2018-2019学年贵州省凯里市第一中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年贵州省凯里市第一中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年贵州省凯里市第一中学高一下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】化简集合B，根据交集的定义计算A∩B．‎ ‎【详解】‎ 由，得，则，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的化简与运算，是基础题．‎ ‎2．已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求出直线的斜率，再根据点斜式即求出直线方程．‎ ‎【详解】‎ 由题知直线l的斜率为，则，整理得，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线的斜率和点斜式方程，属于基础题 ‎3．已知等差数列的前项和为，且，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用等差数列的前n项和公式和等差数列的性质能求出S7．‎ ‎【详解】‎ 由，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．‎ ‎4．若，，则下列选项中正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据不等式的基本性质即可得出．‎ ‎【详解】‎ 由 ‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式的性质，熟记性质准确推理是关键，属于基础题．‎ ‎5．已知角的终边经过点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用任意角的三角函数定义即可求出tanθ的值，分子分母除以cosθ，利用同角三角函数间的基本关系变形后，将tanθ的值代入计算即可求出值；‎ ‎【详解】‎ 由题知，则 ，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及任意角的三角函数定义，熟练掌握基本关系是解本题的关键．‎ ‎6．已知函数的零点在区间内，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得f（1）f（2）＜0，解不等式求得实数m的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 由题知f(x)单调，故，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题．‎ ‎7．在数列中，已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由累加法结合等比数列的求和公式可得．‎ ‎【详解】‎ 由得 上述各式相加得，‎ 则，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列求和公式和累加法求数列的通项公式，熟记公式是关键，属基础题．‎ ‎8．已知函数为减函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由指数函数的单调性列的不等式求解即可 ‎【详解】‎ 由题知或 ‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数函数的单调性，不等式的求解，是基础题 ‎9．关于x的方程在 上有解，则实数m的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】转化为与y=m有交点利用数形结合求解即可 ‎【详解】‎ 由关于x的方程,在上有解，则函数的图像与直线y=m在有交点，令t=,则 ‎ 如图,则，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查辅助角公式，考查三角函数值域，考查数形结合思想，是基础题.‎ ‎10．已知直线和直线平行，且直线过点，则下列等式①， ②， ③， ④中正确的个数有（ ）‎ A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 ‎【答案】C ‎【解析】先由平行及直线过点得m,n，再逐项判断即可 ‎【详解】‎ 由题知，即， ‎ 由直线过点，则，解得，则m+n=2，‎ 对于①，则①错误，对于②则②正确，‎ 对于③，则③错误，‎ 对于④，则④正确，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的位置关系，考查对数恒等式，熟记运算性质是关键，是基础题 ‎11．在中，为所在平面内一点，且，则的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题得ABCD为矩形，利用三角形面积公式求解即可 ‎【详解】‎ 由题可作如图所示的矩形，则易知，则，则，所以 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数与向量的结合，正弦定理，三角形面积公式，是基础题 ‎12．已知函数的定义域为R，且对任意的且都有成立，若对恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数的单调性列x的不等式求解即可 ‎【详解】‎ 由，则函数在R上为增函数，由对恒成立，故，即解得，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性，考查恒成立问题，是基础题 二、填空题 ‎13．已知向量, 且, 则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用向量平行的坐标表示求解即可 ‎【详解】‎ 由题知，整理得 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量平行的坐标表示，熟记公式准确计算是关键，是基础题 ‎14．已知实数 满足约束条件，则目标函数的最大值为______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】画不等式组表示的平面区域，利用线性规划求范围即可 ‎【详解】‎ 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线．平移该直线，当经过点B时，取得最大值，由，得，即B(2,-1)，所以. ‎ 故答案为：3‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性规划，考查数形结合思想，准确计算是关键，是基础题 ‎15．已知直线和圆，则直线与圆相交所得的弦长为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由弦长公式和点到直线的距离求解即可．‎ ‎【详解】‎ 如图，记直线与圆相交于两点，圆心 到直线的距离为，‎ 则，，则，‎ 所以直线与圆相交所得的弦长为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系：弦长公式、点到直线的距离公式，以及方程思想，是基础题 ‎16．已知不等式的解集为，则的最小值为__________.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】由二次函数的根与系数的关系得到a，b，c满足的关系；将代数式变形，利用基本不等式求出最小值，‎ ‎【详解】‎ 由题知，则，‎ 则=8，当且仅当 ‎，‎ 即时取等号.故的最小值为8.‎ 故答案为：8‎ ‎【点睛】‎ 主要考查了一元二次不等式的求解，根与系数关系，基本不等式求最值，考查学生的运算能力，是中档题 三、解答题 ‎17．已知等差数列的前n项和为，且 ,.‎ ‎（Ⅰ）求的表达式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（I）；（II）‎ ‎【解析】（Ⅰ）列的方程组求解即可；（Ⅱ）裂项相消求和即可 ‎【详解】‎ ‎（I）由已知得，解得.故.‎ ‎（II）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎18．平面直角坐标系中，已知点A（2,1），B（1,3），动点P（x,y）满足.‎ ‎（Ⅰ）求P的轨迹方程并指出它是什么曲线；‎ ‎（Ⅱ）过A点的直线l与P的轨迹有且只有一个公共点，求直线l的方程．‎ ‎【答案】（I），以点为圆心，为半径的圆；（II）和 ‎【解析】（Ⅰ）直接由列式求得点P的轨迹的方程；（Ⅱ）由直线与圆相切设直线方程有点到线距离公式求解即可 ‎【详解】‎ ‎（I）由已知得 化简得， 整理得 它是一个以点为圆心，为半径的圆.‎ ‎（II）在圆外，则与圆相切，且斜率存在，设其方程为：‎ 整理得 圆心到直线的距离，解得或 故的方程为：和 ‎【点睛】‎ 本题考查轨迹方程，直线与圆的位置关系，熟记公式，准确计算是关键，是中档题 ‎19．在中，角A,B,C，的对应边分别为，且.‎ ‎（Ⅰ）求角B的大小；‎ ‎（Ⅱ）若的面积为，，D为AC的中点，求BD的长．‎ ‎【答案】（I）；(II)‎ ‎【解析】（I）由正弦定理得，展开结合两角和的正弦整理求解；（Ⅱ）由面积得，利用平方求解即可 ‎【详解】‎ ‎（I），由正弦定理得 整理得 ‎，则 ‎，，.‎ ‎(II)，‎ ‎，两边平方得 ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理及两角和的正弦，三角形内角和定理，考查向量的数量积及模长，准确计算是关键，是中档题 ‎20．已知平面向量，设．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位长度，所得图像对应的函数为，若均为锐角，且，，求的值．‎ ‎【答案】（I）递增区间是；（II）‎ ‎【解析】（Ⅰ）用向量的数量积的坐标运算求出f（x）的解析式，整体代换的方法求出单调区间（Ⅱ）利用平移变换得的解析式，利用配凑角得代入求解即可 ‎【详解】‎ ‎（I）.‎ 设解得 函数的单调递增区间是 ‎（II）由题 均为锐角， ，.‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的数量积，三角恒等变换，三角函数的单调区间及配凑角求值，熟记公式准确计算是关键，是中档题 ‎21．已知一次函数的图象过点和，为幂函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数与的解析式；‎ ‎（Ⅱ）当时，解关于的不等式：．‎ ‎【答案】（I），；（II）见解析 ‎【解析】（Ⅰ）设出函数的解析式，代入法求出f（x）的解析式，由幂函数定义求出g（x）的解析式即可；（Ⅱ）讨论其判别式得解集即可 ‎【详解】‎ ‎（I）设，‎ ‎，解得，则 为幂函数，则，故.‎ ‎（II）.‎ 当或时，不等式的解集为或 当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 ‎【点睛】‎ 本题考查了求函数的解析式问题，考查解二次不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．‎ ‎22．已知数列的前n项和为，且.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，求数列的前n项和及的最小值．‎ ‎【答案】（I）；（II），最小值 ‎【解析】（I）由得，检验n=1成立即可求解；（Ⅱ）利用错位相减求和即可 ‎【详解】‎ ‎（I）当n=1时，，解得 当时，，解得 .‎ 则，故是首项为 ，公比为2的等比数列 ‎(II)‎ 则 ‎ 两式作差得 所以令，有对恒成立，‎ 则数列是递减数列，故为递增数列，则.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查递推关系求通项公式，考查错位相减求和，数列的单调性，准确判断单调性是关键，是中档题