高中数学人教a版选修4-1知能达标演练:1-1平行线等分线段定理 含解析

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高中数学人教a版选修4-1知能达标演练:1-1平行线等分线段定理 含解析

一、选择题 ‎1.如图所示,已知a∥b∥c,直线AB与a、b、c交于点A、E、B,直线CD与a、b、c交于点C、E、D,若AE=EB,则有 ‎(  ).‎ A.AE=CE B.BE=DE C.CE=DE D.CE>DE 解析 由平行线等分线段定理可直接得到答案.‎ 答案 C ‎2.若顺次连接等腰梯形各边中点,则得到的四边形是 (  ).‎ A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 解析 如图,由等腰梯形的性质可得AC=BD,∵EH綉AC,FG綉AC,∴EH綉FG,同理EF綉GH.‎ 又∵AC=BD,EF=BD,EH=AC,∴EF=EH,∴四边形EFGH为菱形.‎ 答案 B ‎3.如图所示,AB∥CD∥EF,且AO=OD=DF,BC=6,则BE等于(  ).‎ A.9 B.10‎ C.11 D.12‎ 解析 过点O作一条与CD平行的直线,然后结合平行线等分线段定理即可解得BE=9.‎ 答案 A ‎4.如图,已知AB∥CD∥EF,AF,BE相交于点O,若AO=OD=DF,BE=‎10 cm,则BO的长为 (  ).‎ A. cm        B.‎‎5 cm C. cm        D.‎‎3 cm 解析 ∵CD∥EF,OD=DF,‎ ‎∴C为OE中点,∴OC=CE.‎ ‎∵AB∥CD,AO=OD,‎ ‎∴O为BC中点,‎ ‎∴BO=OC,∴OB=BE= cm.‎ 答案 A 二、填空题 ‎5.如图所示,已知a∥b∥c,直线m、n分别与a、b、c交于点A、B、C和A′、B′、C′,如果AB=BC=1,A′B′=,则B′C′=________.‎ 解析 由平行线等分线段定理可直接得到B′C′=.‎ 答案  ‎6.在梯形ABCD中,M、N分别是腰AB和腰CD的中点,且AD=2,BC=4,则MN=________.‎ 解析 由梯形的中位线定理直接可得MN==3.‎ 答案 3‎ ‎7.已知梯形的中位线长‎10 cm,一条对角线将中位线分成的两部分之差是‎3 cm,则该梯形中的较大的底是________ cm.‎ 解析 设梯形较大,较小的底分别为a,b,‎ 则有可得:a=13.‎ 答案 13‎ ‎8.如图,在△ABC中,点E是AB的中点,EF∥BD,EG∥AC交BD于点G,CD=AD,若EG=‎5 cm,则AC=________cm;若BD=‎20 cm,则EF=________cm.‎ 解析 ∵E为AB的中点,EF∥BD,∴F为AD的中点.∵E为AB的中点,EG∥AC,∴G为BD的中点,当EG=‎5 cm时,则AD=‎10 cm.又CD=AD=‎5 cm,∴AC=‎15 cm.当BD=‎20 cm时,则EF=BD=‎10 cm.‎ 答案 15 10‎ 三、解答题 ‎9.如图所示,在梯形ABCD中,已知AD∥BC,DC⊥BC,∠B=60°,BC=AB,E为AB的中点.‎ 求证:△ECD为等边三角形.‎ 证明 过E作EF∥BC交DC于F,连接AC,如图所示.‎ ‎∵AD∥BC,E为AB中点,∴F是DC中点.①‎ 又∵DC⊥BC,EF∥BC,∴EF⊥DC.②‎ ‎∴由①②知,EF是DC的垂直平分线,‎ ‎∴△ECD为等腰三角形.③‎ ‎∵BC=AB,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形.‎ 又∵E是AB中点,‎ ‎∴CE是∠ACB的平分线,‎ ‎∴∠BCE=30°.∴∠ECD=60°.④‎ 由③④知,△ECD为等边三角形.‎ ‎10.如图,在▱ABCD中,设E和F分别是边BC和AD的中点,BF和DE分别交AC于P、Q两点.‎ 求证:AP=PQ=QC.‎ 证明 ∵四边形ABCD是平行四边形,E、F分别是BC、AD边上的中点,‎ ‎∴DF綉BE,∴四边形BEDF是平行四边形.‎ ‎∵在△ADQ中,F是AD的中点,FP∥DQ.‎ ‎∴P是AQ的中点,∴AP=PQ.‎ ‎∵在△CPB中,E是BC的中点,EQ∥BP,‎ ‎∴Q是CP的中点,∴CQ=PQ,∴AP=PQ=QC.‎ ‎11.(拓展深化)如图,以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作平行四边形ACED,DC的延长线交BE于点F,求证:EF=BF.‎ 证明 如图所示,连接AE交DC于O.‎ ‎∵四边形ACED是平行四边形.‎ ‎∴O是AE的中点.‎ ‎∵在梯形ABCD中,‎ DC∥AB,在△EAB中,‎ OF∥AB,‎ 又∵O是AE的中点,‎ ‎∴F是EB的中点,‎ ‎∴EF=BF.‎
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