内蒙古第一机械制造（集团）有限公司第一中学2019届高三上学期12月月考数学（文）试卷

内蒙古第一机械制造（集团）有限公司第一中学2019届高三上学期12月月考数学（文）试卷

高三年级12月月考数学（文科）试题 一、选择题(本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.设，集合，集合，则等于（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知，其中为虚数单位，则 （ ）‎ ‎ A. B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎3.设变量满足约束条件，则的最大值为 （ ）‎ ‎ A. B.2 C.3 D.4‎ ‎4.已知向量a，b, c.若为实数，(a+b) // c,则 （ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.函数的零点所在的区间为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6.圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则 （ ）‎ A. − B.− C. D.2‎ ‎7.在等比数列中，已知，则（ ）‎ ‎ A.3 B. -3 C. 5 D. ‎ ‎8.函数的图像在点处的切线斜率的最小值是（ ）‎ A.1 B. C.2 D. ‎ ‎9.已知则等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.函数的图象大致是（ ）‎ ‎11.已知定义在上的奇函数满足：且时，，则 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知正三角形ABC的边长为，平面ABC内的动点P，M满足，则的最大值是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13.已知数列中，，（），则数列的前9项和等于 。‎ ‎14.已知点,,,,则向量在向量方向上的投影是 ‎ ‎15.设的内角A，B，C的对边分别为,且,则c=________.‎ ‎16.长方体的各个顶点都在体积为的球O 的球面上，其中，则四棱锥O-ABCD 的体积的最大值为 ．‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分)‎ ‎17.（本小题满分12分）已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直.‎ （1） 求直线的方程；‎ ‎（2）若圆C的圆心为点(3,0)，直线被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程.‎ ‎18.（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且。‎ ‎（I）证明：sinAsinB=sinC；‎ ‎（II）若，求tanB。‎ ‎19.（本小题满分12分）已知数列是递增的等比数列，且 ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和。‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，∥，，,平面平面，为等腰直角三角形，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若三棱锥的体积为，求的面积.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数．‎ ‎ （1）求函数的单调区间；‎ ‎ （2）若恒成立，求的值.‎ ‎22.[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线．‎ ‎（1）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求，的极坐标方程；‎ ‎（2）射线与异于极点的交点为，与的交点为，求.‎ ‎ 23．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分）‎ ‎ 已知函数．‎ ‎ （1）若，求的取值范围；‎ ‎ （2）若存在，使得成立，求的取值范围．‎ 高三年级12月月考数学（文科）试题答案 ‎1-5 ABCBC 6-10 AACCD 11-12 AB ‎13. 27 14.‎ ‎15. 4 16.2‎ ‎17.（本小题满分12分）已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直.‎ （1） 求直线的方程；‎ ‎（2）若圆C的圆心为点(3,0)，直线被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程.‎ 解：（1）由已知得:, 解得两直线交点为, ‎ 设直线的斜率为，与垂直，‎ 过点，的方程即. ‎ （2） 设圆的半径为，依题意，圆心到直线的距离为 ‎ 则由垂径定理得，∴‎ ‎∴圆的标准方程为. ‎ ‎18.（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且。‎ ‎（I）证明：sinAsinB=sinC；‎ ‎（II）若，求tanB。‎ ‎（Ⅰ）根据正弦定理，可设 ‎ 则a=ksin A，b=ksin B，c=ksinC.‎ 代入中，有 ‎，可变形得 sin A sin B=sin Acos B=sin (A+B).‎ 在△ABC中，由A+B+C=π，有sin (A+B)=sin (π–C)=sin C，‎ 所以sin A sin B=sin C.‎ ‎（Ⅱ）由已知，b2+c2–a2=bc，根据余弦定理，有 ‎.‎ 所以sin A=.‎ 由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B +cos Asin B，‎ 所以sin B=cos B+sin B，‎ 故tan B==4.‎ ‎19.（本小题满分12分）已知数列是递增的等比数列，且 ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和。‎ ‎（1）设等比数列的公比为，‎ 所以有，。‎ 联立两式可得或者。‎ 又因为数列为递增数列，所以。‎ 数列的通项公式为。‎ ‎（2）根据等比数列的求和公式，有。‎ 所以数列的通项公式为，所以。‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，∥，，,平面平面，为等腰直角三角形，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若三棱锥的体积为，求的面积.‎ 解：（1）因为平面平面，平面平面=，‎ 所以平面.又∥，平面.平面，‎ 又为等腰直角三角形，，有 平面，又平面…………6分 ‎（2）设，则，过作于，则.‎ 又平面平面，平面平面=平面.‎ 又.‎ 中，.中，. …………12分 ‎21.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数．‎ ‎ （1）求函数的单调区间；‎ ‎ （2）若恒成立，求的值.‎ ‎（1）依题意，，‎ 令，解得，故，·········2分 故当时，函数单调递减，当时，函数单调递增；‎ 故函数的单调减区间为，单调增区间为．·········4分 ‎（2），其中，‎ 由题意知在上恒成立，，‎ 由（1）可知，∴，······8分 ‎∴，记，则，令，得．·······9分 当变化时，，的变化情况列表如下：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 极大值 ‎∴，故，当且仅当时取等号，‎ 又，从而得到．·········12分 ‎22.[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线．‎ ‎（1）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求，的极坐标方程；‎ ‎（2）射线与异于极点的交点为，与的交点为，求.‎ ‎（1）曲线：（为参数）化为普通方程为，‎ 所以曲线的极坐标方程为，···········3分 曲线的极坐标方程为．···········5分 ‎（2）射线与曲线的交点的极径为，···········7分 射线与曲线的交点的极径满足，‎ 解得，···········9分 所以．···········10分 ‎ 23．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分）‎ ‎ 已知函数．‎ ‎ （1）若，求的取值范围；‎ ‎ （2）若存在，使得成立，求的取值范围．‎ ‎（1）由得，‎ ‎∴，或，或，······3分 解得．···········5分 ‎（2）当时，，·········6分 ‎∴存在，使得即成立，‎ ‎∴存在，使得成立，···········8分 ‎∴，∴．···········10分