数学卷·2018届四川省泸州市泸化中学高二上学期10月月考数学试卷 （解析版）

数学卷·2018届四川省泸州市泸化中学高二上学期10月月考数学试卷 （解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年四川省泸州市泸化中学高二（上）10月月考数学试卷 ‎　‎ 一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）‎ ‎1．椭圆+=1的长轴长是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．6‎ ‎2．圆x2+y2+2x﹣4y﹣6=0的圆心和半径分别是（　　）‎ A．（﹣1，﹣2），11 B．（﹣1，2），11 C．（﹣1，﹣2）， D．（﹣1，2），‎ ‎3．圆（x+2）2+y2=5关于原点（0，0）对称的圆的方程为（　　）‎ A．（x﹣2）2+y2=5 B．x2+（y﹣2）2=5 C．（x+2）2+（y+2）2=5 D．x2+（y+2）2=5‎ ‎4．已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（　　）‎ A．2 B．3 C．5 D．7‎ ‎5．已知k＜4，则曲线和有（　　）‎ A．相同的准线 B．相同的焦点 C．相同的离心率 D．相同的长轴 ‎6．已知双曲线的渐近线为y=±x，焦点坐标为（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．过双曲线x2﹣y2=8的右焦点F2的一条弦PQ，|PQ|=7，F1是左焦点，那么△F1PQ的周长为（　　）‎ A．18 B．14﹣8 C．14+8 D．8‎ ‎9．若点P（x0，y0）在圆C：x2+y2=r2的内部，则直线xx0+yy0=r2与圆C的位置关系是（　　）‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 ‎10．已知m是两个正数2，8的等比中项，则圆锥曲线x+=1的离心率为（　　）‎ A．或 B． C． D．或 ‎11．已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．3‎ ‎12．关于x的方程有两个不相等实数根，则实数a的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二.填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，满分20分）‎ ‎13．经过点P（﹣3，0），Q（0，﹣2）的椭圆的标准方程是　　．‎ ‎14．双曲线的焦点到渐近线的距离等于　　．‎ ‎15．若点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是　　．‎ ‎16．已知动点P（x，y）在椭圆C： +=1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足||=1且•=0，则||的最小值为　　．‎ ‎　‎ 三.解答题（共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知直线l经过两点（2，1），（6，3）．‎ ‎（1）求直线l的方程；‎ ‎（2）圆C的圆心在直线l上，且过点（2，0）和（3，1），求圆C的方程．‎ ‎18．已知曲线C是与两个定点A（1，0），B（4，0）的距离比为的动点的轨迹．‎ ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）求曲线C上的点到直线l：x﹣y+3=0的距离d的最小值与最大值．‎ ‎19．已知双曲线的方程是16x2﹣9y2=144．‎ ‎（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；‎ ‎（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|•|PF2|=32，求∠F1PF2的大小．‎ ‎20．已知圆C：x2+y2﹣6y+8=0，O为原点．‎ ‎（1）求过点O的且与圆C相切的直线l的方程；‎ ‎（2）若P是圆C上的一动点，M是OP的中点，求点M的轨迹方程．‎ ‎21．已知椭圆C：的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程．‎ ‎（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，且△AOB的面积为，求：实数k的值．‎ ‎22．已知点A（1，1）是椭圆（a＞b＞0）上一点，F1，F2是椭圆的两焦点，且满足|AF1|+|AF2|=4．‎ ‎（I）求椭圆的标准方程；‎ ‎（II）求过A（1，1）与椭圆相切的直线方程；‎ ‎（III）设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年四川省泸州市泸化中学高二（上）10月月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）‎ ‎1．椭圆+=1的长轴长是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．6‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】直接利用椭圆的标准方程求解实轴长即可．‎ ‎【解答】解：椭圆+=1的实轴长是：2a=6．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．圆x2+y2+2x﹣4y﹣6=0的圆心和半径分别是（　　）‎ A．（﹣1，﹣2），11 B．（﹣1，2），11 C．（﹣1，﹣2）， D．（﹣1，2），‎ ‎【考点】圆的一般方程．‎ ‎【分析】将题中的圆化成标准方程得（x+1）2+（y﹣2）2=11，由此即可得到圆心的坐标和半径．‎ ‎【解答】解：将圆x2+y2+2x﹣4y﹣6=0化成标准方程，‎ 得（x+1）2+（y﹣2）2=11，‎ ‎∴圆心的坐标是（﹣1，2），半径r=．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．圆（x+2）2+y2=5关于原点（0，0）对称的圆的方程为（　　）‎ A．（x﹣2）2+y2=5 B．x2+（y﹣2）2=5 C．（x+2）2+（y+2）2=5 D．x2+（y+2）2=5‎ ‎【考点】关于点、直线对称的圆的方程．‎ ‎【分析】求出对称圆的圆心坐标即可求得结果．‎ ‎【解答】解：圆（x+2）2+y2=5的圆心（﹣2，0），关于（0，0）对称的圆心坐标（2，0）所求圆的方程是（x﹣2）2+y2=5．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（　　）‎ A．2 B．3 C．5 D．7‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】先根据条件求出a=5；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5．‎ 根据椭圆的定义得：2a=3+d⇒d=2a﹣3=7．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．已知k＜4，则曲线和有（　　）‎ A．相同的准线 B．相同的焦点 C．相同的离心率 D．相同的长轴 ‎【考点】圆锥曲线的共同特征．‎ ‎【分析】已知k＜4，则曲线和对应的曲线都是椭圆，再观察两个方程中的分母可以看到两个方程中分母上的数的差是相等的，由此关系可以得出两个椭圆有相同的焦点，考查四个选项找出正确选项即可 ‎【解答】解：∵k＜4，‎ ‎∴曲线和都是椭圆 又9﹣4=9﹣k﹣（4﹣k）‎ ‎∴两曲线的半焦距相等，故两个椭圆有相同的焦点 故选B ‎　‎ ‎6．已知双曲线的渐近线为y=±x，焦点坐标为（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设双曲线方程为： =1，则c=4，又渐近线方程为y=x，即可得到a，b的方程，解得即可．‎ ‎【解答】解：设双曲线方程为： =1‎ 则c=4，‎ 又渐近线方程为y=x，‎ 即有=，又c2=a2+b2=16．‎ 解得，a=2，b=2．‎ 则=1．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的应用；数列的应用．‎ ‎【分析】先设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，由题意可知：a+c=2b，由此可以导出该椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解：设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，‎ 则2a+2c=2×2b，‎ 即a+c=2b⇒（a+c）2=4b2=4（a2﹣c2），所以3a2﹣5c2=2ac，同除a2，‎ 整理得5e2+2e﹣3=0，∴或e=﹣1（舍去），‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．过双曲线x2﹣y2=8的右焦点F2的一条弦PQ，|PQ|=7，F1是左焦点，那么△F1PQ的周长为（　　）‎ A．18 B．14﹣8 C．14+8 D．8‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线方程得a=b=2，c=4．由双曲线的定义，证出|PF1|+|QF1|=|PF2|+|QF2|+8=|PQ|+8，结合 ‎|PQ|=7即可算出△F1PQ的周长．‎ ‎【解答】解：∵双曲线方程为x2﹣y2=8，‎ ‎∴a=b=2，c=4‎ 根据双曲线的定义，得 ‎|PF1|﹣|PF2|=4，|QF1|﹣|QF2|=4，‎ ‎∴|PF1|=|PF2|+4，|QF1|=（|QF2|+4），‎ 相加可得|PF1|+|QF1|=|PF2|+|QF2|+8，‎ ‎∵|PF2|+|QF2|=|PQ|=7，∴|PF1|+|QF1|=7+8，‎ 因此△F1PQ的周长=|PF1|+|QF1|+|PQ|=7+8+7=14+8，‎ 故选：C ‎　‎ ‎9．若点P（x0，y0）在圆C：x2+y2=r2的内部，则直线xx0+yy0=r2与圆C的位置关系是（　　）‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】先利用点到直线的距离，求得圆心到直线x0x+y0y=r2的距离，根据P在圆内，判断出x02+y02＜r2，进而可知d＞r，故可知直线和圆相离．‎ ‎【解答】解：圆心O（0，0）到直线x0x+y0y=r2的距离为d=‎ ‎∵点P（x0，y0）在圆内，∴x02+y02＜r2，则有d＞r，‎ 故直线和圆相离．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．已知m是两个正数2，8的等比中项，则圆锥曲线x+=1的离心率为（　　）‎ A．或 B． C． D．或 ‎【考点】椭圆的简单性质；等比数列的性质．‎ ‎【分析】先根据等比中项的定义，求出m的值，再分类讨论，当m=4时，圆锥曲线为椭圆，当m=﹣4时，圆锥曲线为双曲线，最后根据离心率的定义求出即可 ‎【解答】解：∵m是两个正数2，8的等比中项，‎ ‎∴m2=2×8=16，‎ 即m=4或m=﹣4，‎ 当m=4时，圆锥曲线x+=1为椭圆，‎ ‎∴a=2，b=1，c=，‎ ‎∴e==，‎ 当m=﹣4时，圆锥曲线x﹣=1为双曲线，‎ ‎∴a=1，b=2，c=，‎ ‎∴e==，‎ 故选：D ‎　‎ ‎11．已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．3‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】作出图象，由图象可得当PC与直线垂直时S取最小值，结合点到直线的距离公式得答案．‎ ‎【解答】解：如图，设PC=d，‎ 则由圆的知识和勾股定理可得PB=PA=，‎ ‎∴四边形PACB面积S=2××PA×BC=，‎ 当d取最小值时S取最小值，‎ 由点P在直线上运动可知当PC与直线垂直时d取最小值，‎ 此时d恰为点C到已知直线的距离，‎ 由点到直线的距离公式可得d=，‎ ‎∴四边形PACB面积S的最小值为2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．关于x的方程有两个不相等实数根，则实数a的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】画出函数y=与y=x﹣a的图象，利用函数的图象，求解即可．‎ ‎【解答】解：关于x的方程有两个不相等实数根，就是函数y=与y=x﹣a的图象有两个不同交点，如图：可知半圆与直线y=x﹣a相切时只有一个交点，此时：，可得a=﹣，a=舍去．‎ 可得a∈（﹣，﹣1]．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二.填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，满分20分）‎ ‎13．经过点P（﹣3，0），Q（0，﹣2）的椭圆的标准方程是　　．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】根据经过点P（﹣3，0），Q（0，﹣2），表示出长轴，短轴长，然后写出椭圆的标准方程，即可．‎ ‎【解答】解：∵经过点P（﹣3，0），Q（0，﹣2）‎ ‎∴a=3，b=2‎ ‎∴所以椭圆的标准方程为 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．双曲线的焦点到渐近线的距离等于　2　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可得右焦点F的坐标为（3，0），一条渐近线方程为2x﹣y=0，代入点到直线的距离公式计算可得．‎ ‎【解答】解：由双曲线的方程可知：a=，b=2，c=3‎ 故右焦点F的坐标为（3，0），一条渐近线方程为2x﹣y=0‎ 由点到直线的距离公式可得：所求距离d===2．‎ 故答案为：2‎ ‎　‎ ‎15．若点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是　x﹣y﹣3=0　．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】求出圆心C的坐标，得到PC的斜率，利用中垂线的性质求得直线AB的斜率，点斜式写出AB的方程，并化为一般式．‎ ‎【解答】解：圆（x﹣1）2+y2=25的圆心C（1，0），点P（2，﹣1）为 弦AB的中点，PC的斜率为 =﹣1，‎ ‎∴直线AB的斜率为1，点斜式写出直线AB的方程 y+1=1×（x﹣2），即 x﹣y﹣3=0，‎ 故答案为：x﹣y﹣3=0．‎ ‎　‎ ‎16．已知动点P（x，y）在椭圆C： +=1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足||=1且•=0，则||的最小值为　　．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】依题意知，该椭圆的焦点F（3，0），点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，当PF最小时，切线长PM最小，作出图形，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：依题意知，点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，‎ 且•=0，即PM⊥MF，‎ ‎∴|PM|2=|PF|2﹣|MF|2，而|MF|=1，‎ ‎∴当PF最小时，切线长PM最小．‎ 由图知，当点P为右顶点（5，0）时，|PF|最小，最小值为：5﹣3=2．‎ 此时|PM|==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三.解答题（共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知直线l经过两点（2，1），（6，3）．‎ ‎（1）求直线l的方程；‎ ‎（2）圆C的圆心在直线l上，且过点（2，0）和（3，1），求圆C的方程．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】（1）求出直线的斜率，可得直线l的方程；‎ ‎（2）设圆心为（2a，a），利用两点间的距离公式建立方程，求出a，即可求圆C的方程．‎ ‎【解答】解：（1）∵直线l经过两点（2，1），（6，3），‎ ‎∴直线l的方程为y﹣1=（x﹣2），即x﹣2y=0；‎ ‎（2）圆C的圆心在直线l上，设圆心为（2a，a），‎ ‎∵过点（2，0）和（3，1），‎ ‎∴（2a﹣2）2+a2=（2a﹣3）2+（a﹣1）2，‎ ‎∴a=1，‎ ‎∴圆C的方程（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．‎ ‎　‎ ‎18．已知曲线C是与两个定点A（1，0），B（4，0）的距离比为的动点的轨迹．‎ ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）求曲线C上的点到直线l：x﹣y+3=0的距离d的最小值与最大值．‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】（1）利用直接法，即可求曲线C的方程；‎ ‎（2）求出圆心到直线的距离，即可求曲线C上的点到直线l：x﹣y+3=0的距离d的最小值与最大值．‎ ‎【解答】解：（1）设动点坐标为（x，y），则=，‎ 即x2+y2=4；‎ ‎（2）圆心到直线的距离为=＞2，‎ ‎∴d的最小值为﹣2，最大值为2+．‎ ‎　‎ ‎19．已知双曲线的方程是16x2﹣9y2=144．‎ ‎（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；‎ ‎（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|•|PF2|=32，求∠F1PF2的大小．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；双曲线的定义；双曲线的应用．‎ ‎【分析】（1）向将双曲线转化为标准形式，得到a，b，c的值，即可得到焦点坐标、离心率和渐近线方程；‎ ‎（2）先根据双曲线的定义得到||PF1|﹣|PF2||=6，再由余弦定理得到cos∠F1PF2的值，进而可得到∠F1PF2的大小．‎ ‎【解答】解：（1）由16x2﹣9y2=144得﹣=1，‎ ‎∴a=3，b=4，c=5．焦点坐标F1（﹣5，0），F2（5，0），离心率e=‎ ‎，渐近线方程为y=±x．‎ ‎（2）||PF1|﹣|PF2||=6，‎ cos∠F1PF2=‎ ‎===0．‎ ‎∴∠F1PF2=90°．‎ ‎　‎ ‎20．已知圆C：x2+y2﹣6y+8=0，O为原点．‎ ‎（1）求过点O的且与圆C相切的直线l的方程；‎ ‎（2）若P是圆C上的一动点，M是OP的中点，求点M的轨迹方程．‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】（1）设过原点O的圆C的切线方程为y=kx，与圆的方程联立，利用△=0，即可求过点O的且与圆C相切的直线l的方程；‎ ‎（2）若P是圆C上的一动点，M是OP的中点，利用圆的参数方程，即可求点M的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：（1）设过原点O的圆C的切线方程为y=kx．‎ y=kx代入x2+y2﹣6y+8=0，可得（k2+1）x2﹣6kx+8=0‎ ‎∵直线与圆相切，方程有两相等的实数根，‎ ‎∴（﹣6k）2﹣4（k2+1）×8=0 ‎ 整理，得k2=8，∴k=±2，‎ ‎∴过原点O的圆C的切线方程为y=x；‎ ‎（2）x2+y2﹣6y+8=0，即x2+（y﹣3）2=1，‎ 设点P坐标（cosα，3+sinα），点M坐标（x，y），则cosα=2x，y，sinα=2y﹣3．‎ ‎∵cos2α+sin2α=1，∴（2x）2+（2y﹣3）2=1，这就是所求的点M的轨迹方程，是一个圆．‎ ‎　‎ ‎21．已知椭圆C：的离心率为 ‎，短轴一个端点到右焦点的距离为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程．‎ ‎（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，且△AOB的面积为，求：实数k的值．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）因为椭圆离心率为e==，又因为短轴一个端点到右焦点的距离为a=，故c=，从而b2=a2﹣c2=1，椭圆C的方程为．‎ ‎（2）先由原点O到直线l的距离为，得等式，再将直线l与椭圆联立，利用韦达定理和△AOB的面积为，得等式•=，最后将两等式联立解方程即可得k值 ‎【解答】解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意，‎ ‎∴b=1，∴所求椭圆方程为．‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．由已知，得．‎ 又由，消去y得：‎ ‎（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，∴，．‎ ‎∴|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=‎ ‎==‎ 又，‎ 化简得：9k4﹣6k2+1=0‎ 解得：‎ ‎　‎ ‎22．已知点A（1，1）是椭圆（a＞b＞0）上一点，F1，F2是椭圆的两焦点，且满足|AF1|+|AF2|=4．‎ ‎（I）求椭圆的标准方程；‎ ‎（II）求过A（1，1）与椭圆相切的直线方程；‎ ‎（III）设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（I）根据椭圆的定义可知|AF1|+|AF2|=4=2a，然后将点A（1，1）代入椭圆方程即可求出a，b的值，从而确定椭圆的标准方程；（II）过点（x0，y0）与椭圆相切的切线方程为，故可求；（III）先假设出直线AC的方程，然后联立直线与椭圆消去y得到关于x的一元二次方程，进而表示出点C的横坐标，再由AC、AD直线倾斜角互补可得到直线AD的方程，进而可得到D的横坐标，然后将点C、D的横坐标分表代入直线方程可得到其对应的纵坐标，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：（I）由椭圆定义知：2a=4，∴a=2，∴‎ 把（1，1）代入得，∴，∴椭圆方程为 ‎（II）解：过A（1，1）点与椭圆相切的切线方程为：‎ 即：x+3y﹣4=0 ‎ ‎（III）设AC方程为：y=k（x﹣1）+1与椭圆方程联立，消去y得（1+3k2）x2﹣6k（k﹣1）x+3k2﹣6k﹣1=0‎ ‎∵点A（1，1）在椭圆上，方程有一个根为xA=1，∴‎ ‎∵直线AC、AD倾斜角互补，∴AD的方程为y=﹣k（x﹣1）+1‎ 同理，又 yC=k（xC﹣1）+1，yD=﹣k（xD﹣1）+1，‎ yC﹣yD=k（xC+xD）﹣2K ‎∴，即直线CD的斜率为定值 ‎　‎