2015届高考数学二轮复习专题训练试题:集合与函数(9)

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2015届高考数学二轮复习专题训练试题:集合与函数(9)

‎ 集合与函数(10)‎ ‎1、对于定义在区间D上的函数,若存在闭区间和常数,使得对任意,都有,且对任意∈D,当时,恒成立,则称函数为区间D上的“平底型”函数.‎ ‎   (1)判断函数和是否为R上的“平底型”函数?并说明理由;‎ ‎(2)设是(1)中的“平底型”函数,k为非零常数,若不等式 对一切R恒成立,求实数的取值范围;‎ ‎   (3)若函数是区间上的“平底型”函数,求和的值.‎ ‎2、函数是定义在上的增函数,函数的图象关于点对称.若实数满足不等式的取值范围是 ‎ A.      B.           C.        D. ‎ ‎3、已知函数,过点P(0,m)作曲线的切线,斜率恒大于零,则的取值范围为                     ‎ ‎7、 已知集合,有下列命题 ‎①若 则;②若则;③若则的图象关于原点对称;‎ ‎④若则对于任意不等的实数,总有成立.其中所有正确命题的序号是        [来源:Zxxk.Com]‎ ‎8、对于两个正整数,定义某种运算“”如下,当都为正偶数或正奇数时, ;当中一个为正偶数,另一个为正奇数时,,则在此定义下, 集合NN中元素的个数是             .  ‎ ‎10、对于任意实数表示不超过的最大整数,例如:,。那么    ‎ ‎11、设是连续的偶函数,且当时是单调函数,则满足的所有之和为       ‎ ‎12、已知函数满足,且是偶函数, 当时,,若在区间内,函数有4个零点,则实数的取值范围是      。 ‎ ‎15、 若,则定义为曲线的线.已知,,则的线为.‎ ‎16、在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,如果函数的图象恰好通过个整点,则称函数为阶整点函数.有下列函数:①;  ②  ③   ④,‎ 其中是一阶整点函数的是(     )[来源:学_科_网Z_X_X_K]‎ A.①②③④       B.①③④      C.①④      D.④ ‎ ‎20、函数恰有两个不同的零点,则的取值范围是(    )‎ ‎       A、 B、 C、    D、 ‎ ‎26、已知函数,则(    )              ‎ ‎    A.8          B.9        C.11             D.10‎ ‎28、已知集合={1,2,3}, ={1,2,3,4,5},定义函数.若点A(1,(1))、B(2,)、C(3,),ΔABC的外接圆圆心为,且,则满足条件的函数有(      )  ‎ A.15个        B.20个        C.  25个       D. 30个 ‎29、.已知函数,在定义域[-2,2]上表示的曲线过原点,且在x=±1处的切线斜率均为.有以下命题:①是奇函数;②若在内递减,则的最大值为4;③的最大值为,最小值为,则; ④若对,恒成立,则的最大值为2.其中正确命题的个数为 ‎ A .1个            B. 2个            C .3个         D. 4个 ‎ ‎32、若函数满足,当时,,若在区间上,有两个零点,则实数的取值范围是(    )A.     B.   C.          D. ‎ ‎33、若函数有两个零点,其中,那么在两个函数值中   (    )A.只有一个小于1     B.至少有一个小于1 C.都小于1            D.可能都大于1 ‎ ‎34、若实数满足,则称是函数的一个次不动点.设函数与函数(其中为自然对数的底数)的所有次不动点之和为,则A.  B.   C.   D. ‎ ‎35、方程的解的个数为                (    )‎ ‎    A.0            B.1        C.2       D.3  ‎ ‎37、(本大题满分13分)若存在常数k和b (k、b∈R),使得函数和对其定义域上的任意实数x分别满足:和,则称直线l:为和的“隔离直线”.已知, (其中e为自然对数的底数).(1)求的极值;(2)函数和是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在,请说明理由.‎ ‎38、.(本小题满分13分)已知常数a为正实数,曲线Cn:y=在其上一点Pn(xn,yn)的切线ln总经过定点(-a,0)(n∈N*).‎ ‎(1)求证:点列:P1,P2,…,Pn在同一直线上;(2)求证: (n∈N*).‎ ‎39、(本小题满分14分)对于函数和,若存在常数,对于任意,不等式都成立,则称直线是函数的分界线. 已知函数为自然对数的底,为常数).‎ ‎(Ⅰ)讨论函数的单调性;(Ⅱ)设,试探究函数与函数是否存在“分界线”?若存在,求出分界线方程;若不存在,试说明理由.‎ ‎40、已知函数和.其中.(1)若函数与的图像的一个公共点恰好在轴上,求的值;(2)若和是方程的两根,且满足,证明:当时,.‎ ‎1、解:(1)对于函数,当时,.当或时,恒成立,故是“平底型”函数.  对于函数,当时,;当时,.所以不存在闭区间,使当时,恒成立.故不是“平底型”函数.       ‎ ‎(Ⅱ)若对一切R恒成立,则.所以.又,则.      则,解得.故实数的范围是.        [来源:Z.xx.k.Com]‎ ‎(Ⅲ)因为函数是区间上的“平底型”函数,则存在区间和常数,‎ 使得恒成立.所以恒成立,即.解得或.   当时,.当时,,当时恒成立.此时,是区间上的“平底型”函数.     当时,.当时,,当时,.‎ 此时,不是区间上的“平底型”函数.  综上分析,m=1,n=1为所求.‎ ‎2、B 3、 7、 ②③ 8、   10、264 11、2010 12、 15、 16、C 20、 D 28、B29、B ‎ ‎32、D33、  分析:因为有两个零点,所以,,故与中至少有1个小于1.‎ ‎34、B 35、C ‎ ‎37、(1)解:∵,∴当时, ∵当时,,此时函数递减;当时,,此时函数递增;∴当时,F(x)取极小值,其极小值为0.   ‎ ‎ (2)解:由(1)可知函数和的图象在处有公共点,因此若存在和的隔离直线,则该直线过这个公共点.设隔离直线的斜率为k,则直线方程为,即   由,可得当时恒成立由得   下面证明当时恒成立.令,则,         当时,.∵当时,,此时函数递增;当时,,此时函数递减; ∴当时,取极大值,其极大值为0. 从而,即恒成立. ∴函数和存在唯一的隔离直线.    ‎ ‎ 38、.证法一:(1)∵f(x)=,∴f′(x)=·(nx)′=·.(1分)Cn:y=在点Pn(xn,yn)处的切线ln的斜率kn=f′(xn)=·,∴ln的方程为y-yn=·(x-xn).(2分)‎ ‎∵ln经过点(-a,0),∴yn=-·(-a-xn)=·(a+xn).又∵Pn在曲线Cn上,∴yn==·(a+xn),‎ ‎∴xn=a,∴yn=,∴Pn(a,)总在直线x=a上,即P1,P2,…,Pn在同一直线x=a上.(4分)‎ ‎(2)由(1)可知yn=,∴f(i)===.(5分)=<=2(-)(i=1,2,…,n),‎ ‎.(9分)‎ 设函数F(x)=-ln(x+1),x∈[0,1],有F(0)=0,∴F′(x)=-==>0(x∈(0,1)),‎ ‎∴F(x)在[0,1]上为增函数,即当0F(0)=0,故当0ln(x+1)恒成立.(11分)取x=(i=1,2,3,…,n),f(i)=>ln(1+)=ln(i+1)-lni,即f(1)=>ln2,f(2)=>ln(1+)=ln3-ln2,…,f(n)=>ln(n+1)-lnn,[来源:学。科。网Z。X。X。K]‎ ‎    综上所述有 (n∈N*).(13分)‎ 证法二:(1)设切线ln的斜率为kn,由切线过点(-a,0)得切线方程为y=kn(x+a),则方程组的解为.(1分)由方程组用代入法消去y化简得kx2+(2ak-n)x+ka2=0,(*)有Δ=(2ak-n)2-4k·ka2=-4ank+n2=0,∴k=.(2分)代入方程(*),得x2+(‎2a·-n)x+·a2=0,即x2-‎2a·x+a2=0,‎ ‎∴x=a,即有xn=a,yn==,即P1,P2,…,Pn在同一直线x=a上.(4分)(2)先证:0x>ln(x+1),以下类似给分. ‎ ‎39、(本小题满分14分)‎ 解:(1), 当时,,即,‎ 函数在区间上是增函数,在区间上是减函数 当时,,函数是区间上的增函数当时,即,函数在区间上是增函数,在区间上是减函数.…7分[来源:学,科,网Z,X,X,K]‎ ‎(2)若存在,则恒成立,‎ 令,则,所以, 因此:恒成立,即恒成立,‎ 由得到:,现在只要判断是否恒成立,设,因为:,当时,,,当时,,,‎ 所以,即恒成立,所以函数与函数存在“分界线”.‎ ‎ 40、解:(1)设函数图像与轴的交点坐标为(,0),∵点(,0)也在函数的图像上,∴.而,∴.‎ ‎(2)由题意可知当时,,∴, ‎ 即:当时,即.又,当时,∴<0, ∴,综上可知,. ‎
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