2018-2019学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二上学期期中考试数学（理）试题 解析版

2018-2019学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二上学期期中考试数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 黑龙江省牡丹江市第一高级中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点为，那么抛物线的方程是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据焦点位置设抛物线方程，再根据焦点坐标确定p.‎ ‎【详解】‎ 因为抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点为，所以可设抛物线的方程为，因为所以，选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线标准方程，考查基本求解能力.属于基础题.‎ ‎2．已知圆的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆的方程为( )‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据条件设圆的标准方程，再代入点（-1，-1）坐标得半径，即得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为圆的圆心坐标为(2,-3),所以设圆的方程为，‎ 因为圆过点(-1,-1)，所以，即，展开得，选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的标准方程，考查基本求解能力. 属于基础题.‎ ‎3．圆的参数方程为，(为参数，)，若Q(－2，2)是圆上一点，则对应的参数的值是(　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将点坐标代入圆参数方程，解得参数即可.‎ ‎【详解】‎ 因为Q(－2，2)是圆上一点，所以，，因为，所以，选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的参数方程，考查基本求解能力. 属于基础题.‎ ‎4．以下四个命题中，正确的是（ ）‎ A． 若,则三点共线 B． 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 C． ‎ D． 为直角三角形的充要条件是 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量表示确定A错误，根据基底条件确定B正确，根据向量数量积定义得C错误，根据直角三角形直角确定D错误.‎ ‎【详解】‎ 因为中，所以三点不一定共线，‎ 因为为空间的一个基底，所以不在同一个平面，因此也不在同一个平面，从而构成空间的另一个基底，‎ 因为,所以不恒成立，‎ 因为为直角三角形时A角不一定为直角，即不一定成立，所以D错误，‎ 综上选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量表示、基底概念、向量数量积定义，考查基本分析求解能力. 属于基础题.‎ ‎5．设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，＝（ ）‎ A． 5 B． 3 C． 7 D． 3或7‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线定义求.‎ ‎【详解】‎ 因为,即,所以＝3或7，选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线定义，考查基本求解能力. 属于基础题.‎ ‎6．已知椭圆，分别为其左、右焦点，椭圆上一点到的距离是2，是的中点，则的长为（ ）‎ A． 1 B． 2 C． 3 D． 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角形中位线性质以及椭圆定义可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由椭圆定义得，因为，所以 因为是的中点，所以=4，选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆定义，考查基本求解能力. 属于基础题.‎ ‎7．双曲线（）的焦距为4，一个顶点是抛物线的焦点，则双曲线的离心率等于（ ）‎ A． 2 B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据焦距得c，根据抛物线方程得抛物线焦点坐标，结合双曲线顶点得a，最后根据离心率定义求结果.‎ ‎【详解】‎ 因为双曲线的焦距为4，所以c=2,‎ 因为抛物线的焦点为(1,0)，所以a=1,‎ 因此离心率为,选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线有关性质以及双曲线离心率，考查基本求解能力. 属于基础题.‎ ‎8．已知点，，直线相交于点，且它们的斜率之积为.则动点的轨迹方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设P点坐标,根据斜率公式列方程，化简得轨迹方程，最后根据范围去杂.‎ ‎【详解】‎ 设,则，选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直接法求轨迹方程，考查基本化简求解能力. 属于基础题.‎ ‎9．若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）‎ A． 2 B． 3 C． 6 D． 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设P点坐标,根据向量数量积化简，最后根据点P在椭圆上消元，根据二次函数性质求最值.‎ ‎【详解】‎ 因为点和点分别为椭圆的中心和左焦点，所以O(0,0),F(-1,0)‎ 设,则,‎ 因为点P在椭圆上，所以,‎ 因此，‎ 因为对称轴，所以当时取最大值6，选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数最值以及向量数量积坐标表示，考查基本分析求解能力. 属于中档题.‎ ‎10．若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点的个数（ ）‎ A． 至多一个 B． 2 C． 1 D． 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据直线和圆没有交点，得关系，再根据关系确定点位置，最后根据点与椭圆位置关系确定交点个数.‎ ‎【详解】‎ 因为直线和圆没有交点，所以，,‎ 因此点在椭圆内部，从而过点的直线与椭圆必有两个交点，选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆位置关系以及点与椭圆位置关系，考查基本分析求解能力. 属于中档题.‎ ‎11．已知直线与抛物线C：相交于A、B两点，F为C的焦点，若，则 ( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据抛物线定义得A,B横坐标关系，进而求得B点坐标，最后根据斜率公式得结果.‎ ‎【详解】‎ 设，‎ 因为，所以，‎ 因为，所以，‎ 因此，选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线定义以及直线与抛物线位置关系，考查基本分析求解能力. 属于中档题.‎ ‎12．双曲线（）的左、右焦点分别为，过作圆的切线交双曲线的左、右支分别于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据双曲线定义求，再利用余弦定理得，根据与圆相切得，联立方程解得，即得渐近线方程.‎ ‎【详解】‎ 根据双曲线定义得,,‎ 在三角形，‎ 又与圆相切，所以，‎ 因此，（舍负），‎ 因为双曲线的渐近线方程为，所以双曲线的渐近线方程为，选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线定义、余弦定理应用，双曲线渐近线方程，考查综合分析求解能力. 属于较难题.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．点C的极坐标是,则点C的直角坐标为______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为点C的极坐标是,所以，点C的直角坐标为 ‎【点睛】‎ 本题考查极坐标化直角坐标. 属于基础题.‎ ‎14．若，，，则_____‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量加法以及向量数量积的坐标表示得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间向量加法与数量积，考查基本求解能力. 属于基础题.‎ ‎15．已知，，，则_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据向量减法化简，再根据向量的模的定义以及向量数量积定义求结果.‎ ‎【详解】‎ ‎=‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量数量积定义以及向量模的定义，考查基本求解能力. 属于基础题.‎ ‎16．已知抛物线，作直线，与抛物线交于两点，为坐标原点且，并且已知动圆的圆心在抛物线上，且过定点，若动圆与轴交于两点，且，则的最小值为___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先联立直线与抛物线方程，利用韦达定理以及解得p，再设P,E,F坐标，表示，根据条件利用基本不等式求最值.‎ ‎【详解】‎ 设 则由得，所以 因为，所以，‎ ‎，‎ 根据对称性不妨设，‎ 由PE=PD得，‎ 因此 ‎，‎ 当且仅当时取等号，综上的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求抛物线方程、建立函数关系式以及利用基本不等式求函数最值，考查综合分析求解能力. 属于难题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．经过点M（2,1）作直线l交椭圆于A,B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用点差法得直线l的斜率，再根据点斜式得直线l的方程.‎ ‎【详解】‎ 设 则,,对应相减得,‎ ‎,所以, 直线l的方程为,即 ‎【点睛】‎ 本题考查点差法求直线斜率，考查基本转化求解能力. 属于中档题.‎ ‎18．已知直线的参数方程为(为参数)，曲线C的参数方程为(为参数)．‎ ‎(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；‎ ‎(2)若直线与曲线交于两点，求线段的长．‎ ‎【答案】（1）x2＋y2＝16.(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据三角函数平方关系消参数得结果，(2) 将直线的参数方程代入曲线方程，利用参数几何意义以及韦达定理求弦长.‎ ‎【详解】‎ 解：(1)由曲线C：得x2＋y2＝16，‎ 所以曲线C的普通方程为x2＋y2＝16.‎ ‎(2)将直线的参数方程代入x2＋y2＝16，‎ 整理，得t2＋3t－9＝0.‎ 设A，B对应的参数为t1，t2，则 t1＋t2＝－3，t1t2＝－9.‎ ‎|AB|＝|t1－t2|＝‎ ‎【点睛】‎ 本题考查参数方程化普通方程以及利用直线参数几何意义求弦长，考查基本求解能力. 属于基础题.‎ ‎19．如图，已知直三棱柱中，，为的中点，，求证： (1)；‎ ‎(2)∥平面。‎ ‎【答案】(1)见解析(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积证明线线垂直，（2）‎ 建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量共线证明线线平行，再根据线面平行判定定理得结果.‎ ‎【详解】‎ 证明：如图，以C1点为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.‎ 设AC＝BC＝BB1＝2，‎ 则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)。‎ ‎(1)由于＝(0，－2，－2)，＝(－2,2，－2)，‎ 所以 ＝0－4＋4＝0，‎ 因此⊥，故BC1⊥AB1.‎ ‎(2)连接A1C，取A1C的中点E，连接DE，由于E(1,0,1)，所以＝(0,1,1)，又＝(0，－2，－2)，‎ 所以＝－，又ED和BC1不共线，‎ 所以ED∥BC1，又DE⊂平面CA1D，‎ BC1⊄平面CA1D，故BC1∥平面CA1D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用空间直角坐标系证明线线垂直与线面平行，考查基本分析求证能力. 属于中档题.‎ ‎20．在极坐标系中，曲线的方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的方程为（为参数）.‎ ‎（1）求曲线的参数方程和曲线的普通方程； ‎ ‎（2）求曲线上的点到曲线的距离的最大值.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据椭圆参数方程得结果，根据代入消元法得曲线的普通方程，(2)根据点到直线距离公式列函数关系式，再根据三角函数有界性求最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以 因此曲线的参数方程为 因为 所以曲线的普通方程为 ‎（2）设曲线上任意一点，点P到的距离 因为 所以曲线上的点到曲线的距离的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查极坐标方程化直角坐标方程、利用椭圆参数方程求最值，考查基本应用求解能力. 属于中档题.‎ ‎21．已知抛物线：的焦点，为坐标原点，是抛物线上异于的两点。‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎（2）若,求证：直线过定点。‎ ‎【答案】(1)(2)（4，0）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据焦点坐标求得p，即得结果，(2)先根据向量数量积坐标表示化简,再设直线AB方程，并与抛物线方程联立，结合韦达定理代入化简得m值，即可确定定点.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得，p=2,所以抛物线方程为 ‎（2）设，‎ 因为,所以 由得，‎ 因此 过定点（4，0）.‎ ‎【点睛】‎ 定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎ ‎22．已知椭圆的离心率为，短轴长为，右焦点为 (1) 求椭圆的标准方程；(2) 若直线经过点且与椭圆有且仅有一个公共点，过点作直线交椭圆于另一点 ①证明：当直线与直线的斜率，均存在时，.为定值；②求面积的最小值。‎ ‎【答案】(1)(2) ①见解析②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据条件列关于a,b,c的方程组解得a,b，即得结果，(2) ①先设直线方程：，再根据直线与椭圆相切得关系，并解得P点坐标，最后根据斜率公式计算.为定值，②先确定三角形为直角三角形，再利用弦长公式计算PQ,根据面积公式得函数关系式，最后根据函数单调性确定最小值.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意得，‎ 所以椭圆方程为 ‎（2）①证明：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，‎ 因为点在直线上，则，‎ 联立直线与椭圆可得 因为直线与椭圆只有一个交点，所以，即，‎ 由韦达定理得，‎ 又因为过右焦点，则 而，所以.‎ ‎②因为F(2,0),所以，，所以，即,‎ 所以三角形的面积,，‎ 因为，所以方程为，设 与椭圆方程联立得，‎ 则，，，‎ 所以 令，则，令，因此当时，面积取最小值.‎ ‎【点睛】‎ 解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.‎