2018届二轮复习命题及其关系充分条件与必要条件课件理（全国通用）

2018届二轮复习命题及其关系充分条件与必要条件课件理（全国通用）

第二节　 命题及其关系、充分条件与必要条件 【 知识梳理 】 1. 命题的定义 用语言、符号或式子表达的 , 可以 _________ 的陈述句 叫做命题 . 其中 _________ 的语句叫做真命题 ,_________ 的语句叫做假命题 . 判断真假 判断为真 判断为假 2. 四种命题 (1) 四种命题及其相互关系 : (2) 互为逆否命题的真假判断 : 互为逆否的两个命题同 ___ 或同 ___. 真 假 3. 充分条件与必要条件的判断 若 p⇒q , 则 p 是 q 的 _____ 条件 ,q 是 p 的 _____ 条件 p 是 q 的 ___________ 条件 p⇒q 且 q p p 是 q 的 ___________ 条件 p q 且 q⇒p p 是 q 的 _____ 条件 p⇔q p 是 q 的 _________________ 条件 p q 且 q p 充分 必要 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 【 特别提醒 】 1. 充分条件、必要条件与集合的关系 p 成立的对象构成的集合为 A, q 成立的对象构成的集合为 B p 是 q 的充分条件 A⊆B p 是 q 的必要条件 B⊆A p 是 q 的充分不必要条件 A B p 是 q 的必要不充分条件 B A p 是 q 的充要条件 A=B 2. 互为逆否命题关系的运用 p 是 q 的充分不必要条件 , 等价于 ¬q 是 ¬p 的充分不必要条件 . 【 小题快练 】 链接教材　练一练 1.( 选修 2-1P10 练习 T3(2) 改编 )“(x-1)(x+2)=0” 是“ x=1” 的　 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【 解析 】 选 B. 若 x=1, 则 (x-1)(x+2)=0 显然成立 , 但反之不成立 , 即若 (x-1)(x+2)=0, 则 x 的值也可能为 -2. 2.( 选修 2-1P8 习题 1.1A 组 T2(1) 改编 ) 命题“若 a,b 都是奇数 , 则 a+b 是偶数”的逆否命题为 　　　　 . 【 解析 】 “a,b 都是奇数”的否定为“ a,b 不都是奇数” ,“a+b 是偶数”的否定为“ a+b 不是偶数” , 故其逆否命题为“若 a+b 不是偶数 , 则 a,b 不都是奇数” . 答案 : 若 a+b 不是偶数 , 则 a,b 不都是奇数 感悟考题　试一试 3.(2015· 湖南高考 ) 设 A,B 是两个集合 , 则“ A∩B=A” 是“ A⊆B” 的　 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件　 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【 解析 】 选 C. 由题意得 ,A∩B=A⇒A⊆B, 反之 ,A⊆B⇒ A∩B=A, 故为充要条件 . 4.(2015· 浙江高考 ) 设 a,b 是实数 , 则“ a+b >0” 是“ ab >0” 的　 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件　 D. 既不充分也不必要条件 【 解析 】 选 D. 当 a=3,b=-1 时 ,a+b >0, 但 ab <0, 故不是充分条件 ; 当 a=-3,b=-1 时 ,ab >0, 但 a+b <0, 故不是必要条件 . 所以“ a+b >0” 是“ ab >0” 的既不充分也不必要条件 . 5.(2016· 焦作模拟 ) 已知命题 α: 如果 x<3, 那么 x<5; 命题 β: 如果 x≥3, 那么 x≥5; 命题 γ: 如果 x≥5, 那么 x≥3. 关于这三个命题之间的关系 . 下列三种说法正确 的是　 ( 　　 ) ① 命题 α 是命题 β 的否命题 , 且命题 γ 是命题 β 的逆 命题 ; ②命题 α 是命题 β 的逆命题 , 且命题 γ 是命题 β 的否命题 ; ③ 命题 β 是命题 α 的否命题 , 且命题 γ 是命题 α 的逆否命题 . A.①③ 　　　 B.② C.②③ 　　　 D.①②③ 【 解析 】 选 A. 本题考查命题的四种形式 , 逆命题是把原命题中的条件和结论互换 , 否命题是把原命题的条件和结论都加以否定 , 逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得 , 故①正确 , ② 错误 , ③ 正确 . 考向一 　四种命题及其关系 【 典例 1】 (1)(2015· 山东高考 ) 设 m∈R , 命题“若 m>0, 则方程 x 2 +x-m=0 有实根”的逆否命题是　 ( 　　 ) A. 若方程 x 2 +x-m=0 有实根 , 则 m>0 B. 若方程 x 2 +x-m=0 有实根 , 则 m≤0 C. 若方程 x 2 +x-m=0 没有实根 , 则 m>0 D. 若方程 x 2 +x-m=0 没有实根 , 则 m≤0 (2) 原命题为“若 z 1 ,z 2 互为共轭复数 , 则 |z 1 |=|z 2 |”, 关于逆命题 , 否命题 , 逆否命题真假性的判断依次如下 , 正确的是　 ( 　　 ) A. 真 , 假 , 真 B. 假 , 假 , 真 C. 真 , 真 , 假 D. 假 , 假 , 假 【 解题导引 】 (1) 原命题的逆否命题书写格式是否定结论当条件 , 否定条件当结论 . (2) 写出逆命题 , 利用原命题与逆否命题 , 逆命题与否命题等价来判断 . 【 规范解答 】 (1) 选 D.“ 方程 x 2 +x-m=0 有实根”的否定是“方程 x 2 +x-m=0 没有实根” ;“m>0” 的否定是“ m≤0”, 故命题“若 m>0, 则方程 x 2 +x-m=0 有实根”的逆否命题是“若方程 x 2 +x-m=0 没有实根 , 则 m≤0”. (2) 选 B. 由已知条件可以判断原命题为真 , 所以它的逆否命题也是真 ; 而它的逆命题为假 , 如 :z 1 =1+2i,z 2 =2+i, 显然 |z 1 |=|z 2 |, 但 z 1 与 z 2 显然不共轭 , 所以它的否命题亦为假 . 【 母题变式 】 1. 写出本例题 (1) 的否命题 . 【 解析 】 原命题的否命题是“若 m≤0, 则方程 x 2 +x-m=0 没有实根” . 2. 若本例题 (1) 的条件变为 :“ 若 m≤0”, 其他条件不变 , 试判断其逆命题的真假 . 【 解析 】 条件改变后 , 其逆命题为 :“ 若方程 x 2 +x-m=0 有实根 , 则 m≤0”. 因为若方程 x 2 +x-m=0 有实根 , 则 Δ=1+4m≥0, 所以 m≥- . 即当方程有实根时 ,m 也可能大于 0, 故其逆命题为假 . 【 规律方法 】 1. 一些常见词语及其否定 词语 是 都是 都不是 等于 大于 否定 不是 不都是 至少一个是 不等于 不大于 2. 命题真假的判断方法 (1) 联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断 . (2) 利用原命题与逆否命题 , 逆命题与否命题的等价关系进行判断 . 【 变式训练 】 给定下列命题 : ① 反比例函数 y= (k<0) 的图象是双曲线且位于第二、 四象限 ; ② 若 x+y≠8, 则 x≠2 或 y≠6; ③“ 矩形的对角线相等”的逆命题 ; ④“若 xy =0, 则 x,y 中至少有一个为 0” 的否命题 . 其中真命题的序号是 　　　　 . 【 解析 】 由反比例函数的性质可知命题①正确 ; 命题②的逆否命题是“若 x=2 且 y=6, 则 x+y =8”, 其显然正确 , 所以命题②正确 ;“ 对角线相等的四边形是矩形”显然是假命题 , 即命题③不正确 ; 因为“若 xy =0, 则 x,y 中至少有一个为 0” 的逆命题显然正确 , 由互为逆否命题的等价性知④正确 . 答案 : ①②④ 【 加固训练 】 1. 命题“若 α= , 则 tanα =1” 的逆否命题是 ( 　　 )A. 若 α≠ , 则 tanα≠1 B. 若 α= , 则 tanα≠1 C. 若 tanα≠1, 则 α≠ D. 若 tanα≠1, 则 α= 【 解析 】 选 C. 原命题的逆否命题是“若 tanα≠1, 则 α≠ ”. 2.(2016· 宜宾模拟 ) 下面是关于公差 d>0 的等差数列 {a n } 的四个命题 :p 1 : 数列 {a n } 是递增数列 ;p 2 : 数列 {na n } 是递增数列 ;p 3 : 数列 是递增数列 ; p 4 : 数列 {a n +3nd} 是递增数列 . 其中的真命题为　 ( 　　 )A.p 1 ,p 2 B.p 3 ,p 4 C.p 2 ,p 3 D.p 1 ,p 4 【 解析 】 选 D. 由题意知 p 1 显然正确 ;p 2 是假命题 , 例如 , 当 a n =n-4 时 , 数列 {na n } 中第一、二、三项分别为 -3, -4,-3, 显然它不是递增数列 ;p 3 是假命题 , 例如 , 当 a n =n 时 , =1, 即 是常数列 ; 对于 p 4 : 因为 a n+1 +3(n+1)d -(a n +3nd)=d+3d=4d>0, 所以 p 4 是真命题 . 考向二 　充分条件、必要条件的判断 【 考情快递 】 命题方向 命题视角 用定义法判断充分条件、必要条件 考查对充分条件、必要条件定义的理解和运用 , 属容易题 用集合法判断充分条件、必要条件 考查对集合法的理解和运用 , 属容易题 用等价转化法判断充分条件、必要条件 考查对四种命题的理解 , 属中档题 【 考题例析 】 命题方向 1: 用定义法判断充分条件、必要条件 【 典例 2】 (2015· 陕西高考 )“sinα=cosα ” 是 “ cos 2α=0” 的　 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【 解题导引 】 结合二倍角的余弦公式进行判断或先表示出角 α, 再判断 . 【 规范解答 】 选 A. 方法一 : 由 cos2α=0 得 cos 2 α-sin 2 α=(cosα+sinα)(cosα-sinα )=0, 得 sinα=cosα 或 sinα=-cosα . 所以 sinα=cosα⇒cos 2α=0, 即“ sinα=cosα ” 是“ cos2α=0” 的充分不必要条件 . 方法二 : 由 sinα=cosα , 得 即 α- =kπ,k∈Z,α=kπ+ ,k∈Z . 而由 cos 2α=0, 得 2α=kπ+ ,k∈Z,α= k∈Z . 所以 sinα =cosα⇒cos2α=0, 即“ sinα=cosα ” 是“ cos2α=0” 的充分不必要条件 . 命题方向 2: 用集合法判断充分条件、必要条件 【 典例 3】 (2015· 安徽高考 ) 设 p:11, 则 p 是 q 成立的　 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【 解题导引 】 利用集合法结合充分、必要条件的定义及指数不等式的求解进行判断 . 【 规范解答 】 选 A. 由 2 x >2 0 ⇒x>0, 且 {x|10} 可知 : 由 p 能推出 q, 但由 q 不能得出 p, 所以 p 是 q 成立的充分不必要条件 . 命题方向 3: 用等价转化法判断充分条件、必要条件 【 典例 4】 (2016· 银川模拟 ) 给定两个命题 p,q . 若 ¬p 是 q 的必要而不充分条件 , 则 p 是 ¬q 的　 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【 解题导引 】 利用原命题与逆否命题等价进行判断 . 【 规范解答 】 选 A. 因为 ¬p 是 q 的必要不充分条件 , 则 q⇒¬p 但 ¬p q, 其逆否命题为 p⇒¬q 但 ¬q p, 所以 p 是 ¬q 的充分不必要条件 . 【 技法感悟 】 充要条件的三种判断方法 (1) 定义法 : 根据 p⇒q,q⇒p 进行判断 . (2) 集合法 : 根据 p,q 成立对应的集合之间的包含关系进行判断 . (3) 等价转化法 : 根据一个命题与其逆否命题的等价性 , 把判断的命题转化为其逆否命题进行判断 . 这个方法特别适合以否定形式给出的问题 , 如“ xy≠1” 是“ x≠1 或 y≠1” 的何种条件 , 即可转化为判断“ x=1 且 y=1” 是“ xy =1” 的何种条件 . 【 题组通关 】 1.(2016· 肇庆模拟 ) 设条件 p:a≥0; 条件 q:a 2 +a≥0, 那么 p 是 q 的　 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【 解析 】 选 A. 因为 a 2 +a ≥ 0, 所以 a≥0,a≤-1, 可判断 : 若 p:a≥0; 则条件 q:a 2 +a≥0 成立 . 可判断 :p 是 q 的充分不必要条件 . 2.(2015· 湖北高考 ) l 1 , l 2 表示空间中的两条直线 , 若 p: l 1 , l 2 是异面直线 ,q: l 1 , l 2 不相交 , 则　 ( 　　 ) A.p 是 q 的充分条件 , 但不是 q 的必要条件 B.p 是 q 的必要条件 , 但不是 q 的充分条件 C.p 是 q 的充分必要条件 D.p 既不是 q 的充分条件 , 也不是 q 的必要条件 【 解析 】 选 A. 若 p: l 1 , l 2 是异面直线 , 由异面直线的定义知 , l 1 , l 2 不相交 , 所以命题 q: l 1 , l 2 不相交成立 , 即 p 是 q 的充分条件 , 反过来 , 若 q: l 1 , l 2 不相交 , 则 l 1 , l 2 可能平行 , 也可能异面 , 所以不能推出 l 1 , l 2 是异面直线 , 即 p 不是 q 的必要条件 . 3.(2014· 全国卷 Ⅱ) 函数 f(x ) 在 x=x 0 处导数存在 , 若 p:f′(x 0 )=0;q:x=x 0 是 f(x ) 的极值点 , 则　 ( 　　 ) A.p 是 q 的充分必要条件 B.p 是 q 的充分条件 , 但不是 q 的必要条件 C.p 是 q 的必要条件 , 但不是 q 的充分条件 D.p 既不是 q 的充分条件 , 也不是 q 的必要条件 【 解析 】 选 C. 因为若 f′(x 0 )=0, 则 x=x 0 不一定是极值点 , 所以命题 p 不是 q 的充分条件 ; 因为若 x=x 0 是极值点 , 则 f′(x 0 )=0, 所以命题 p 是 q 的必要条件 . 4.(2014· 湖北高考 ) 设 U 为全集 ,A,B 是集合 , 则“存在 集合 C 使得 A⊆C,B⊆ C” 是“ A∩B= ∅ ” 的　 ( 　　 ) A. 充分而不必要的条件 B. 必要而不充分的条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要的条件 【 解析 】 选 C. 依题意 , 若 A⊆C, 则 C⊆ A, 当 B⊆ C 时 , 可得 A∩B=∅; 若 A∩B=∅, 不妨令 C=A, 显然满足 A⊆C,B⊆ C, 故满足条件的集合 C 是存在的 . 考向三 　充分条件、必要条件的应用 【 典例 5】 (1) 使不等式 x 2 -3x<0 成立的充分而不必要条件是　 ( 　　 ) A.03 (2) 已知 p:|4-x|≤6,q:x 2 -2x+1-m 2 ≤0(m>0), 且 ¬p 是 ¬q 的必要而不充 分条件 , 则实数 m 的取值范围是 　　　　 . 【 解题导引 】 (1) 先解不等式 , 再由题意对比选取 . (2) 先求出 p,q 对应不等式的解集 , 再利用 p,q 间的关系列出关于 m 的不等式或不等式组求解 . 【 规范解答 】 (1) 选 A. 解不等式 x 2 -3x<0 得 00, 得 1-m≤x≤1+m, 则 q:Q ={x|1-m≤x≤1+m,m>0}. 由 p:|4-x|≤6, 解得 -2≤x≤10, 则 p:P ={x|-2≤x≤10}. 因为 p 是 q 的充分而不必要条件 , 则 P Q, 所以 即 m≥9 或 m>9. 故 m≥9. 答案 : m≥9 【 一题多解 】 解答本题 , 还有以下解法 : 由 q:x 2 -2x+1-m 2 ≤0,m>0, 得 1-m≤x≤1+m, 则 ¬q:A={x|x >1+m 或 x<1-m,m>0}. 由 p:|4-x|≤6, 得 -2≤x≤10, 则 ¬p:B={x|x >10 或 x<-2}. 因为 ¬p 是 ¬q 的必要而不充分条件 , 则 A B, 所以 即 m≥9 或 m>9. 故 m≥9. 【 易错警示 】 解答本例题 (1) 会出现以下错误 : 题意理解不清 , 混淆了谁是谁的充分而不必要条件 , 而误选 C. 【 规律方法 】 1. 与充分条件、必要条件有关的参数问题的求解方法 根据条件把问题转化为集合之间的关系 , 并由此列出关于参数的不等式 ( 组 ) 求解 , 要注意区间端点值的检验 . 2. 充要条件的证明方法 在解答题中证明一个论断是另一个论断的充要条件时 , 其基本方法是分“充分性”和“必要性”两个方面进行证明 . 这类试题一般有两种设置格式 . (1) 证明 :A 成立是 B 成立的充要条件 , 其中充分性是 A⇒B, 必要性是 B⇒A. (2) 证明 :A 成立的充要条件是 B, 此时的条件是 B, 故充分性是 B⇒A, 必要性是 A⇒B. 易错提醒 : 在对充分性与必要性分别进行证明的题中 , 需要分清命题的条件和结论 . 【 变式训练 】 已知 a+b≠0, 证明 a 2 +b 2 -a-b+2ab=0 成立的充要条件是 a+b =1. 【 证明 】 先证充分性 : 若 a+b =1, 则 b=1-a, 所以 a 2 +b 2 -a-b+2ab=a 2 +(1-a) 2 -a-(1-a)+2a(1-a) = a 2 +1-2a+a 2 -a-1+a+2a-2a 2 =0. 即 a 2 +b 2 -a-b+2ab=0, 充分性得证 , 再证必要性 : 若 a 2 +b 2 -a-b+2ab=0, 即 (a+b) 2 -(a+b)=0, (a+b-1)(a+b)=0, 因为 a+b≠0, 所以 a+b-1=0, 即 a+b =1, 必要性得证 , 综上可得 ,a 2 +b 2 -a-b+2ab=0 成立的充要条件是 a+b =1. 【 加固训练 】 1. 函数 f(x )= 有且只有一个零点的充分不必要条件是　 ( 　　 ) A.a <0 B.01 【 解析 】 选 A. 因为函数 f(x ) 过点 (1,0), 所以函数 f(x ) 有且只有一个零点⇔函数 y=-2 x +a(x≤0) 没有零点⇔函 数 y=2 x (x≤0) 与直线 y=a 无公共点 . 由数形结合 , 可得 a≤0 或 a>1. 观察选项 , 根据集合间关系 {a|a <0} {a|a≤0 或 a>1}, 故选 A. 2. 若“ x 2 >1” 是“ x1 得 x>1 或 x<-1. 由题意知 {x|x1 或 x<-1}, 所以 a≤-1, 从而 a 的最大值为 -1. 答案 : -1