【数学】2019届一轮复习人教A版分段函数恒成立问题学案（文）

【数学】2019届一轮复习人教A版分段函数恒成立问题学案（文）

母题十四 分段函数恒成立问题 ‎【母题原题1】【2018天津，文14】‎ 已知，函数若对任意恒成立，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果．‎ 试题解析：分类讨论：①当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，‎ 综合①②可得的取值范围是．‎ ‎【名师点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：（1）恒成立；（2）恒成立．有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．‎ ‎【母题原题2】【2017天津，文8】‎ 已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是 （ ）‎ ‎（A）（B）（C）（D） ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】满足题意时的图象恒不在函数下方，当时，函数图象如图所示，排除C，D选项；‎ 当时，函数图象如图所示，排除B选项， ， ‎ 故选A选项．‎ ‎【母题原题3】【2016天津，文14】‎ 已知函数在R上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是_________．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】由函数在R上单调递减得，又方程 恰有两个不相等的实数解，，的取值范围是．‎ ‎【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ ‎【命题意图】 高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点之间的等价转化思想和数形结合思想．学 ‎ ‎【命题规律】 高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一种是找函数零点个数；一种是判断零点的范围．重点对该部分内容的考查仍将以能力考查为主，运用导数来研究函数零点，这是备考中应该注意的方面． 学 ‎ ‎【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下三步：‎ 第一步：利用赋值法，明确函数性质 有效化简f(x＋2)＝f(x)－f（1），须从求解f（1）入手，故采用赋值法令x＝－1，进而明确函数使周期为2的周期函数，再利用函数为偶函数，得到其图象关于直线x＝1对称；‎ 第二步：借助函数性质，确定函数解析式 借助函数的周期性和对称性得到函数f(x)在[0，1 上的解析式，在根据已知，明确函数在一个周期之内[0，2 的函数解析式；‎ 第三步：数形结合架起桥梁，求解范围 通过 y＝f(x)－loga(x＋1)转化为f(x)=loga(x＋1)，问题转化为两个函数y＝f(x)与y＝loga(x＋1)的图象交点问题，画出并分析两个函数图象的位置关系，保证至少三个交点得到不等关系，进而求解参数范围．‎ ‎【方法总结】‎ ‎1．判断函数零点个数的常见方法 ‎（1）直接法：解方程f(x)＝0，方程有几个解，函数f(x)就有几个零点；‎ ‎（2）图象法：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数；‎ ‎（3）将函数f(x)拆成两个常见函数h(x)和g(x)的差，从而f(x)＝0⇔h(x)－g(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数即为函数y＝h(x)与函数y＝g(x)的图象的交点个数；‎ ‎(4)二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式Δ来判断．‎ ‎2．判断函数在某个区间上是否存在零点的方法 ‎（1）解方程，当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上．‎ ‎（2）利用零点存在性定理进行判断； ‎ ‎（3）画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．‎ ‎3．已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法 学 / ‎ ‎（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；‎ ‎（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ ‎2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用 ‎（1）函数的零点：‎ 工具：零点存在性定理 ‎ 作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内．‎ 缺点：方法单一，只能判定零点存在而无法判断个数，且能否得到结论与代入的特殊值有关 学 ‎ ‎（2）方程的根：‎ 工具：方程的等价变形 作用：当所给函数不易于分析性质和图像时，可将函数转化为方程，从而利用等式的性质可对方程进行变形，构造出便于分析的函数 缺点：能够直接求解的方程种类较少，很多转化后的方程无法用传统方法求出根，也无法判断根的个数 ‎（3）两函数的交点：‎ 工具：数形结合 作用：前两个主要是代数运算与变形，而将方程转化为函数交点，是将抽象的代数运算转变为图形特征，是数形结合的体现．通过图像可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）或者确定参数的取值范围．‎ 缺点：数形结合能否解题，一方面受制于利用方程所构造的函数（故当方程含参时，通常进行参变分离，其目的在于若含的函数可作出图像，那么因为另外一个只含参数的图像为直线，所以便于观察），另一方面取决于作图的精确度，所以会涉及到一个构造函数的技巧，以及作图时速度与精度的平衡．‎ 在高中阶段主要考察三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理，（2）二次方程根分布问题，（3）数形结合解决根的个数问题或求参数的值．其中第（3）个类型常要用到函数零点，方程，与图像交点的转化，请通过例题体会如何利用方程构造出函数，进而通过图像解决问题的．‎ ‎3、双变量函数方程的赋值方法： ， ， ‎ ‎（1）对均赋特殊值，以得到某些点的函数值，其中有些函数值会对性质的推导起到关键作用，比如，在赋特殊值的过程中要注意所赋的值要符合函数定义域．‎ ‎（2）其中某一个变量不变，另一个赋特殊值，可得到单变量的恒等式，通常用于推断函数的性质 ‎4、常见函数所符合的函数方程：在填空选择题时可作为特殊的例子辅助处理，但是在解答题中不能用这些特殊的函数代表函数方程 学 ‎ ‎（1）： ‎ ‎（2）： ‎ ‎（3）① 当时，： ‎ ‎ ②当时，：‎ 学 ‎ ‎1．【2018天津河东区二模】已知函数满足，当时，，若在区间上方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D 动直线过定点，当再过时，斜率，‎ 由图象可知当时，两图象有两个不同的交点，‎ 从而有两个不同的零点，故选D．‎ ‎【名师点睛】该题考查的是有关函数零点个数的问题，在解题的过程中，需要先确定函数的解析式，之后在同一个坐标系内画出相应的曲线，将函数的零点个数转化为曲线的交点个数来解决，非常直观，在做题的时候，需要把握动直线中的定因素．‎ ‎2．【2018天津市十二校二模】已知定义在上的函数则下列说法中正确的个数有（ ）‎ ‎①关于的方程有个不同的零点；‎ ‎②对于实数，不等式恒成立；‎ ‎③在上，方程有个零点；‎ ‎④当时，函数的图象与轴围成的面积为．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎②‎ 由不等式等价为，在恒成立，作出函数图象如图，由图可知函数图象总在的图象上方，所以不等式恒成立，故②正确；‎ ‎③‎ ‎【名师点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函数的、函数的图象与性质，以及函数的零点与不等式恒成立问题，属于难题．这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题．‎ ‎3．【2018天津滨海新区七校联考】已知函数，若存在，使得关于的函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得， ，因为，所以函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，在区间单调递增，而函数 有三个不同的零点，所以 ‎ ，所以 ，填．‎ ‎【名师点睛】绝对值函数常用的两种方法，一是分段讨论写成分段函数，二是数形结合，本题由于参数有范围，所以函数图像确定，由图像可得函数零点问题．学 ‎ ‎4．【2018天津一中月考二】已知函数当时， ，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎5．【2108安徽培优联盟】设函数，，若对任意实数，恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意，分别以和讨论，分类参数求最值，即可求解实数的取值范围．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查了分段函数的应用，同时涉及到函数的单调性和不等式的恒成立问题的求解和运用，着重考查了不等式恒成立的分离参数思想和最值的转化思想的应用，试题属于中档试题．‎ ‎6．【2018安徽宿州三模】已知函数为上的偶函数，且满足，当时，．下列四个命题：‎ ‎：；‎ ‎：2是函数的一个周期；‎ ‎：函数在上单调递增；‎ ‎：函数的增区间，‎ 其中真命题为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意首先确定函数f(x)的性质，然后逐一分析所给的命题即可求得最终结果．‎ 详解：中，令可得：，‎ 据此可得：，命题正确；‎ 由题意可知：，则函数的周期为，‎ 则函数的一个周期为8，命题错误，‎ 由可知函数关于点中心对称，绘制函数图像如图所示：‎ 将函数图像向右平移一个单位可得函数的图像，‎ ‎【名师点睛】本题主要考查函数的周期性，函数的奇偶性，函数图象的平移变换等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．‎ ‎7．【2018浙江绍兴二模】设函数，其中表示中的最小者．下列说法错误的是 学-- / ‎ A． 函数为偶函数 B． 若时，有 C． 若时， D． 若时，‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意结合新定义的知识首先画出函数f(x)的图像，然后结合图像逐一分析所给的选项即可求得最终结果．‎ 详解：结合新定义的运算绘制函数f(x)的图像如图1中实线部分所示，‎ 观察函数图像可知函数图像关于y轴对称，则函数为偶函数，选项A的说法正确；‎ 对于选项B，‎ 若，则，此时，‎ 若，则，此时，‎ 如图2所示，观察可得，恒有，选项B的说法正确；‎ ‎【名师点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求．但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝．‎ ‎8．【2018广东揭阳二模】把函数的图象向右平移一个单位，所得图象与函数的图象关于直线对称；已知偶函数满足，当时，；若函数有五个零点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意分别确定函数f(x)的图象性质和函数h(x)图象的性质，然后数形结合得到关于 的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果．学 ‎ 详解：曲线右移一个单位，得，‎ 所以g(x)=2x，h(x-1)=h(-x-1)=h(x+1)，则函数h(x)的周期为2．‎ 当x∈[0，1 时，，y= f(x)-h(x)有五个零点，等价于函数y= f(x)与函数y=h(x)的图象有五个公共点．绘制函数图像如图所示，由图像知 f（3）<1且 f（5）>1，即：‎ ‎，求解不等式组可得：．即的取值范围是．故选C选项．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查函数图象的平移变换，函数的周期性，函数的奇偶性，数形结合解题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．‎ ‎9．【2018四川南充三诊】已知函数在定义域上是单调函数，若对于任意，都有，则的值是（ ）‎ A． 5 B． 6 C． 7 D． 8‎ ‎【答案】B ‎10．【2018浙江金华十校模拟】已知函数，对任意的实数，，，关于方程的 的解集不可能是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎11．【2018北京建华实验学校零模】已知函数满足如下条件：①任意，有成立；②当时， ；③任意，有成立．则实数的取值范围是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】， 是奇函数．‎ 当时， ，显然符合题意；学 ； ‎ 当时， 在上的解析式为：‎ 作出的函数图象如图所示 任意，有成立，，解得，故选．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查的知识点是函数的图象及其应用．化简在上的解析式，然后根据的奇偶性作出函数的图象，根据条件得出不等式解出即可得到答案，考查了学生数形结合的思想，也是解题的关键．‎ ‎12．【2018江西九校届高三联考】若函数， 对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的假周期，函数是上的级假周期函数，若函数是定义在区间内的3级假周期且，当 函数，若， 使成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，对于函数f（x），当x∈[0，2）时， ，‎ 分析可得：当0≤x≤1时，f（x）=﹣2x2，有最大值f（0）=，最小值f（1）=﹣，‎ 当1＜x＜2时，f（x）=f（2﹣x），函数f（x）的图象关于直线x=1对称，则此时有﹣＜f（x）＜，又由函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的3级类周期函数，且T=2；‎ 则在∈[6，8）上，f（x）=33•f（x﹣6），则有﹣≤f（x）≤，则f（8）=27 f（2）=27 f（0）=，‎ 则函数f（x）在区间[6，8 上的最大值为，最小值为﹣；‎ 必有g（x）min≤f（x）max，即+m≤，得到m范围为．故选B．‎ ‎【名师点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：‎ ‎（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；‎ ‎（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；‎ ‎（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）．‎ ‎13．【2018河北沧州模拟】若函数对任意的恒有，且当， 时， ，设， ， ，则的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数对任意的恒有，则函数关于直线对称，‎ 由对称性可得： ，‎ 当， 时， ，则函数在区间 上是增函数，‎ 据此可得： ，即．‎ 故选A选项．‎ ‎14．【2018湖北押题】对于定义在上的函数，若存在距离为的两条直线和，使得对任意的都有，则称函数有一个宽为的通道．给出下列函数：①；②；③；④．其中在区间上通道宽度为1的函数由__________ （写出所有正确的序号）．‎ ‎【答案】①②③．‎ ‎【解析】分析：对于①，求出函数的值域，判断即可；对于②，从函数图象入手，寻找符合条件的直线即可；对于③，利用导数研究函数的单调性，即可得其值域，判断即可；对于④，求出函数的值域，并根据导数的几何意义求出函数的切线方程，从而可判断．‎ 详解：对于①，，当时，，故在上有一个宽度为1的通道，两条上有一个宽度为1的通道；‎ 对于④，，，与之间的距离为，又因为，则为增函数，设的切点为，则，解得，则与平行的切线为：，即，，因为与相切，故不存在两条直线．‎ 故答案为①②③．‎ ‎【名师点睛】本题考查的重点是对新定义的理解，解题的关键是正确理解“新定义”，主要是能将“新问题”转化为“老问题”、用“老方法”解决问题，本题通过研究函数的性质，找出满足题意的直线，结合导数的知识进行求解．‎ ‎15．【2018浙江腾远模拟】已知函数，函数．若对任意的，都存在，使得成立，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由题意，若对任意的，都存在，使得成立，即有成立，利用二次函数的性质和绝对值不等式，分别求解函数和的最小值，得到不等式，即可求解．‎ 详解：因为函数，所以，‎ 所以，解得，即的取值范围是．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查了函数性质的综合应用，以及利用含有量词的命题求参数的取值范围问题，其中解答中，把对任意的，都存在，使得成立，即有成立是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及分析问题和解答问题的能力．学/ -+ ‎ ‎16．【2018峨眉山第七教育发展联盟】对于函数，若其定义域内存在两个不同的实数， 使得 成立，则称函数具有性质，若函数具有性质，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】．‎ 令 ，则，令，得 ，所以列出函数及其导数的表格如下所示：‎ ‎-1‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递减 极小值 单调递增 根据表格，画出如下图所示的函数图像 ‎ ‎ 由图像可知， 在R上有个两个不等实数根 即 与的图像有两个不同交点，由极小值 可知 当有两个交点时， 的取值范围为．‎ ‎【名师点睛】本题考查了函数与导数的综合应用，分离参数、构造函数、利用单调性与极值画出函数图像，进而分析取值范围，涉及知识点多、综合性强，是函数的常考点．‎ ‎17．【2018浙江金华十校模拟】若对任意的，存在实数，使 恒成立，则实数的最大值为__________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】若对任意的， 恒成立，可得：‎ 恒成立，‎ 令，，‎ 原问题等价于存在实数满足：，‎ 故，解得：，则此时；‎ ‎（3）当时，，‎ 而，学 ‎ 当时，，‎ 原问题等价于存在实数满足：，‎ 故，解得：，则此时；‎ 当时，，‎ 原问题等价于存在实数满足：，‎ 故，解得：，则此时；‎ 综上可得：实数的最大值为．‎ ‎【名师点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：‎ ‎（1）a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；‎ ‎（2）a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min．‎ ‎18．【2018上海嘉定模拟】已知函数和同时满足以下两个条件：‎ ‎（1）对于任意实数，都有或；‎ ‎（2）总存在，使成立．‎ 则实数的取值范围是 __________．‎ ‎【答案】‎ ‎【名师点睛】本题主要考查了二次函数以及其性质，还考查了不等式的存在性和恒成立的问题．注意对的讨论，可分为， ，结合二次函数的图象和性质，以及二次不等式的解法即可得到实数的取值范围．‎ ‎19．【2018江西高安中学期中考】若定义在R上的函数f(x)对任意两个不等的实数都有，则称函数f(x)为“ 函数”．给出下列四个函数：‎ ‎①y=－x3+1，②y=2x，③，④，‎ 其中“ 函数”对应的序号为________________．‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】分析：由题意首先将新定义转化为函数单调性的问题，然后结合函数的解析式逐一考查所给函数 函数不具有单调性；‎ 绘制函数的图象如图所示，观察可得函数单调递增，满足题意．‎ 综上可得，“ 函数”对应的序号为②④．学 ‎ ‎【名师点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求．但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝．‎ ‎20．【2018四川棠湖模拟】若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有； ②对于定义域上的任意，当时，恒有；则称函数为“理想函数”．下列四个函数中：① ；② ； ③；④ ，能被称为“理想函数”的有_____（填相应的序号）．‎ ‎【答案】④‎ ‎【解析】 由题意，性质①反映了函数为定义域上的奇函数，性质②反映了函数为定义域上的单调递减函数，‎ ‎ ①中，函数为定义域上的奇函数，但不是定义域上的单调减函数，所以不正确；‎ ‎【名师点睛】本题主要考查了抽象函数的表达式反映的函数的基本性质，对新定义的函数理解能力，其中对于函数的奇偶性、函数的单调性的定义是基本初等函数的单调性和奇偶性的主要判定方法，同时对于分段函数的单调性和奇偶性可以利用数形结合的方法加以判定，考查了分析问题和解答问题的能力．‎