上海市民进自强高复学校2020届高三下学期二模考试数学试题

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上海市民进自强高复学校2020届高三下学期二模考试数学试题

‎2020届上海市民进自强高复学校数学二模试卷 一、填空题(1-6题每小题4分,7-12题每小题5分,满分54分)‎ ‎1、设,则不等式的解集为______________________‎ ‎2、设,其中为虚数单位,则=______________________‎ ‎3、计算: ‎ ‎4、集合,,且,则 ‎ ‎5、已知点在函数的图像上,则的反函数 ‎ ‎6、在的二项展开式中,所有项的二项式系数之和为,则常数项等于____ _‎ ‎7、在正四棱柱中,底面的边长为,与底面所成角的大小为,则该正四棱柱的体积____________‎ ‎8、某微信群中四人同时抢个红包(金额不同),假设每人抢到的红包的概率相同且每人最多抢 一个,则其中甲、乙都抢到红包的概率为 ‎ ‎9、如果函数的图象关于点中心对称,那么的最小值为 ‎ ‎10、设,满足,向量,,则满足的实数的最 小值为 ‎ ‎11、已知等差数列的公差,,则使得集合,恰好有两个元素的的值为_______‎ ‎12、函数,若函数与 的图像相交于两点,且两点的横坐标分别记为,则的取值范围是 ‎ 二、选择题(本大题满分20分)‎ ‎13、已知,则“”是“”的( )‎ 充分非必要条件 必要非充分条件 充要条件 既非充分又非必要条件 ‎14、已知数列是首项为,公差为的等差数列,则方程组的解的 情况为( )‎ 无解; 有无数组解; 有唯一解; 无法确定 ‎15、已知线段上有动点(异于、),线段,且满足 ‎,则点的运动轨迹为( )‎ 圆的一部分 椭圆的一部分 双曲线的一部分 抛物线的一部分 ‎16、已知与皆是定义域、值域均为的函数,若对任意,恒成立,且与的反函数、均存在,命题:“对任意,恒成立”,命题:“函数的反函数一定存在”,以 下关于这两个命题的真假判断,正确的是( )‎ ‎ 命题真,命题真 命题真,命题假 命题假,命题真 命题假,命题假 三、解答题(本大题满分76分)‎ ‎17、(6+8=14分)长方体中,底面是正方形,,是 上的一点.‎ ‎(1)若为中点,求异面直线与所成的角;‎ ‎(2)若平面,求直线与平面所成的 ‎ 角的大小;‎ ‎18、(6+8=14分)在中, ,其中角的 对边分别为;‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若,,求向量在方向上的投影.‎ ‎19、(7+7=14分)设,函数为奇函数.‎ ‎(1)求函数的零点;‎ ‎(2)设,若不等式在区间上恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎20、(4+7+5=16分)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左顶点为,过点的直线与椭圆交于轴上方一点,以为边作矩形 ‎,其中直线过原点.当点为椭圆的上顶点时,的面积为,且.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)求矩形面积的最大值;‎ ‎(3)矩形能否为正方形?请说明理由.‎ ‎.‎ ‎21、(4+6+8=18分)已知数列、、满足,.‎ ‎(1)若数列是等比数列,试判断数列是否为等比数列,并说明理由;‎ ‎(2)若恰好是一个等差数列的前项和,求证:数列是等差数列;‎ ‎(3)若数列是正数的等比数列,数列是等差数列,求证:数列是等差数列.‎ ‎2020届上海市民进自强高复学校数学二模试卷答案 一、填空题:1、; 2、; 3、; 4、; 5、;‎ ‎ 6、; 7、; 8、; 9、; 10、; 11、 ; 12、 ‎ 二、选择题: ‎ ‎17、解:(1)以为轴建立坐标系 依题意,,,,‎ ‎ 2分 所以, 1分 异面直线与所成的角为,则 2分 所以异面直线所成角的大小为 1分 ‎(2)设,则 1分 ‎ 因为平面,平面,所以 所以,所以, 2分 ‎,,平面的一个法向量 2分 直线与平面所成的角为,则 2分 所以,直线与平面所成的角的大小为 1分 ‎ ‎18、解:(1)由已知得: 2分 ‎,即 2分 又,所以 2分 ‎(3)由正弦定理,有 ,所以, 2分 由题知,则 ,故. 2分 根据余弦定理,有 , ‎ 解得 或 (负值舍去), 2分 向量在方向上的投影为 2分 ‎19、解:(1)函数为奇函数,,解得, 2分 此时,为奇函数, 2分 ‎,‎ 解得,或(舍去), 2分 ‎,函数的零点为; 1分 ‎(2)令,, 2分 不等式在区间上恒成立,即,恒成立, 2分 恒成立,故, 2分 ‎,所以实数的取值范围是 1分 ‎20、解:(1)由题意:,解得,, 3分 所以椭圆的标准方程为; 1分 ‎(2)显然直线的斜率存在,设为且,则直线为: 1分 联立得,‎ 解得,,‎ 所以, 2分 直线的方程为,即,所以 1分 所以矩形面积 2分 所以当且仅当时,矩形面积取最大值为; 1分 ‎(3)若矩形为正方形,则,即, ‎ 则, 2分 令,因为, 2分 又的图像不间断,‎ 所以有零点,所以存在矩形为正方形. 1分 ‎21、解:(1)设等比数列的公比为,则 1分 当时,,数列不是等比数列; 1分 当时,因为,所以,所以数列是等比数列; 1分 ‎(2)因为恰好是一个等差数列的前项和,设这个等差数列为,公差为 因为,所以,‎ 两式相减得,因为, 3分 所以,‎ 所以数列是等差数列; 3分 ‎(3)因为数列是等差数列,所以,‎ 又因为,所以,‎ 即 ,则, 3分 又因为数列是等比数列,所以,则,‎ 即,因为数列各项均为正数,所以, 2分 则,即,‎ 又因为数列是等差数列,所以,‎ 即,化简得,‎ 将代入得,‎ 化简得,所以数列是等差数列. 3分
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