2017-2018学年福建省三明市A片区高中联盟校高二上学期阶段性考试数学文试题（解析版）

2017-2018学年福建省三明市A片区高中联盟校高二上学期阶段性考试数学文试题（解析版）

三明市A片区高中联盟校2017－2018学年第一学期阶段性考试 高 二 文 科 数 学 试 卷 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求，请把正确选项的代号填在答题卷相应的位置上)‎ ‎1. 从名学生中选取名学生参加全国诗词大会,若采用下面的方法选取；先用简单随机抽样从人中剔除人，剩下的人再用系统抽样的方法抽取,则每人入选的概率(　　).‎ A. 都相等, 且为 B. 都相等, 且为 C. 不全相等 D. 均不相等 ‎【答案】B ‎2. 用秦九韶算法求多项式当时的值时，=( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，，则当时，有，，.故选C.‎ ‎3. 为了解某地区名高三男生的身体发育情况，抽查了该地区名年龄为~岁的高三男生体重()，得到频率分布直方图如图。根据图示，估计该地区高三男生中体重在kg的学生人数是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，体重在的学生频率为，其人数为.故选C.‎ 点睛：此题主要考查了频率分布直方图在实际问题中的应用，属于中低档题型，也是常考考点.在解决此类问题中，充分利用频率分布直方图的纵坐标的实际意义，其纵坐标值为：频率/组距，由此各组数据的频率=其纵坐标组距，各组频数=频率×总体，从而可估计出所求数据段的频数（即人数）.‎ ‎4. 已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线的经过点，则它的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意知，该双曲线的渐近线方程为，则有，又，所以，所以此双曲线的离心率为.故选A.‎ ‎5. 为坐标原点, 为抛物线 的焦点, 为上一点,若,则的面积为（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，根据抛物线的定义得，即，解得，则，所以的面积为.故选D.‎ ‎6. 以椭圆的焦点,为双曲线的焦点，为双曲线上的一点，,且,则双曲线的方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由椭圆，得双曲线的半焦距，由题意不妨假设点在第一象限内，则由双曲线的定义有，两边平方得，则有，又，所以，则，即，所以，，所以双曲线的方程为.故选B.‎ 点睛：此题主要考查了椭圆方程、焦点，以及双曲线定义、方程、焦点等方面的知识和运算技能，属于中档题型，也是常考考点.在此题的解决过程中，由椭圆方程得出其焦点坐标，从而得到双曲线的焦点坐标，再根据双曲线定义表示出实轴长，结合题目已知条件，将其两边平方（这是解决此类问题中常用的手段），从而问题可得解.‎ ‎7. 在射击训练中，某战士射击了两次，设命题是“第一次射击击中目标”，命题是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是（ ）‎ A. 为真命题 B. 为真命题 C. 为真命题 D. 为真命题 ‎【答案】A ‎【解析】命题是“第一次射击击中目标”，命题是“第二次射击击中目标”，则命题是“第一次射击没击中目标”，命题是“第二次射击没击中目标”，命题 “两次射击至少有一次没有击中目标”是，故选A.‎ ‎8. 函数的单调递增区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数，则，令，则，解得.故选A.‎ ‎9. 给出下列命题： ‎ ‎①命题“”的否定是“”；‎ ‎②命题“若，则”的逆命题是真命题；‎ ‎③把化为十进制为11；‎ ‎④“方程表示椭圆”的充要条件是“”．‎ 其中正确命题的个数为（　　）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，命题①正确；由成立，则命题②正确；由，则命题③错；由于当，即时，该方程表示圆，则命题④错.故选B.‎ ‎10. 如图是某工厂对一批新产品长度(单位: )检测结果的频率分布直方图.估计这批产品的平均数与中位数分别为(　　)‎ A. 22.5 20 B. 22.5 22.75 C. 22.75 22.5 D. 22.75 25‎ ‎【答案】C 其中位数为.故选C.‎ ‎11. 函数在处有极值为，则＝（ ）‎ A. 或 B. 或 C. 6 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得，，则解得或，由当时，有，则若时，均有，即此时不是函数的极值，故舍去，所以成立.故选D.‎ ‎12. 已知椭圆的一个焦点,若椭圆上存在一个点，满足以椭圆短半轴为半径的圆与线段相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意不妨设椭圆的方程为，点为第一象限点，如图所示，则易知，且，又由椭圆定义得，所以，又，则，即，所以.故选D.‎ 点睛：此题主要考查了椭圆方程、离心率，圆的切线，以及三角形中位线等有关方面的知识和技能等，属于中高档题型，也是常考考点.在此问题的解决过程中，主要考虑采用数形结合法，根据题意作出草图，尽量挖掘图形中隐含条件（比如垂直、中位线等），将条件有效转化，再根据椭圆的定义、离心率进行运算，从而问题可得解.‎ 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案直接写在答题卷相应位置上)‎ ‎13. 如图所示的程序框图中，输出的值为________‎ ‎【答案】190‎ ‎【解析】执行程序得，，不成立；‎ ‎，不成立；‎ ‎，不成立；‎ ‎，不成立；‎ ‎，不成立；‎ ‎，成立；‎ 故输出的值为190.‎ ‎14. 曲线在点处切线方程是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，，则切点坐标为，又，则切线斜率为，所以切线方程为，即.‎ ‎15. 在区间和上分别取一个数，记为，则方程表示离心率小于的双曲线的概率为_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由双曲线的离心率小于，即，得，又，由数形结合法，如图所示，根据几何概型概率公式得，所求概率为.‎ 点睛：此题主要考查了双曲线方程、离心，及几何概型概率的计算等有关方面的知识和技能，属于中高档题型，也是常考考点.这题巧妙地将双曲线的离心率与几何概型概率的运算融在一起，比较新颖，首先由双曲线离心率的范围得到双曲线中与的不等关系，再结合条件中与的范围，从而建立几何概型模型，再进行求解.‎ ‎16. 设：，使有意义。若为假命题，则实数的取值范围 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，由为假命题，则为真命题，即，使成立，‎ 若，则或，解得；‎ 若，则当，总有成立；‎ 若，则，即.‎ 综上得，所求实数的取值范围为.‎ 三、解答题(本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明，证明推理过程或演算步骤)‎ ‎17. 某产品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据：‎ ‎（1）求出回归直线方程；‎ ‎（2）据此预测广告费支出万元，销售额是多少？ ‎ 参考公式：‎ ‎【答案】（1）；（2）销售额是76万元.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意，根据参考公式，分别计算代入公式，算出，再利用数据中心，从而求出回归直线方程；（2）用于预报或预测是回归方程的重要功能，将广告费支出9万元，代入回归方程算出预测值的值，从而问题可得解.‎ 试题解析：（1）， ‎ ‎ ‎ ‎， ‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎， ‎ 所以回归直线方程 ‎ ‎（2）由回归直线方程可知，当广告费支出9万元时，‎ ‎（万元） ‎ 答：销售额是76万元.‎ ‎18. 为了解某工厂和两车间工人掌握某技术情况，现从这两车间工人中分别抽查名和名工人，经测试，将这名工人的测试成绩编成的茎叶图。若成绩在以上(包括)定义为“良好”，成绩在以下定义为“合格”。已知车间工人的成绩的平均数为，车间工人的成绩的中位数为.‎ ‎(1)求,的值；‎ ‎(2)求车间工人的成绩的方差；‎ ‎(3)在这名工人中，用分层抽样的方法从 “良好”和“及格”中抽取人，再从这人中选人,求至少有一人为“良好”的概率。‎ ‎（参考公式：方差）‎ ‎【答案】（1）；（2）96.5；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意，根据平均数的计算公式，结合茎叶图的特点，从而可求出图中的值；（2）根据题目中所提供的方差的计算公式，将图中数据逐一代入计算，从而可求出车间工人的成绩方差；（3）根据图中数据，统计出这20人中良好与及格的人数，并算出人数比，从而算出抽出的5人中良好与及格的人数，再用列举法算出事件总数与所求事件的个数，由古典概型公式进行计算，从而问题可得解.‎ 试题解析：(1) ‎ 解得 ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎(3)由题意可得,“良好”有8人,“及格”有12人,若从“良好”和“及格”中抽取5人,则“良好”和“及格”的人数分别为, ‎ 记抽取的“良好”分别为1,2;“及格”为3,4,5,从已经抽取的5人中任选2人的所有可能为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10种结果 …10分 记“从这5人中选2人,至少有一人为‘良好’”为事件A,则事件A有(1,2),(1,3),(1,4),‎ ‎(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)共7种结果,故 ‎19. 设是实数，命题函数的最小值小于0 ，命题函数在上是减函数，命题 ‎（1）若“”和“”都为假命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意，分别求出若命题，为真时参数的取值范围，由和都为假命题可得，命题为真，而命题为假，从而求出的取值范围；（2）由是的充分不必要条件，可知，只须即可，亦是命题中的范围是命题中范围的子集即可，由此可求出的取值范围.‎ 试题解析：当命题为真时，，‎ 则函数的最小值为,则； ‎ 命题函数在上是减函数为真时，对函数求导，可得：，则不等式在上恒成立，则，解得. ‎ ‎（1）因为“”和“”都为假命题，∴ 为真命题，为假命题. ，故实数的取值范围为 ‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，即，故， ‎ 故实数的取值范围为 ‎20. 已知直线:与抛物线:‎ ‎（1）若直线与抛物线相切，求实数的值；‎ ‎（2）若直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，当抛物线上一动点从到运动时，求面积的最大值。‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由已知直线与抛物线对称轴不平行，因此可联立直线与抛物线的方程，消去得到关于的一元二次方程，由此方程有唯一解，即，从而求出实数的值；（2）由题意，可将焦点弦作为的底边，则点到直线的距离就是的高，而已定，当最大时，的面积为最大，可设代入运算，求出，从而问题可得解.‎ 试题解析：（1）由，因为直线与抛物线相切，‎ 所以 解得 ‎ ‎（2）因为抛物线的焦点为（0，1），所以直线方程为 由，消去，得，设，则 ‎，‎ 法一：， ‎ 法二： ‎ 设（），‎ 因为为定值，当点到直线的距离最大时，面积的最大 ，‎ ‎， ‎ ‎ 当时，‎ 所以面积的最大值为 点睛：此题主要考查了直线与抛物线相交的焦点弦长的在求三角形面积中的应用，以及点到直线的距离公式的应用，属于中高档题型，也是常考考点.在解决此类问题中常需要联立直线与抛物线方程，由焦点弦计算公式求出弦长（作为三角形的底边）为定值，利用点到直线的距离公式算出三角形的高（含参数），通过讨论此高的最值，从而问题可得解.‎ ‎21. 已知椭圆:的离心率，过椭圆的上顶点和右顶点的直线与原点的距离为，‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）是否存在直线经过椭圆左焦点与椭圆交于,两点，使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点 ‎？若存在,求出直线方程；若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2），或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意，根据离心率定义得到与的关系式，再由点求出直线的方程，根据点到直线距离公式，得到与的关系式，再结合，从而得出椭圆方程；（2）根据题意，可将直线斜率存在与否进行分类讨论，由“线段为直径”，得，再利用向量数量积的坐标运算，从而解决问题.‎ 试题解析：（1）由已知得，因为过椭圆的上顶点和右顶点的直线与原点的距离为，所以 ，解得 ‎ 故所求椭圆的方程:‎ ‎（2）椭圆左焦点，‎ ‎①当直线斜率不存在时，直线与椭圆交于两点，显然不存在满足条件的直线.………6分 ‎②当直线斜率存在时，设直线 ‎ 联立，消得， ‎ 由于直线经过椭圆左焦点，所以直线必定与椭圆有两个交点，恒成立 设则， ‎ 若以为直径的圆过点，则，即 (*)‎ 而，代入(*)式得，‎ ‎ ‎ 即，解得，‎ 即或．‎ 所以存在或使得以线段MN为直径的圆过原点．‎ 故所求的直线方程为，或.‎ ‎22. 设函数 ‎（1）若，对任意，不等式恒成立，求的最小值；‎ ‎（2）当时，讨论函数的单调性.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意，将不等式恒成立，转化为，且，再利用导数法分别求出，从而问题可得解；（2）由题意，采用导数法进行求解，首先对函数进行求导，再对的取值与的符号进行分类讨论，从而解决问题.‎ 试题解析：（1），‎ 在区间上有，即在区间上单调递增 的最大值是，最小值是 ，‎ ‎，‎ 的最小值是，的最大值是，故的最小值是 ‎ ‎（2） ‎ ‎ ‎ 由于，只要讨论的符号即可，令得，‎ ‎①当时，，恒成立，‎ 故函数的单调递增区间是 ‎ ‎②当，即时，不等式的解集是 的解集是，‎ 故函数的单调递增区间是和，递减区间是………10分 ‎③当，即时，故不等式的解集是 的解集是，故函数的单调递增区间是和，递减区间是.‎ 点睛：此题主要考查了导数在研究函数的单调性、最极等方面的应用，尤其是在讨论含参数函数的单调性方面的应用，属于高档题型，也是常考考点.此类题目的解决过程中始终贯穿着分类讨论思想与转化思想，主要分类的依据是导数中参数对导数符号的影响，而需要对参数的取值范围进一步分类讨论，从而得到函数的单调区间.‎