【导与练】2017届高三数学（文）二轮复习（全国通用）专题突破 专题四　数列 第1讲　等差数列与等比数列

【导与练】2017届高三数学（文）二轮复习（全国通用）专题突破 专题四　数列 第1讲　等差数列与等比数列

www.ks5u.com 专题四　数　列 第1讲　等差数列与等比数列 ‎(限时:45分钟)‎ ‎【选题明细表】‎ 知识点、方法 题号 数列的概念、通项 ‎1,8‎ 等差(比)数列的基本运算 ‎2,3,5,10‎ 等差(比)数列的性质 ‎7,11‎ 等差(比)数列的判断 ‎4,9,13,14‎ 等差(比)数列的综合问题 ‎6,9,12‎ 重点把关 ‎1.(2016·湖南长沙一模)已知数列的前4项为2,0,2,0,则依次归纳该数列的通项不可能是(　C　)‎ ‎(A)an=(-1)n-1+1 (B)an= ‎(C)an=2sin (D)an=cos(n-1)π+1‎ 解析:令n=1,2,3,4分别代入验证,可知C:a3=-2,因此不成立.故选C.‎ ‎2.(2016·安徽合肥三模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=5,‎ a7=1,则a1等于(　B　)‎ ‎(A)- (B)-1 (C) (D) 解析:设等差数列{an}的公差为d,‎ 则 解得故选B.‎ ‎3.(2016·福建龙岩一模)已知{an}是公差为的等差数列,Sn为{an}的前n项和,若a2,a6,a14成等比数列,则S5等于(　C　)‎ ‎(A) (B)35 (C) (D)25‎ 解析:因为{an}是公差为的等差数列,Sn为{an}的前n项和,a2,a6,a14成等比数列,‎ 所以(a1+×5)2=(a1+)(a1+×13),‎ 解得a1=,‎ 所以S5=5×+×=.‎ 故选C.‎ ‎4.(2016·广东湛江一模)已知数列{an}是公比为2的等比数列,数列{bn}是公差为3且各项均为正整数的等差数列,则数列{}是(　D　)‎ ‎(A)公差为5的等差数列 (B)公差为6的等差数列 ‎(C)公比为6的等比数列 (D)公比为8的等比数列 解析:由数列{an}是公比为2的等比数列,‎ 可得an=a1×2n-1.‎ 由数列{bn}是公差为3且各项均为正整数的等差数列,‎ 可得bn+1-bn=3,‎ 则===23=8.‎ 所以数列{}是公比为8的等比数列.‎ 故选D.‎ ‎5.(2016·贵州省习水县一中模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn,且=+1,则数列{an}的公差为(　B　)‎ ‎(A)1 (B)2 (C)2 015 (D)2 016‎ 解析:由Sn=na1+d得-=(a1+d)-(a1+d)=1,所以d=2,故选B.‎ ‎6.(2016·天津二模)已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a13成等比数列,若a1=1,Sn是数列{an}前n项的和,则(n∈N+)的最小值为(　A　)‎ ‎(A)4 (B)3 (C)2-2 (D) 解析:因为a1=1,a1,a3,a13成等比数列,‎ 所以(1+2d)2=1+12d.‎ 得d=2或d=0(舍去),‎ 所以an=2n-1,Sn==n2,‎ 所以==.‎ 令t=n+1,则=t+-2≥6-2=4,‎ 当且仅当t=3,即n=2时等号成立,所以的最小值为4.‎ 故选A.‎ ‎7.(2016·黑龙江大庆一模)已知在等差数列{an}中,a1,a2 017为方程x2-10x+16=0的两根,则a2+a1 009+a2 016的值为　　　. ‎ 解析:因为a1,a2 017为方程x2-10x+16=0的两根,数列{an}是等差数列,‎ 所以a1+a2 017=10=2a1 009.‎ 则a2+a1 009+a2 016=3a1 009=15.‎ 答案:15‎ ‎8.(2016·贵州省习水县一中模拟)定义max{a,b}表示实数a,b中的较大的数.已知数列{an}满足a1=a(a>0),a2=1,an+2=(n∈N*),若a2 015=4a,记数列{an}的前n项和为Sn,则S2 015的值为　　　　. ‎ 解析:由题意a3=,当a≥2时,a4=4,a5=2a,a6=a,a7=1,因此{an}是周期数列,周期为5,所以a2 015=a5=2a≠4a,不合题意,当a<2时,a4=,a5=4,‎ a6=a,a7=1,同理{an}是周期数列,周期为5,所以a2 015=a5=4=4a,a=1,a1+‎ a2+a3+a4+a5=18,S2 015=403×18=7 254.‎ 答案:7 254‎ ‎9.(2016·闽粤部分名校联考)在数列{an}中,a1=,且对任意的n∈N*都有an+1=.‎ ‎(1)求证:{-1}是等比数列;‎ ‎(2)若对任意的n∈N*都有an+1=·==1+成立”.‎ 若记f(n)=1+,则f(n)显然是单调递减的,‎ 故f(n)≤f(1)=1+=.‎ 所以,实数p的取值范围为(,+∞).‎ 能力提升 ‎10.(2016·安徽安庆二模)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“‎ 有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为(　C　)‎ ‎(A)24里 (B)12里 (C)6里 (D)3里 解析:记每天走的路程里数为{an},可知{an}是公比q=的等比数列,‎ 由S6=378,得S6==378,解得a1=192,‎ 所以a6=192×=6.‎ 故选C.‎ ‎11.(2016·天津二模)等比数列{an}前n项的乘积为Tn,且2a3=,则T9=　　　. ‎ 解析:由等比数列的性质可得2a3==a3a5,‎ 解得a5=2,设等比数列{an}的公比为q,‎ 所以T9=a1a2a3…a9=q1+2+3+…+8= ‎=q36=(a1·q4)9==29=512.‎ 答案:512‎ ‎12.已知公差不为0的等差数列{an}满足S7=77,且a1,a3,a11成等比 数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解:(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),‎ 由等差数列{an}满足S7=77知7a4=77,‎ 所以a1+3d=11.①‎ 因为a1,a3,a11成等比数列,‎ 所以=a1a11,‎ 整理得2d2=3a1d,‎ 又因为数列{an}公差不为0,‎ 所以2d=3a1.②‎ 联立①②解得a1=2,d=3.‎ 所以an=3n-1.‎ ‎(2)因为bn=,‎ 所以bn=23n-1=·8n,‎ 所以数列{bn}是以4为首项,8为公比的等比数列,‎ 由等比数列前n项和公式得 Tn==.‎ ‎13.(2016·河南百校联考)已知数列{an}满足an+1=2an+n-1,且a1=1.‎ ‎(1)求证:{an+n}为等比数列;‎ ‎(2)求数列{an}的前n项和Sn.‎ ‎(1)证明:因为==2,‎ 所以{an+n}是首项为2,公比为2的等比数列.‎ ‎(2)解:由(1)知an+n=2×2n-1=2n,‎ an=2n-n,‎ Sn=-=2n+1--2.‎ 创新选做 ‎14.(2016·浙江卷,文8)如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*.‎ ‎(P≠Q表示点P与Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn为△AnBnBn+1的面积,则(　A　)‎ ‎(A){Sn}是等差数列 (B){}是等差数列 ‎(C){dn}是等差数列 (D){}是等差数列 解析:不妨设该锐角的顶点为C,∠A1CB1=θ,|A1C|=a,|AnAn+1|=b,‎ ‎|BnBn+1|=c,‎ 则|CAn|=a+(n-1)b,‎ 作AnDn⊥CBn于Dn,‎ 则|AnDn|=[a+(n-1)b]·sin θ,‎ 于是Sn=|BnBn+1|·|AnDn|‎ ‎=·c·[a+(n-1)·b]sin θ ‎=(bcsin θ)n+(a-b)csin θ,‎ 所以Sn是关于n的一次函数,则{Sn}成等差数列.选A.‎