专题22 数列的概念与表示法-2018年高考数学（文）热点题型和提分秘籍

专题22 数列的概念与表示法-2018年高考数学（文）热点题型和提分秘籍

专题22 数列的概念与表示法 ‎【高频考点解读】‎ ‎1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)‎ ‎2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数 ‎【热点题型】‎ 热点题型一 由数列的前几项归纳数列的通项公式 例1、根据下面各数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：‎ ‎(1)－1,7，－13,19，…；‎ ‎(2)，，，，，…；‎ ‎(3)，2，，8，，…；‎ ‎(4)5,55,555,5 555，…。‎ ‎(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察。即，，，，，…，从而可得数列的一个通项公式为an＝。‎ ‎(4)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝(10n－1)。‎ ‎【提分秘籍】‎ 用观察法求数列的通项公式的方法 ‎(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要遵循先整体—再局部—再整体的观察次序，以常见的基本数列为基础，如自然数列、奇数列、偶数列、变号数列((－1)n或(－1)n＋1)等，注意观察项与其项数n之间的关系，同时，可以采取诸如添项、通分、分割等办法转化为一些常见数列；‎ ‎(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想。‎ ‎ ‎ ‎【举一反三】 ‎ 下列公式可作为数列{an}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是(　　)‎ A．an＝1 B．an＝ C．an＝2－ D．an＝ 解析：由an＝2－可得a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，…。‎ 答案：C 热点题型二 由an与Sn的关系求通项an ‎ 例2、【2017江苏，9】等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则= ▲ .‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】当时，显然不符合题意；‎ 当时，，解得，则 ‎【变式探究】已知数列{an}的前n项和Sn，分别求它们的通项公式an。‎ ‎(1)Sn＝2n2＋3n。‎ ‎(2)Sn＝3n＋1。‎ ‎(2)当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4，‎ 当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1。‎ 当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，‎ 所以an＝ ‎【提分秘籍】 ‎ 已知Sn求an的三个步骤 ‎(1)先利用a1＝S1求出a1。‎ ‎(2)用n－1替换Sn中n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式。‎ ‎(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写。‎ ‎【举一反三】 ‎ 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为__________。‎ 热点题型三 由递推关系式求通项公式 例3．根据下列条件，确定数列{an}的通项公式。‎ ‎(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；‎ ‎(2)a1＝1，an＝an－1(n≥2)；‎ ‎(3)已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，求an。‎ 解析：(1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，‎ ‎∴＝3，‎ ‎∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，‎ 又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，‎ ‎∴an＝2·3n－1－1。‎ ‎(2)∵an＝an－1(n≥2)，∴an－1＝an－2，…，a2＝a1。‎ 以上(n－1)个式子相乘得an＝a1···…·＝＝。‎ ‎(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，‎ ‎∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n≥2)。‎ 当n＝1时，a1＝×(3×1＋1)＝2符合公式，∴an＝n2＋。‎ ‎【提分秘籍】‎ 由递推关系式求通项公式的类型与方法 ‎①已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解。‎ ‎②当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现＝f(n)时，用累乘法求解。‎ ‎【举一反三】 ‎ ‎(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于(　　)‎ A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n C．2＋nln n D．1＋n＋ln n ‎(2)若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝__________。‎ 经检验n＝1时也适合。故选A。‎ ‎(2)由于＝2n，故＝21，＝22，…，＝2n－1，将这n－1个等式叠乘得＝21＋2＋…＋(n－1)＝2，故an＝2。‎ 答案：(1) A ‎ ‎(2) 2。‎ 热点题型四 数列的性质及其应用 ‎ 例4、 (1)已知an＝，那么数列{an}是(　　)‎ A．递减数列 B．递增数列 C．常数列 D．摆动数列 ‎(2) 数列{an}满足an＋1＝a1＝，则数列的第2 015项为________。‎ ‎(2)因为a1＝，所以a2＝2a1－1＝，所以a3＝2a2＝，所以a4＝2a3＝，a5＝2a4－1＝，a6＝2a5－1＝，…，‎ 所以该数列的周期T＝4。而2 015＝4×503＋3，‎ 所以a2 015＝a3＝。‎ 答案：(1)B (2) ‎【提分秘籍】‎ ‎1．解决数列的单调性问题可用以下三种方法 ‎(1)用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或是常数列。‎ ‎(2)用作商比较法，根据(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断。‎ ‎ (3)结合相应函数的图象直观判断。‎ ‎2．解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值。‎ ‎【举一反三】 ‎ 设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝1－，记数列{an}的前n项之积为 Tr，则T2 014的值为(　　)‎ A．－ B．－1 C. D．－2‎ 解析：由a2＝，a3＝－1，a4＝2可知，‎ 数列{an}是周期为3的周期数列，‎ 从而T2 014＝T2 013·a1＝(－1)671×2＝－2。‎ 答案：D ‎【高考风向标】‎ ‎ ‎ ‎1.【2017江苏，9】等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则= ▲ .‎ ‎【答案】32‎ ‎1.【2016高考浙江文数】如图，点列分别在某锐角的两边上，且 ‎，.(P≠Q表示点P与Q不重合)若，为的面积，则（ ）‎ A.是等差数列 B.是等差数列 C.是等差数列 D.是等差数列 ‎【答案】A ‎【解析】表示点到对面直线的距离（设为）乘以长度的一半，即，由题目中条件可知的长度为定值，那么我们需要知道的关系式，由于和两个垂足构成了直角梯形，那么，其中为两条线的夹角，即为定值，那么，，作差后：，都为定值，所以为定值．故选A. ‎ ‎【2015高考安徽，文13】已知数列中，，（），则数列的前9项和等于 .‎ ‎【答案】27‎ ‎【解析】∵时，‎ ‎∴为首项，为公差的等差数列 ‎∴‎ ‎1．（2014·江西卷）已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.‎ ‎(1)令cn＝，求数列{cn}的通项公式；‎ ‎(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.‎ ‎2．（2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．‎ ‎(1)证明：an＋2－an＝λ.‎ ‎(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．‎ ‎【解析】(1)证明：由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，‎ 两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.‎ 因为an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.‎ ‎(2)由题设，a1＝1，a‎1a2＝λS1－1，可得 a2＝λ－1，‎ 由(1)知，a3＝λ＋1.‎ 若{an}为等差数列，则‎2a2＝a1＋a3，解得λ＝4，故an＋2－an＝4.‎ 由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，‎ a2n－1＝4n－3；‎ ‎{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.‎ 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.‎ 因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．‎ ‎3．（2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.‎ ‎(1)证明是等比数列，并求{an}的通项公式；‎ ‎(2)证明＋＋…＋＜.‎ ‎(2)证明：由(1)知＝.‎ 因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，‎ 所以≤，即＝≤.‎ 于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝<.‎ 所以＋＋…＋<.‎ ‎4．（2014·重庆卷）设a1＝1，an＋1＝＋b(n∈N*)．‎ ‎(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式．‎ ‎(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2nf(a2k＋1)>f(1)＝a2，即 ‎1>c>a2k＋2>a2.‎ 再由f(x)在(－∞，1]上为减函数，得c＝f(c)f(a2k＋1)＝a2k＋2，‎ a2(k＋1)＝f(a2k＋1)f(a2n＋1)，即a2n＋1>a2n＋2.‎ 所以a2n＋1>－1，解得a2n＋1>.　④‎ 综上，由②③④知存在c＝使a2n

查看更多