陕西省汉中市2020届高三上学期教学质量第一次检测考试数学（理）试题

陕西省汉中市2020届高三上学期教学质量第一次检测考试数学（理）试题

汉中市2020届高三年级教学质量第一次检测考试 理科数学 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，则　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式可得集合B，利用交集定义求解即可.‎ ‎【详解】集合，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的表示及集合的交集运算，属于基础题.‎ ‎2.若（是虚数单位），则的共轭复数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数除法法则计算出，再由共轭复数概念写出共轭复数．‎ ‎【详解】，∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题．‎ ‎3.已知向量，满足，，则（ ）‎ A. 4 B. ‎3 ‎C. 2 D. 0‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量数量积的运算法则计算．‎ ‎【详解】．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算法则，属于基础题．‎ ‎4.已知，则的值为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据诱导公式可化简已知条件得，再利用二倍角的正切公式求得结果.‎ ‎【详解】由题意得： ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查利用二倍角的正切公式求值问题，关键是能够利用诱导公式化简已知条件，得到正切值.‎ ‎5.函数的图象可能是（ ）.‎ A. B. C. ‎ ‎ D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先判断函数奇偶性，排除选项，再根据特殊区间时，判断选项.‎ ‎【详解】是偶函数，是奇函数，是奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A,B ‎ ，当时，，‎ ‎，排除C.‎ 故选D .‎ ‎【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图象，一般从函数的定义域确定函数的位置，从函数的值域确定图象的上下位置，也可判断函数的奇偶性，排除图象，或是根据函数的单调性，特征值，以及函数值的正负，是否有极值点等函数性质判断选项.‎ ‎6.在二项式的展开式中，的系数为（　　）‎ A. ﹣80 B. ﹣‎40 ‎C. 40 D. 80‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项展开式的通项，可得，令，即可求得的系数，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，二项式的展开式的通项为，‎ 令，可得，‎ 即展开式中的系数为，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎7.我国北方某地区长期受到沙尘暴的困扰．2019年，为响应党中央提出的“防治土地荒漠化 助力脱贫攻坚战”的号召，当地政府积极行动，计划实现本地区的荒漠化土地面积每年平均比上年减少10％．已知2019年该地区原有荒漠化土地面积为7万平方公里，则2025年该地区的荒漠化土地面积（万平方公里）为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 得出n年后的沙漠化土地面积y关于n的函数，从而得出答案．‎ ‎【详解】设从2019年后的第n年的沙漠化土地面积为y，‎ 则y＝7×（1﹣10%）n，‎ 故2025年的沙漠化土地面积为7×0.96．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了指数增长模型的应用，属于基础题．‎ ‎8.已知函数的部分图像如图所示，为了得到的图象，可将的图象（ ）‎ A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的图象求得的值，再利用左加右减的平移原则，得到向右平移个单位得的图象.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以.‎ 因为，‎ 所以，即，‎ 因为，所以，‎ 所以.‎ 所以，‎ 所以的图象向右平移个单位 可得的图象.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的图象提取信息求的值、图象平移问题，考查数形结合思想的应用，求解时注意是由哪个函数平移到哪个函数，同时注意左右平移是针对自变量而言的.‎ ‎9. 甲乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1,2,3}，若|a－b| ≤ 1，则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：从1，2，3三个数中任取两个则|a-b|≤1的情况有1，1；2，2；3，3；1，2；2，1；2，3；3，2；共7种情况，甲乙出现的结果共有3×3=9，故出他们”心有灵犀”的概率为.‎ 考点：主要考查了组合及古典概型的概率问题.‎ 点评：P（A）=，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目．m表示事件A包含的试验基本结果数．‎ ‎10.若双曲线的一条渐近线被曲线所截得的弦长为2．则双曲线C的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出双曲线渐近线方程，再根据弦长求出，再求双曲线C的离心率得解.‎ ‎【详解】双曲线的渐近线方程为，‎ 由对称性，不妨取，即．‎ 又曲线化为，‎ 则其圆心的坐标为，半径为．‎ 由题得，圆心到直线的距离，‎ 又由点到直线的距离公式．可得．‎ 解得，所以．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查直线和圆的位置关系和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.‎ ‎11.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意女子每天织布数成等差数列，且，由于，且．所以，应选答案B．‎ ‎12.定义在上的函数的图象是连续不断的曲线，且，当时，恒成立，则下列判断一定正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，判断为偶函数，且在上单调递增，再计算函数值比较大小得到答案.‎ ‎【详解】构造函数，因为，所以 则，所以偶数 当时，，所以在上单调递增，‎ 所以有，则，即，即 故选 ‎【点睛】本题考查了函数的综合应用，构造函数判断其奇偶性和单调性是解题的关键.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.直线是曲线的一条切线，则实数 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 本小题考查导数的几何意义、切线的求法．，令得，故切点为，代入直线方程，得，所以．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎14.在△ABC中，若b = 1，c =，，则a = ‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由正弦定理可得,即 ‎ ‎,故,, . 再由 可得,解得 . 故答案为 1.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎15.圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积为________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依据展开图与圆锥的对应关系列方程解出圆锥的底面半径和母线长，求出圆锥的高，得出体积．‎ ‎【详解】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，则，解得，．‎ 圆锥的高．圆锥的体积．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图，圆锥的结构特征，圆锥的体积计算，属于基础题．‎ ‎16.已知圆关于直线对称，则 的最小值为________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得圆心在直线上，故有，即，再利用基本不等式求得的最大值．‎ ‎【详解】解：因为圆关于直线对称；‎ 所以圆心在直线上，故有，即；‎ 所以：；‎ ‎（当且仅当时等号成立）‎ 的最小值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.已知数列是公比为2的等比数列，且成等差数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式； ‎ ‎（2）记，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意根据等差中项的性质可得，从而求出，，由此能求出数列的通项公式．‎ ‎（2）推导出，由此利用等差数列前项和公式求出数列的前项和．‎ ‎【详解】（1）∵成等差数列，且数列是公比为2的等比数列，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 解得：，∴．‎ ‎∴数列的通项公式为；‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前项和的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．‎ ‎18.为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组.该年级理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.现按男、女用分层抽样从理科生中抽取6人，按男、女分层抽样从文科生中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.‎ ‎（1）设事件为“选出的这4个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有”，求事件发生的概率；‎ ‎（2）用表示抽取的4人中文科女生的人数，求的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）按分层抽样得抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人，再利用古典概型求解即可（2）由超几何分布求解即可 ‎【详解】（1）因为学生总数为1000人，该年级分文、理科按男女用分层抽样抽取10人，则抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人.‎ 所以.‎ ‎（2）的可能取值为0,1,2,3，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查分层抽样，考查超几何分布及期望，考查运算求解能力，是基础题 ‎19.如图，在底面为矩形的四棱锥中，平面平面.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，，设为中点，求直线与平面所成角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由平面平面可得面，从而可得；‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，求出向量及面法向量，代入公式即可得到结果.‎ ‎【详解】（1）依题意，面面，，‎ ‎∵面，面面，‎ ‎∴面 又面，‎ ‎∴.‎ ‎（2）解法一：向量法 在中，取中点，∵，‎ ‎∴，∴面，‎ 以为坐标原点，分别以为轴，过点且平行于的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图空间直角坐标系，‎ 设，∵，∴，‎ ‎∴，，，，，‎ ‎∴，，.‎ 设面法向量为，‎ 则，解得.‎ 设直线与平面所成角为，‎ 则，‎ 因为，∴.‎ 所以直线与平面所成角的余弦值为.‎ ‎（2）解法二：几何法 过作交于点，则为中点，‎ 过作的平行线，过作的平行线，交点为，连结，‎ 过作交于点，连结，‎ 连结，取中点，连结，，‎ 四边形为矩形，所以面，所以，‎ 又，所以面，‎ 所以为线与面所成的角.‎ 令，则，，，‎ 由同一个三角形面积相等可得，‎ 为直角三角形，由勾股定理可得，‎ 所以，‎ 又因为为锐角，所以，‎ 所以直线与平面所成角的余弦值为.‎ ‎【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.‎ ‎20.已知函数，. ‎ ‎（Ⅰ）求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）若实数为整数，且对任意的时，都有恒成立，求实数的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）极大值为，无极小值；（Ⅱ）1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的符号讨论原函数的单调性，从而可确定函数的极值；‎ ‎(Ⅱ)结合题意分离参数，然后构造新函数，研究构造的函数，结合零点存在定理找到隐零点的范围，最后利用函数值的范围即可确定整数m的最小值.‎ ‎【详解】(Ⅰ)设，‎ ‎∴，‎ 令，则；，则；‎ ‎∴在上单调递增，上单调递减，‎ ‎∴，无极小值.‎ ‎(Ⅱ)由，即在上恒成立，‎ ‎∴在上恒成立，‎ 设，则，‎ 显然，‎ 设，则，故在上单调递减 由，，‎ 由零点定理得，使得，即 且时，，则，‎ 时，. 则 ‎∴在上单调递增，在上单调递减 ‎∴，‎ 又由，，则 ‎∴由恒成立，且为整数，可得的最小值为1.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性，隐零点问题及其处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎21.已知双曲线的焦点是椭圆：的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设动点，在椭圆上，且，记直线在轴上的截距为，求 的最大值.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）双曲线的焦点为，离心率为，对于椭圆来说，，由此求得和椭圆的方程.（II）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，利用判别式求得的一个不等关系，利用韦达定理和弦长公式，求得一个等量关系，利用表示，进而用基本不等式求得的最大值.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）双曲线的焦点坐标为，离心率为.‎ 因为双曲线的焦点是椭圆：（）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以，且，解得.‎ 故椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）因为，所以直线的斜率存在.‎ 因为直线在轴上的截距为，所以可设直线的方程为.‎ 代入椭圆方程得 .‎ 因为 ，‎ 所以.‎ 设，，‎ 根据根与系数的关系得，.‎ 则 .‎ 因为，即 .‎ 整理得.‎ 令，则.‎ 所以 .‎ 等号成立的条件是，此时，满足，符合题意.‎ 故的最大值为.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求和的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点，直线交曲线于两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）:,:（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）消去得到直线方程，再利用极坐标公式化简得到答案.‎ ‎（2）将直线的参数方程代入，化简得到，利用韦达定理计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）直线的参数方程为（其中为参数），消去可得；‎ 由，得，则曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）将直线的参数方程代入，得，‎ 设对应的参数分别为，则，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了直线的参数方程，极坐标，利用直线的参数方程的几何意义可以快速得到答案，是解题的关键.‎ ‎【选修4-5：不等式选讲】‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集包含，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）函数化简为分段函数分别解不等式得到答案.‎ ‎（2）题目等价于当时不等式恒成立，得到不等式，求的最小值得到答案.‎ ‎【详解】（1），由，解得，‎ 故不等式的解集是；‎ ‎（2）的解集包含，即当时不等式恒成立，‎ 当时，，，即，‎ 因为，所以，‎ 令，，易知在上单调递增，‎ 所以的最小值为，因此，即的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式，将题目等价于当时不等式恒成立是解题的关键.‎ ‎ ‎