新课标（全国卷）高三二轮复习理科数学（十三） 概率、随机变量及其分布列

新课标（全国卷）高三二轮复习理科数学（十三） 概率、随机变量及其分布列

新课标（全国卷）高三二轮复习理科数学（十三） ‎ 概率、随机变量及其分布列 ‎[全国卷 考情分析]‎ 年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ ‎2019‎ 古典概型·T6‎ 互斥事件、独立事件、离散型随机变量·T18‎ 独立重复试验的概率·T15‎ 随机变量的分布列、等比数列·T21‎ ‎2018‎ 几何概型·T10‎ 古典概型·T8‎ 相互独立事件及二项分布·T8‎ 二项分布、导数的应用及变量的数学期望、决策性问题·T20‎ ‎2017‎ 数学文化、有关面积的几何概型·T2‎ 二项分布的方差·T13‎ 频数分布表、概率分布列的求解、数学期望的应用·T18‎ 正态分布、二项分布的性质及概率、方差·T19‎ ‎(1)概率、随机变量及其分布是高考命题的热点之一，命题形式为“一小一大”，即一道选择题或填空题和一道解答题．‎ ‎(2)选择题或填空题常出现在第4～10题或第13～15题的位置，主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型，难度一般．‎ ‎[题组练透]‎ ‎1．(2019·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．‎ 每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，右图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是(　　)‎ A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选A　在所有重卦中随机取一重卦，其基本事件总数n＝26＝64，恰有3个阳爻的基本事件数为C＝20，所以在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的概率P＝＝.故选A.‎ ‎2．(2019·济南市模拟考试)‎2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动．市民可以通过济南地铁APP抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王、小张、小刘、小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为(　　)‎ A.　　 B.　　　‎ C.　 D. 解析：选D　若小王和小李都没被选中，则有C种方法，若小王和小李有一人被选中，则有CC种方法，故所求概率P＝＝.‎ 若小王和小李都被选中，则有1种方法，故所求概率P＝1－＝.‎ ‎3.(2019·福州市质量检测)如图，线段MN是半径为2的圆O的一条弦，且MN的长为2.在圆O内，将线段MN绕点N按逆时针方向转动，使点M移动到圆O上的新位置，继续将新线段NM绕新点M按逆时针方向转动，使点N移动到圆O上的新位置，依此继续转动，……点M的轨迹所围成的区域是图中阴影部分．若在圆O内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为(　　)‎ A.4π－6 B.1－ C.π－ D. 解析：选B　依题意，得阴影部分的面积S＝6×＝4π－6，所求概率P＝＝1－，故选B.‎ 依题意得阴影部分的面积S＝π×22－6××2×2×＝4π－6，所求概率P＝＝1－，故选B.‎ ‎4．某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　7：30的班车小明显然是坐不到的．当小明在7：50之后8：00之前到达，或者8：20之后8：30之前到达时，他等车的时间将不超过10分钟，故所求概率为＝.故选B.‎ 当小明到达车站的时刻超过8：00，但又不到8：20时，等车时间将超过10分钟，7：50～8：30的其他时刻到达车站时，等车时间将不超过10分钟，故等车时间不超过10分钟的概率为1－＝.‎ ‎[解题方略]‎ ‎1．古典概型的概率公式P(A)＝＝.‎ ‎2．几何概型的概率公式P(A)＝.‎ 互斥事件、相互独立事件的概率 ‎[题组练透]‎ ‎1．(2019·广州市调研测试)已知甲袋中有1个黄球和1个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，现随机从甲袋中取出1个球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出的球是红球的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　设事件A：“从甲袋中取出1个红球放入乙袋中，再从乙袋中取出1个红球”，事件B：“从甲袋中取出1个黄球放入乙袋中，再从乙袋中取出1个红球”，根据题意知所求概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝×＋×＝.故选B.‎ ‎2．(2019·石家庄市模拟(一))袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球，现从中不放回地摸取2个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　设“第二次摸到红球”为事件A，“第一次摸到红球”为事件B，‎ ‎∵P(A)＝＝，P(AB)＝＝，∴P(B|A)＝＝，‎ ‎∴在第二次摸到红球的条件下，第一次摸到红球的概率为.故选B.‎ ‎3．(2019·全国卷Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．‎ 解析：甲队以4∶1获胜，甲队在第5场(主场)获胜，前4场中有一场输．‎ 若在主场输一场，则概率为2×0.6×0.4×0.5×0.5×0.6；‎ 若在客场输一场，则概率为2×0.6×0.6×0.5×0.5×0.6.‎ ‎∴ 甲队以4∶1获胜的概率P＝2×0.6×0.5×0.5×(0.6＋0.4)×0.6＝0.18.答案：0.18‎ ‎4．(2019·全国卷Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．(1)求P(X＝2)；(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．‎ 解：(1)X＝2就是某局双方10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.‎ ‎(2)X＝4且甲获胜，就是某局双方10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．‎ 因此所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.‎ ‎[解题方略]‎ ‎1．条件概率 在A发生的条件下B发生的概率P(B|A)＝.‎ ‎2．相互独立事件同时发生的概率 P(AB)＝P(A)P(B)．‎ ‎3．独立重复试验、二项分布 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.‎ 一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpkqn－k，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0，1，2，…，n，称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)，且E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). ‎ 随机变量的分布列、均值与方差 题型一　超几何分布及其均值与方差 ‎[例1]　(2019·福州模拟)某市某超市为了回馈新老顾客，决定在2019年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动．为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该市某高中学生征集活动方案，该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用．方案如下：将一个4×4×4的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体．经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为ξ，记抽奖一次中奖的礼品价值为η.(1)求P(ξ＝3)．(2)凡是元旦当天在该超市购买物品的顾客，均可参加抽奖．记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值50元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值30元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元的礼品，其他情况不获奖．求某顾客抽奖一次获得的礼品价值的分布列与数学期望．‎ ‎[解]　(1)64个小正方体中，三面着色的有8个，两面着色的有24个，一面着色的有24个，另外8个没有着色，∴P(ξ＝3)＝＝＝.‎ ‎(2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6，η的取值为50，30，10，0，‎ P(η＝50)＝P(ξ＝6)＝＝＝，P(η＝30)＝P(ξ＝5)＝＝＝，‎ P(η＝10)＝P(ξ＝4)＝＝＝，P(η＝0)＝1－－－＝.‎ η ‎50‎ ‎30‎ ‎10‎ ‎0‎ P ‎∴E(η)＝50×＋30×＋10×＋0×＝.‎ ‎[解题方略]‎ ‎1．超几何分布的应用条件及实质 ‎(1)条件：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数X的概率分布．(2)实质：古典概型问题．‎ ‎2．超几何分布的均值与方差 对于实际问题中的随机变量X，如果能够断定它服从超几何分布H(N，M，n)，则其概率可直接利用公式P(X＝k)＝(k＝0，1，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*)．‎ 题型二　相互独立事件的概率及均值与方差 ‎[例2]　(2019·石家庄市模拟(一))东方商店欲购进某种食品(保质期两天)，此商店每两天购进该食品一次(购进时，该食品为刚生产的)．根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了解市场的需求情况，现统计该食品在本地区100天的销售量如下表：‎ 销售量/份 ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ 天数 ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎10‎ ‎(视样本频率为概率)‎ ‎(1)根据该食品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为ξ，求ξ的分布列与数学期望；‎ ‎(2)以两天内该食品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？‎ ‎[解]　(1)根据题意可得P(ξ＝30)＝×＝，P(ξ＝31)＝××2＝，‎ P(ξ＝32)＝××2＋×＝，P(ξ＝33)＝××2＋××2＝，‎ P(ξ＝34)＝××2＋×＝，P(ξ＝35)＝××2＝，P(ξ＝36)＝×＝.‎ ξ的分布列如下：‎ ξ ‎30‎ ‎31‎ ‎32‎ ‎33‎ ‎34‎ ‎35‎ ‎36‎ P E(ξ)＝30×＋31×＋32×＋33×＋34×＋35×＋36×＝32.8.‎ ‎(2)当购进32份时，利润为 ‎32×4×＋(31×4－8)×＋(30×4－16)×＝107.52＋13.92＋4.16＝125.6(元)．‎ 当购进33份时，利润为 ‎33×4×＋(32×4－8)×＋(31×4－16)×＋(30×4－24)×＝77.88＋30＋12.96＋3.84＝124.68(元)．‎ ‎125．6＞124.68，‎ 可见，当购进32份时，利润更大．‎ ‎[解题方略]　求相互独立事件的概率的两种方法 直接法 正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解 间接法 当复杂事件正面情况较多，反面情况较少时，可利用其对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解 题型三　二项分布及其均值与方差 ‎[例3]　(2019·合肥模拟)前不久，安徽省社科院发布了2017年度“安徽城市居民幸福排行榜”，铜陵市成为本年度安徽“最幸福城市”．随后，师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)记录了他们的幸福度分数.‎ ‎(1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”，求从这16人中随机选取3人，至多有1人的幸福度是“极幸福”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示选到幸福度为“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．‎ ‎[解]　(1)由茎叶图得8.6出现的次数最多，所以众数为8.6；将茎叶图中的所有数据从小到大排列，得中位数为8.75.‎ ‎(2)设事件Ai(i＝0，1，2，3)表示所取3人中有i人的幸福度是“极幸福”，至多有1人的幸福度是“极幸福”记为事件A，结合茎叶图得P(A)＝P(A0)＋P(A1)＝＋＝.‎ ‎(3)法一：ξ的可能取值为0，1，2，3，由样本估计总体得任选1人，其幸福度为“极幸福”的概率为＝，则P(ξ＝0)＝＝；P(ξ＝1)＝C××＝；P(ξ＝2)＝C××＝；P(ξ＝3)＝＝.‎ ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝0.75.‎ 法二：ξ的可能取值为0，1，2，3，由样本估计总体得任选1人，其幸福度为“极幸福”的概率为＝，则ξ～B，P(ξ＝k)＝C(k＝0，1，2，3)．‎ ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(ξ)＝3×＝0.75.‎ ‎[解题方略]　破解有关二项分布的“四关”‎ ‎[多练强化]‎ ‎(2019·广州市调研测试)某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20，40)内的产品视为合格品，否则为不合格品，下图是设备改造前样本的频率分布直方图，下表是设备改造后样本的频数分布表．‎ 设备改造前样本的频率分布直方图 设备改造后样本的频数分布表 ‎[15，20)‎ ‎[20，25)‎ ‎[25，30)‎ ‎[30，35)‎ ‎[35，40)‎ ‎[40，45)‎ 质量指标值 频数 ‎2‎ ‎18‎ ‎48‎ ‎14‎ ‎16‎ ‎2‎ ‎(1)请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均值．‎ ‎(2)该企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25，30)内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20，25)或[30，35)内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元．根据上表的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望．‎ 解：(1)根据题图可知，设备改造前样本的频数分布表如下，‎ 质量指标值 ‎[15，20)‎ ‎[20，25)‎ ‎[25，30)‎ ‎[30，35)‎ ‎[35，40)‎ ‎[40，45)‎ 频数 ‎4‎ ‎16‎ ‎40‎ ‎12‎ ‎18‎ ‎10‎ ‎4×17.5＋16×22.5＋40×27.5＋12×32.5＋18×37.5＋10×42.5＝3 020.‎ 样本产品的质量指标平均值为＝30.2.‎ 根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为30.2.‎ ‎(2)根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为，，，‎ 故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为，，.‎ 随机变量X的取值为240，300，360，420，480.‎ P(X＝240)＝×＝，P(X＝300)＝C××＝，P(X＝360)＝C××＋×＝，‎ P(X＝420)＝C××＝，P(X＝480)＝×＝， 所以随机变量X的分布列为 X ‎240‎ ‎300‎ ‎360‎ ‎420‎ ‎480‎ P 所以E(X)＝240×＋300×＋360×＋420×＋480×＝400. ‎ ‎[例4]　为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．‎ ‎(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；‎ ‎(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，‎ 就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．‎ ‎①试说明上述监控生产过程方法的合理性；‎ ‎②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：‎ ‎9．95　10.12　9.96　9.96　10.01　9.92　9.98　10.04　10.26　9.91　10.13　10.02　9.22　10.04　10.05　9.95‎ 用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(－3，＋3)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．‎ 附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σμ＋a)；‎ ‎②P(X35‎ 付费标准(单位：元/日)‎ ‎500‎ ‎700‎ ‎1 000‎ 考虑到资金有限，若要使该公司每个月(按30天计)付的费用最少，则该公司应该选择哪个网站？‎ ‎[解]　(1)根据题中的茎叶图得，‎ 甲＝×(15＋24＋28＋25＋30＋36＋30＋35＋32＋45)＝30， s＝[(15－30)2＋(24－30)2＋(28－30)2＋(25－30)2＋(30－30)2＋(36－30)2＋(30－30)2＋(35－30)2＋(32－30)2＋(45－30)2]＝58.‎ 乙＝×(18＋25＋22＋24＋32＋38＋30＋36＋35＋40)＝30， s＝[(18－30)2＋(25－30)2＋(22－30)2＋(24－30)2＋(32－30)2＋(38－30)2＋(30－30)2＋(36－30)2＋(35－30)2＋(40－30)2]＝49.8.‎ 因为甲＝x乙，s>s，所以该公司应选择乙网站．‎ ‎(2)设选择甲网站每日需付的费用为随机变量X，选择乙网站每日需付的费用为随机变量Y，‎ 则随机变量X的分布列为 X ‎500‎ ‎700‎ ‎1 000‎ P ‎0.2‎ ‎0.6‎ ‎0.2‎ 其数学期望E(X)＝500×0.2＋700×0.6＋1 000×0.2＝720，‎ 故该公司若选择甲网站，则每个月需付的费用为720×30＝21 600(元)．‎ 随机变量Y的分布列为 Y ‎500‎ ‎700‎ ‎1 000‎ P ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.3‎ 其数学期望E(Y)＝500×0.3＋700×0.4＋1 000×0.3＝730，‎ 故该公司若选择乙网站，则每个月需付的费用为730×30＝21 900(元)．‎ 因此应选择甲网站．‎ ‎[素养通路]‎ 数据分析是指针对研究对象获取数据，运用统计方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养．数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论．‎ 本题先分析茎叶图中的数据，分别求出甲、乙的平均数、方差，然后做出最佳选择，再通过分布列、数学期望的计算后的“数据分析”，对实际问题做出合理的判断．考查了数据分析这一核心素养．‎ A组——“6＋3＋‎3”‎考点落实练 一、选择题 ‎1．(2019·贵州省适应性考试)在2018中国国际大数据产业博览会期间，有甲、乙、丙、丁4名游客准备到贵州的黄果树瀑布、梵净山、万峰林三个景点旅游，其中每个人只能去一个景点，每个景点至少要去一个人，则游客甲去梵净山旅游的概率为(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B. C. D. ‎2.(2019·江西八所重点中学联考)小华的爱好是玩飞镖，现有如图所示的由两个边长都为2的正方形ABCD和OPQR构成的标靶图形，如果O正好是正方形ABCD的中点，而正方形OPQR可以绕O点旋转．若小华随机向标靶投飞镖，一定能射中标靶，则他射中阴影部分的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎3．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点不相同”，事件B＝“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(　　)‎ A．0.648 B.0.432‎ C．0.36 D.0.312‎ ‎5．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4)0.5，所以p＝0.6.‎ ‎6解析：选B　设该篮球运动员投进第n－1(n≥2，n∈N*)个球的概率为Pn－1，第n－1个球投不进的概率为1－Pn－1，则他投进第n个球的概率为Pn＝Pn－1＋(1－Pn－1)＝＋Pn－1，∴Pn－＝.‎ ‎∴Pn－＝·＝×＝.‎ ‎∴Pn＝＋(n∈N*)，∴P2＝.故选B.‎ ‎7解析：∵不等式x2－4x＋3≤0的解集为[1，3]，所以若x∈[0，10]，则x满足不等式x2－4x＋3≤0的概率为.‎ 答案： ‎8解析：不超过30的所有素数为2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，‎ 随机选取两个不同的数，共有C＝45种情况，而和为30的有7＋23，11＋19，13＋17这3种情况，∴所求概率为＝.‎ 答案： ‎9解析：因为数学成绩x服从正态分布N(100，17.52)，则P(100－17.5135)＝＝＝0.02.又P(x≤82.5)＝P(x≥117.5)＝0.16，则本次考试数学成绩特别优秀的人数大约是×0.02＝10.‎ 答案：0.16　10‎ ‎10解：(1)由茎叶图可知，甲当天生产了10个零件，其中4个一等品，6个二等品；乙当天生产了10个零件，其中5个一等品，5个二等品．‎ 所以抽取的2个零件等级互不相同的概率P＝＝.‎ ‎(2)X可取0，1，2，3.‎ P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；‎ P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝.‎ X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎11解：(1)由已知得0＋90＋90＋x＋15＝300，‎ 解得x＝105，‎ 所以y＝＝0.35，z＝＝0.05.‎ ‎(2)依题意可知，微信群个数超过15的概率为P＝＝.‎ X的所有可能取值为0，1，2，3.依题意得，X～B.‎ 所以P(X＝k)＝C(k＝0，1，2，3)．‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以E(X)＝3×＝，‎ D(X)＝3××＝.‎ ‎12解：(1)X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.‎ P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝××2＝，‎ P(X＝2)＝×＋××2＝，‎ P(X＝3)＝××2＋××2＝，‎ P(X＝4)＝×＋××2＝，‎ P(X＝5)＝××2＝，P(X＝6)＝×＝，‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎(2)选择延保方案一，所需费用Y1的分布列为 Y1‎ ‎7 000‎ ‎9 000‎ ‎11 000‎ ‎13 000‎ ‎15 000‎ P E(Y1)＝×7 000＋×9 000＋×11 000＋×13 000＋×15 000＝10 720(元)．‎ 选择延保方案二，所需费用Y2的分布列为 Y2‎ ‎10 000‎ ‎11 000‎ ‎12 000‎ P E(Y2)＝×10 000＋×11 000＋×12 000＝10 420(元)．‎ ‎∵E(Y1)＞E(Y2)，∴该医院选择延保方案二较合算．‎ ‎1解：(1)210×0.5＋(400－210)×0.6＋(410－400)×0.8＝227(元)．‎ ‎(2)设取到第二阶梯电量的户数为ξ，可知第二阶梯电量的用户有3户，则ξ可取0，1，2，3，‎ P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，‎ 故ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎(3)设从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯的有X户，则X～B，‎ 可知P(X＝k)＝C(k＝0，1，2，3，…，10)， 解得≤k≤，k∈N*，∴当k＝6时用电量为第一阶梯的可能性最大，∴k＝6.‎ ‎2解：(1)依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3.‎ 则P(X＝0)＝0.2(1－p)2＝0.2p2－0.4p＋0.2，‎ P(X＝1)＝0.8×(1－p)2＋0.2×C×p×(1－p)＝0.8(1－p)2＋0.4p(1－p)＝0.4p2－1.2p＋0.8，‎ P(X＝2)＝0.2p2＋0.8×C×p×(1－p)＝0.2p2＋1.6p(1－p)＝－1.4p2＋1.6p，P(X＝3)＝0.8p2.‎ X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.2p2－0.4p＋0.2‎ ‎0.4p2－1.2p＋0.8‎ ‎－1.4p2＋1.6p ‎0.8p2‎ E(X)＝0×(0.2p2－0.4p＋0.2)＋1×(0.4p2－1.2p＋0.8)＋2×(－1.4p2＋1.6p)＋3×0.8p2＝2p＋0.8.‎ ‎(2)当p＝0.9时，E(X)取得最大值．‎ ‎①一棵B种树苗最终成活的概率为0.9＋0.1×0.75×0.8＝0.96.‎ ‎②记Y为n棵树苗的成活棵数，M(n)为n棵树苗的利润，‎ 则Y～B(n，0.96)，E(Y)＝0.96n，M(n)＝300Y－50(n－Y)＝350Y－50n，‎ E(M(n))＝350E(Y)－50n＝286n，要使E(M(n))≥200 000，则有n＞699.‎ 所以该农户至少引种700棵B种树苗，就可获利不低于20万元．‎ ‎3解：(1)由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30，则该套净水系统中的两个一级过滤器均需更换12个滤芯，二级过滤器需要更换6个滤芯．设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为‎30”‎为事件A.因为一个一级过滤器需要更换12个滤芯的概率为0.4，二级过滤器需要更换6个滤芯的概率为0.4，所以P(A)＝0.4×0.4×0.4＝0.064.‎ ‎(2)由柱状图可知，一个一级过滤器需要更换的滤芯个数为10，11，12的概率分别为0.2，0.4，0.4.‎ 由题意可知X可能的取值为20，21，22，23，24，‎ P(X＝20)＝0.2×0.2＝0.04，P(X＝21)＝0.2×0.4×2＝0.16，P(X＝22)＝0.4×0.4＋0.2×0.4×2＝0.32，‎ P(X＝23)＝0.4×0.4×2＝0.32，P(X＝24)＝0.4×0.4＝0.16.‎ 所以X的分布列为 X ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ P ‎0.04‎ ‎0.16‎ ‎0.32‎ ‎0.32‎ ‎0.16‎ E(X)＝20×0.04＋21×0.16＋22×0.32＋23×0.32＋24×0.16＝22.4.‎ ‎(3)若m＝22，n＝6，‎ 设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为Y1(单位：元)，则 Y1‎ ‎1 760‎ ‎1 960‎ ‎2 160‎ P ‎0.52‎ ‎0.32‎ ‎0.16‎ E(Y1)＝1 760×0.52＋1 960×0.32＋2 160×0.16＝1 888.‎ 设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为Y2(单位：元)，则Y2＝6×160＝960，E(Y2)＝1×960＝960.‎ 所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望为E(Y1)＋E(Y2)＝1 888＋960＝2 848.‎ 若m＝23，n＝5，设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为Z1(单位：元)，则 Z1‎ ‎1 840‎ ‎2 040‎ P ‎0.84‎ ‎0.16‎ E(Z1)＝1 840×0.84＋2 040×0.16＝1 872.‎ 设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为Z2(单位：元)，则 Z2‎ ‎800‎ ‎1 200‎ P ‎0.6‎ ‎0.4‎ E(Z2)＝800×0.6＋1 200×0.4＝960.‎ 所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望为E(Z1)＋E(Z2)＝1 872＋960＝2 832.‎ 因为2 832＜2 848，所以m，n的值分别为23，5.‎ ‎4解：(1)设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A，则P(A)＝＝，‎ ‎∴恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为.‎ ‎(2)(ⅰ)由已知得E(ξ1)＝k，ξ2的所有可能取值为1，k＋1.‎ ‎∴P(ξ2＝1)＝(1－p)k，P(ξ2＝k＋1)＝1－(1－p)k，‎ ‎∴E(ξ2)＝(1－p)k＋(k＋1)[1－(1－p)k]＝k＋1－k(1－p)k，‎ 若E(ξ1)＝E(ξ2)，则k＝k＋1－k(1－p)k，∴k(1－p)k＝1，(1－p)k＝，∴1－p＝，∴p＝1－，‎ ‎∴p关于k的函数关系式为p＝f(k)＝1－(k∈N*，且k≥2)．‎ ‎(ⅱ)由题意可知E(ξ2)k，‎ 设f(x)＝ln x－x(x>0)，∴当x>3时，f′(x)<0，即f(x)在(3，＋∞)上单调递减，‎ 又ln 4≈1.386 3，≈1.333 3，∴ln 4>，ln 5≈1.609 4，≈1.666 7，∴ln 5<.所以k的最大值为4.‎