2021版高考数学一轮复习核心素养测评五十六椭圆理北师大版

2021版高考数学一轮复习核心素养测评五十六椭圆理北师大版

核心素养测评五十六 椭圆 ‎(30分钟　60分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.(2019·北京高考)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则 (　　)‎ A.a2=2b2 B.3a2=4b2‎ C.a=2b D.3a=4b ‎【解析】选B.离心率平方e2===,即4(a2-b2)=a2,即3a2=4b2.‎ ‎2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为 (　　)‎ A.+=1 B.+y2=1 ‎ C.+=1 D.+=1‎ ‎【解析】选A.由已知及椭圆的定义知4a=4,即a=,又==,所以c=1,b2=2,‎ 所以C的方程为+=1.‎ ‎3.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆上一点P到两焦点距离之和为12,则椭圆短轴长为 (　　)‎ A.8　 B.6　 C.5　 D.4‎ - 13 -‎ ‎【解析】选A.椭圆+=1(a>b>0)的离心率e==,椭圆上一点P到两焦点距离之和为12,即2a=12,可得a=6,c=2,‎ 所以b===4,则椭圆短轴长为2b=8.‎ ‎4.设F1,F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点,点P在椭圆上,且|+|=2,则∠F1PF2= (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选D.若O为坐标原点,即O为F1,F2的中点,则+=2,因为|+|=2,所以|PO|=,又|OF1|=|OF2|==,所以P,F1,F2在以点O为圆心的圆上,且F1F2为直径,所以∠F1PF2=.‎ ‎5.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线交椭圆于P,Q两点,且∶|PQ|∶=2∶3∶4,则椭圆的离心率为 (　　)‎ A.　　B.　　C.　　D.‎ ‎【解析】选C.设=2,=3,=4,则=2a-2,=2a-4,(2a-2)+(2a-4)=3,得a=,则=.在△PF1Q中,由余弦定理有cos ∠QPF1==-.在△PF1F2中,由余弦定理有==,则椭圆的离心率为=.‎ - 13 -‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎6.(2020·南阳模拟)已知O为坐标原点,F为椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点,过点F且倾斜角为120°的直线与椭圆C交于第一象限一点P,若△POF为正三角形,则椭圆C的离心率为____________________. ‎ ‎【解析】因为|OF|=c,△POF为正三角形,‎ 所以|PO|=c,‎ 则点P的坐标为,‎ 故有 整理得e4-8e2+4=0,解得e2=4-2,‎ 所以e==-1.‎ 答案:-1‎ ‎7.已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点,则|PA|+|PF|的最大值为________________,最小值为________________. ‎ ‎【解析】设F1是椭圆的右焦点,则F1(2,0),所以|AF1|=,‎ 所以|PA|+|PF|=|PA|-|PF1|+6,‎ 又-|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1|(当P,A,F1共线时等号成立),‎ 所以|PA|+|PF|≤6+,|PA|+|PF|≥6-.‎ 答案:6+　6-‎ - 13 -‎ ‎8.已知F是椭圆C:+=1的右焦点,P是C上一点,A(-2,1),当△APF周长最小时,其面积为________________. ‎ ‎【解析】椭圆C:+=1的a=2,b=2,c=4,‎ 设左焦点为F′(-4,0),右焦点为F(4,0).‎ ‎△APF周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+(2a-|PF′|)‎ ‎=|AF|+|AP|-|PF′|+2a≥|AF|-|AF′|+2a,‎ 当且仅当A,P,F′三点共线,即P位于x轴上方时,三角形周长最小.‎ 此时直线AF′的方程为y=(x+4),代入x2+5y2=20中,可求得P(0,2),故S△APF=‎ S△PF′F-S△AF′F=×2×8-×1×8=4.‎ 答案:4‎ 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎9.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,且椭圆C经过点(2,).‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程.‎ ‎(2)过点P(2,1)作直线l与该椭圆相交于A,B两点,若线段AB恰被点P所平分,求直线l的方程.‎ ‎【解析】(1)由题意得解得a2=8,b2=6,所以椭圆C的方程为+=1.‎ - 13 -‎ ‎(2)由题意点P在椭圆内部,设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减,‎ 得+=0,AB的中点为P(2,1),所以x1+x2=4,y1+y2=2,代入上式得+=0,得kAB==-.‎ 所以直线l的方程为y-1=-(x-2),即3x+2y-8=0.‎ ‎10.若A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆E:+y2=1上位于x轴上方两点,且x1+x2=2. ‎ ‎(1)若y1+y2=1,求线段AB的垂直平分线的方程.‎ ‎(2)求直线AB在y轴上截距的最小值.‎ ‎【解析】(1)设AB的中点为M,则M1,,‎ 由得+(y1-y2)(y1+y2)=0,‎ 所以 (x1-x2)+(y1-y2)=0⇒=-,‎ 即kAB=-,所以线段AB的垂直平分线的斜率为,所以线段AB的垂直平分线的方程为y-=(x-1),即9x-2y-8=0.‎ ‎(2)由题意知AB斜率存在,设直线AB:y=kx+m.‎ - 13 -‎ 由得(1+9k2)x2+18kmx+9m2-9=0,‎ x1+x2=-=2,即9k2+9km+1=0,①‎ 因为A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆E:+y2=1上位于x轴上方两点,所以k<0,m>0,②‎ Δ=(18km)2-4(1+9k2)(9m2-9)>0,即9k2-m2+1>0,③‎ 结合①②得m=(-k)+ ≥,当且仅当k=-时,取等号,此时,k=-,m=满足③.所以直线AB在y轴上截距的最小值为.‎ ‎(15分钟　35分)‎ ‎1.(5分)(2020·济南模拟)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 (　　)‎ A.-=1 B.+=1‎ C.-=1 D.+=1‎ ‎【解析】选D.设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16>8=|C1C2|,所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,故所求的轨迹方程为+=1.‎ ‎【变式备选】‎ 已知椭圆C:+=1,M,N是坐标平面内的两点,且M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=(　　)‎ A.4　 B.8　 C.12　 D.16‎ - 13 -‎ ‎【解析】选B.‎ 设MN的中点为D,椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,如图,连接DF1,DF2,因为F1是MA的中点,D是MN的中点,所以F1D是△MAN的中位线,则|DF1|=|AN|,‎ 同理|DF2|=|BN|,所以|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|),因为D在椭圆上,所以根据椭圆的定义知|DF1|+|DF2|=4,所以|AN|+|BN|=8.‎ ‎2.(5分)(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为 (　　)‎ A.+y2=1 B.+=1‎ C.+=1 D.+=1‎ ‎【解析】选B.如图,由已知可设=n,则=2n,==3n,由椭圆的定义有2a=+=4n,所以=2a-=2n.在△AF1B中,由余弦定理推论得cos∠F1AB==.‎ 在△AF1F2中,由余弦定理得4n2+4n2-2·2n·2n·=4,解得n=.‎ - 13 -‎ 所以2a=4n=2,所以a=,所以b2=a2-c2=3-1=2,所以所求椭圆方程为+=1.‎ ‎【变式备选】‎ 已知点A,B分别为椭圆C:+=1的右顶点和上顶点,点P在椭圆C上,则使 ‎△PAB为等腰三角形的点P的个数是 (　　)‎ A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5‎ ‎【解析】选C.由题意知A(5,0),B(0,3).‎ 当△PAB以∠APB为顶角时,显然AB中垂线与椭圆有两个交点,即点P有两个;‎ 当△PAB以∠ABP为顶角时,|AB|=,‎ 设P(x,y),|PB|==,且+=1,解得y=0或y=-(舍去),此时P有一个;‎ 当△PAB以∠PAB为顶角时,|PA|==,且+=1,解得x=0或x=(舍去),此时P有一个.‎ 综上,点P有4个.‎ ‎3.(5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是________________. ‎ ‎【解题指南】利用kBF·kCF=-1计算得出离心率的值.‎ ‎【解析】将直线y=与椭圆的方程联立得 - 13 -‎ B,C,F(c,0),‎ 则kBF=,kCF=,因为∠BFC=90°,所以kBF·kCF=×=-1,‎ 整理得b2=3a2-4c2,所以a2-c2=3a2-4c2,‎ 即3c2=2a2⇒e==.‎ 答案:‎ ‎4.(10分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点M(2,1)在椭圆C上.‎ ‎(1)求椭圆C的方程.‎ ‎(2)直线l平行于OM,且与椭圆C交于A,B两个不同的点.若∠AOB为钝角,求直线l在y轴上的截距m的取值范围.‎ ‎【解析】(1)依题意有解得所以所求椭圆C的方程为+=1.‎ - 13 -‎ ‎(2)由直线l平行于OM,得直线l的斜率k=kOM=,又l在y轴上的截距为m,所以l的方程为y=x+m.由得x2+2mx+2m2-4=0.因为直线l与椭圆C交于A,B两个不同的点,所以Δ=(2m)2-4(2m2-4)>0,解得-2b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N. ‎ ‎(1)求椭圆C的方程.‎ ‎(2)当△AMN的面积为时,求k的值.‎ ‎【解析】(1)由已知得b=,‎ 所以椭圆C的方程为+=1.‎ - 13 -‎ ‎(2)‎ 由得 ‎(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.‎ 设点M(x1,y1),N(x2,y2),则y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),‎ x1+x2=,x1x2=,‎ 所以|MN|=‎ ‎=‎ ‎=,又因为点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离d=,‎ 所以△AMN的面积为S=|MN|·d=‎ ‎,由=,解得k=±1,所以所求k的值为±1.‎ ‎【一题多解】(2)(画出草图,观察发现直线y=k(x-1)过定点P(1,0),△AMN被x轴分成上下两部分,‎ S△AMN=S△AMP+S△ANP - 13 -‎ ‎=|AP||yM|+|AP||yN| =|AP||yM-yN|.‎ 设点M(x1,y1),N(x2,y2),‎ 由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0,‎ 因为直线y=k(x-1)过椭圆内的定点P(1,0),‎ 所以Δ>0,x1+x2=,x1x2=,‎ 所以S△AMN=|AP||y1-y2|=|k||x1-x2| ‎ ‎=|k|=,‎ 由=,解得k=±1,‎ 所以所求k的值为±1.‎ ‎1.设点P为椭圆C:+=1上一点,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,且△PF1F2的重心为点G,若|PF1|∶|PF2|=3∶4,则△GPF1的面积为 (　　)‎ A.24　 B.12　 C.8　 D.6‎ ‎【解析】选C.因为点P为椭圆C上一点,|PF1|∶|PF2|=3∶4,|PF1|+|PF2|=2a=14,所以|PF1|=6,|PF2|=8,又因为|F1F2|=2c=10,所以△PF1F2是直角三角形,=×|PF1|·|PF2|=24,因为△PF1F2的重心为点G,所以=3,所以△GPF1的面积为8.‎ - 13 -‎ ‎2.以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点且与直线x-y+3=0有公共点的椭圆中,离心率最大的椭圆方程是 (　　)‎ A.+=1 B.+=1‎ C.+=1 D.+=1‎ ‎【解析】选C.由题意知,c=1,a2-b2=1,故可设椭圆的方程为+=1,离心率的平方为①,‎ 因为直线x-y+3=0与椭圆有公共点,将直线方程代入椭圆方程得(2b2+1)x2+6(b2+1)x+8b2+9-b4=0,‎ 由Δ=36(b4+2b2+1)-4(2b2+1)(8b2+9-b4)≥0,所以b4-3b2-4≥0,解得b2≥4,所以b2的最小值为4,所以①的最大值为,此时a2=b2+1=5,所以离心率最大的椭圆方程为+=1.‎ - 13 -‎