数学文卷·2018届北京市西城区66中高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）x

数学文卷·2018届北京市西城区66中高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）x

北京市第六十六中学2016-2017学年第一学期期中质量检测 高二年级数学（文科）学科试卷 一、选择题（每小题4分，共32分）‎ ‎1. 在直角坐标系中，原点到直线的距离为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，‎ 故选．‎ ‎2. 圆心为，且经过点的圆的方程是（ ）．‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】圆心为，排除，‎ 且经过，排除，‎ 故选．‎ ‎3. 如果两条直线与平行，那么等于（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴或，‎ 当时，，‎ ‎．重合（舍去），‎ 当时，，‎ ‎．符合要求，‎ 综上，‎ 故选．‎ ‎4. 如图，正方体中，下列结论不正确的是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】与是两条异面直线．所以不可能平行,选C.‎ ‎5. 在空间中，下列命题正确的是（ ）．‎ A. 如果直线平面，直线直线，那么直线平面 B. 如果平面平面，那么平面内的任一直线平面 C. 如果平面与平面的交线为，平面内的直线直线，那么直线平面 D. 如果平面内的两条直线都平行于平面，那么平面平面 ‎【答案】B ‎【解析】项错误，可能平行于平面，‎ 项错误，可能仅与平面相交，‎ 项错误，平面内两条相交直线都平行于，则有两平面平行，‎ 项正确，故选．‎ ‎6. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）．‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，‎ ‎，‎ ‎．‎ 选B.‎ 点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 ‎(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．‎ ‎(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．‎ ‎7. 过点的直线交圆于、两点，当最大时，直线的方程是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】圆标准方程为，‎ 当最大，直线经过圆心，‎ 直线斜率，，‎ 整理得，‎ 故选．‎ 点睛： 与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．‎ ‎8. 如果实数，满足等式，那么的最大值是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】过原点作该圆的切线，‎ 切线斜率，‎ 故选．‎ 点睛： 与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．‎ 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎9. 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直线为，‎ 倾斜角，‎ ‎．‎ ‎10. 圆在点处的切线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】圆，‎ 点在圆上，‎ ‎∴其切线方程为，‎ 整理得：．‎ ‎11. 若圆与圆外切，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎12. 一个棱长为的正方体，其八个顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设球的半径为，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 球表面积．‎ ‎13. 设是圆上动点，是直线上动点，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】圆心为到直线的距离，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎14. 如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜角度的不同，有下列四个说法：‎ ‎①水的部分始终呈棱柱状；‎ ‎②水面四边形的面积不改变；‎ ‎③棱始终与水面平行；‎ ‎④当时，是定值．‎ 其中正确说法是__________．‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】随着倾斜度的不同，‎ ‎ ‎ 但水的部分始终呈棱柱状，‎ 且棱平面，‎ ‎∵棱，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵体积是定值，高为定值，‎ 则底面积为定值，‎ 则底面积为定值，‎ 即为定值，‎ 综上①③④正确．‎ 三、计算题（本题共4小题，共44分）‎ ‎15. 已知直线经过点，且斜率为．‎ ‎（I）求直线的方程．‎ ‎（II）求与直线平行，且过点的直线方程．‎ ‎（III）求与直线垂直，且过点的直线方程．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据点斜式写直线方程（2）根据平行关系设所求直线方程为，再代入点坐标求参数m，（3）根据垂直关系设所求直线方程为，再代入点坐标求参数n 试题解析：（I），‎ 整理得．‎ ‎（II）设所求直线方程为，代入点，‎ 解得，‎ ‎∴直线方程为．‎ ‎（III）设所求直线方程为，代入，‎ 解得，‎ ‎∴直线方程为．‎ ‎16. 已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上．‎ ‎（I）求圆的方程．‎ ‎（II）设直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求弦中垂线方程，再求与x轴交点得圆心，根据圆心到原点距离等于半径，写出圆标准方程（2）设直线的点斜式方程，根据垂径定理求出圆心到直线距离，再根据点到直线距离公式求直线斜率，最后验证斜率不存在时是否满足条件 试题解析：（I）∵圆经过和点，‎ ‎∴圆心一定在线段垂直平分线上，‎ 中点为，‎ ‎，‎ ‎∴垂直平分线为，‎ 当时，，‎ ‎∴圆心，，‎ ‎∴圆的方程为．‎ ‎（II）设直线为，‎ 即，‎ 圆心到直线的距离，‎ 解得，‎ 整理得，直线的方程为．‎ ‎17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，为 中点．‎ ‎（I）证明：平面．‎ ‎（II）证明：平面．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）根据矩形性质得，再根据线面平行判定定理得结论（2）先由平面，得，由矩形得，进而根据线面垂直判定定理得平面，即得，再根据等腰三角形性质得，所以根据线面垂直判定定理得结论 试题解析：（I）证明：∵在矩形中，‎ ‎，‎ 平面，‎ 平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（II）∵在等腰中，‎ 是边中点，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ 平面，‎ ‎∴，‎ 点，‎ ‎，平面，‎ ‎∴平面，‎ 平面，‎ ‎∴，‎ ‎∵点，‎ ‎、平面，‎ ‎∴平面．‎ 点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎18. 如图所示，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，，，．‎ ‎（I）求证：平面．‎ ‎（II）求证：平面．‎ ‎（III）求四面体的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）欲证AC⊥平面BDE，只需证明AC垂直平面BDE中的两条相交直线即可，因为AC与BD是正方形ABCD的对角线，所以AC⊥BD，再正DE垂直AC所在的平面，得到AC垂直DE，而BD，DE是平面BDE中的两条相交直线，问题得证．‎ ‎（2）欲证AC∥平面BEF，只需证明AC平行平面BEF中的一条直线即可，利用中位线的性质证明OG平行DE且等于DE的一半，根据已知AF平行DE且等于DE的一半，所以OG与AF平行且相等，就可得到AC平行FG，而FG为平面BEF中的一条直线，问题得证．‎ ‎（3）四面体BDEF可以看做以△DEF为底面，以点B为顶点的三棱锥，底面三角形DEF的底边DE=2，高DA=2，三棱锥的高为AB，长度等于2，再代入三棱锥的体积公式即可．‎ ‎（）因为平面平面，，‎ 即，所以平面，‎ 因为平面，所以，‎ 因为是正方形，所以，，所以平面．‎ ‎（）设，取中点，连接、，如下图：‎ 所以平行且等于，‎ 因为，，‎ 所以平行且等于，从而四边形是平行四边形，‎ ‎，因为平面，平面，所以平面，‎ 即平面．‎ ‎（），，‎ 因此四面体的体积．‎ 点睛：本题主要考查了在空间几何体中证明线面垂直，线面平行，计算三棱锥的体积，综合考查了学生的识图能力，空间想象力，计算能力．证线面垂直先证线线垂直，正线面平行先证线线平行。‎