‎(2)求的取值范围.‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎(1)解不等式;‎ ‎(2)若存在实数,使不等式能成立,求实数的最小值.‎ 安徽省黄山市2017届高三第二次模拟考试 数学(文)试题参考答案 一、选择题 ‎1-5:BDDBA 6-10: BCACA 11-12:CD 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17. 解:(1),‎ ‎.‎ ‎(2),由得,‎ ‎.‎ ‎18. 解:(1)证明:连交于,连是矩形,是中点.又面,且是面与面的交线,是的中点.‎ ‎ (2)取中点,连.则,由面底面,得面,,.‎ ‎19. 解:(1),‎ ‎.‎ ‎(2)平均数 ,中位数.‎ ‎(3) 在空气质量指数为和的监测天数中分别抽取天和天,在所抽収的天中,将空气质量指数为的天分别记为;将空气质量指数为的天记为,从中任取天的基本事件分别为:共种,其中 事件“两天空气都为良”包含的基本事件为共种,所以事件“两天都为良”发生的概率是.‎ ‎20. 解:(1)设坐标为,坐标为,则直线的方程为,即 ‎;又,‎ 椭圆的方程为.‎ ‎(2)易知直线的斜率不为,可设直线的方程为,则圆心到直线的距离为,‎ 所以,得,,(当且仅当,即时,等号成立),所以直线方程为或.‎ ‎21. 解:(1) 由已知得:. ①若,当或时,;当时,,所以的单调递增区间为;单调递减区间为. ②若,故的单调递减区间为;③若,当或时,;当时,;所以的单调递增区间为;单调递减区间为.‎ 综上,当时,单调递增区间为;单调递减区间为,.‎ 当时,的单调递减区间为;当时,单调递增区间为 ‎ ;单调递减区间为,.‎ ‎(2),设切点,斜率为 ① 所以切线方程为 ,将代入得: ② 由 ① 知代入②得:‎ ‎,令,则恒成立,‎ 在单增,且,,令,则,则 在递减,且.‎ ‎22. 解:(1)由得,得曲线的普通方程为.‎ ‎(2)由题意知,直线的参数方程为为参数),将代入得,设对应的参数分别为,则,的取值范围为 ‎.‎ ‎23. 解:(1)由题意不等式可化为,当时,,‎ 解得,即;当时,,解得,即;当时,,解得,即,综上所述,不等式的解集为或.‎ ‎(2)由不等式可得,‎ ‎,故实数的最小值是.‎
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