高中数学讲义微专题66 直线与圆位置关系

高中数学讲义微专题66 直线与圆位置关系

微专题 66 直线与圆位置关系 一、基础知识： 1、定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆 2、圆的标准方程：设圆心的坐标 ，半径为 ，则圆的标准方程为： 3、圆的一般方程：圆方程为 （1） 的系数相同 （2）方程中无 项 （3）对于 的取值要求： 4、直线与圆位置关系的判定：相切，相交，相离，位置关系的判定有两种方式： （1）几何性质：通过判断圆心到直线距离与半径的大小得到直线与圆位置关系，设圆的半径 为 ，圆心到直线的距离为 ，则： ① 当 时，直线与圆相交 ② 当 时，直线与圆相切 ③ 当 时，直线与圆相离 （2）代数性质：可通过判断直线与圆的交点个数得到直线与圆位置关系，即联立直线与圆的 方程，再判断解的个数。设直线： ，圆： ，则： 消去 可得关于 的一元二次方程，考虑其判别式的符号 ① ，方程组有两组解，所以直线与圆相交 ② ，方程组有一组解，所以直线与圆相切 ③ ，方程组无解，所以直线与圆相离 5、直线与圆相交： 弦长计算公式： 6、直线与圆相切： （1）如何求得切线方程：主要依据两条性质：一是切点与圆心的连线与切线垂直；二是圆心 到切线的距离等于半径  ,C a b r    2 2 2x a y b r    2 2 0x y Dx Ey F     2 2,x y xy , ,D E F 2 2 4 0D E F   r d r d r d r d 0Ax By C   2 2 0x y Dx Ey F     2 2 0 0 Ax By C x y Dx Ey F          y x 0  0  0  2 22 2AB AM r d   例：已知圆的方程为： 及圆上一点 ，求过 的圆的切线 方法一：利用第一条性质： ，所以可得切线斜率 切线方程为： ，整理后可得： 方法二：利用第二条性质：设切线方程 为： 即 整理可得： 解得： （2）圆上点的切线结论： ① 圆 上点 处的切线方程为 ② 圆 上 点 处 的 切 线 方 程 为 （3）过圆外一点的切线方程（两条切线）：可采取上例方法二的做法，先设出直线方程，再 利用圆心到切线距离等于半径求得斜率，从而得到方程。（要注意判断斜率不存在的直线是否 为切线） 7、与圆相关的最值问题 （1 ）已知圆 及圆外一定点 ，设圆 的半径为 则圆上点到 点 距离的最小值为 ，最大值为 （即连结 并延长， 为 与圆的交点， 为 延长线与圆的交点 2 2 4x y   1, 3P P 3OPk  3 3k     33 13y x    3 4x y  l  3 1y k x   3kx y k   2 3 2 1O l k d r k        223 2 3 1 0 3 1 0k k k      3 3k    3: 3 1 3 43l y x x y        2 2 2x y r   0 0,P x y 2 0 0x x y y r     2 2 2x a y b r     0 0,P x y       2 0 0x a x a y b y b r      C P C r P PM PC r  PN PC r  PC M PC N PC M C N P （2）已知圆 及圆内一定点 ，则过 点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直 的弦 解：， 弦 长 的 最 大 值 为 直 径 ， 而 最 小 值 考 虑 弦 长 公 式 为 ，若 最小，则 要取最大，在圆中 为定值， 在弦绕 旋转的过程中， ，所以 时， 最小 （3）已知圆 和圆外的一条直线 ，则圆上点到直线距离的最 小 值 为 ， 距 离 的 最 大 值 为 （过圆心 作 的垂线，垂足为 ， 与圆 交于 ，其 反向延长线交圆 于 （4）已知圆 和圆外的一条直线 ，则过直线 上的点作圆 的切线，切线长的最小值为 解： ，则若 最小，则只需 最小即可， 所以 点为过 作 垂线的垂足时， 最小 过 作圆的切线，则切线长 最短 8、圆与圆的位置关系：外离，外切，相交，内切，内含 （1）可通过圆心距离与半径的关系判定：设圆 的半径为 ， ① 外离 ② 外切 ③ 相交 ④ 内切 ⑤ 内含 （2）可通过联立圆的方程组，从而由方程组解的个数判定两圆位置关系。但只能判断交点的 个数。例如方程组的解只有一组时，只能说明两圆有一个公共点，但是外切还是内切无法直 接判定。 C P P MN 2 22AB r d  AB d CP P d CP d CP AB C l C lPM d r  C lPN d r  C l P CP C M C N C l l PM 2 2PM CP r  PM CP P C l CP  P PM 1 2,O O 1 2,r r 1 2O O d 1 2d r r   1 2,O O  1 2d r r   1 2,O O  1 2 1 2r r d r r     1 2,O O  1 2d r r   1 2,O O  1 2d r r   1 2,O O  C P A B l M C P N l C P M 二、典型例题： 例 1：已知直线 与圆心为 的圆 相交于 两点，且 为等边三角形，则实数 （ ） A. B. C. 或 D. 思路：因为 为等边三角形且 为圆心，所以该三角形的边长为 ，由等边三角形的性 质可知高为 ，即 到 的距离为 ，由圆方程可得： ，所以利用点到直线距 离公式可得： ，解得： 答案：D 例 2：圆心在曲线 上，且与直线 相切的面积最小的圆的方程为 （ ） A. B. C. D. 思 路 ： 不 妨 设 圆 心 ， 其 中 ， 半 径 为 ， 因 为 直 线 与 圆 相 切 ， 所 以 有 ，若圆的面积最小，则半径最小，则 ， 即 ， 此 时 ， 所 以 圆 方 程 为 ： 答案：A 例 3：设点 ，若在圆 上存在点 ，使得 ，则 的取值 范围是（ ） A. B. C. D. 思路：由圆的性质可知：圆上一点 ，与 所组成的角 ，当 与圆相切时， 2 0ax y   C    2 21 4x y a    ,A B ABC a  3 3 1 3 1 7 4 15 ABC C 2 3 C AB 3  1,C a    2 2 2 2 3 2 2 3 1 1C AB a ad a a a         4 15a    2 0y xx  2 1 0x y      2 21 2 5x y       2 22 1 5x y       2 21 2 25x y       2 22 1 25x y    2,a a      0a  r 22 1 5 a ad r     22 1 1 22 1 5 5 a ar a a          1 12 2 1 5 5 a a          min 5r  1a     2 21 2 5x y     ,1M m 2 2: 1O x y  N 30OMN   m 3, 3   1 1,2 2      2,2 3 3,3 3      T ,M O OMT MT 最大。所以若圆上存在点 ，使得 ，则 。由 和 可知过 且与圆相切的一条直线为 ，切点 ，所以在直角三角形 中， ，从而 答案：A 例 4：设 ，若直线 与圆 相切，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 思 路 ： 通 过 圆 方 程 可 知 圆 心 ， 半 径 ， 因 为 直 线 与 圆 相 切 ， 所 以 ， 整 理 后 可 得 ： ，即 ，所以 ，进而由“对勾 函数“性质可知 答案：D 小炼有话说：本题由于 ，所以对于 不能使用均值不等式，而要通过换 元转换为常见函数求得值域 例 5：若圆 上至少有三个不同的点到直线 的距离为 ， 则直线 斜率的取值范围是___________ 思路：本题的关键在于如何将“至少三个符合条件的不同的点”这个条件与 找到联系。通过 图像可知该条件与圆心到直线的距离相关。圆方程为： ，即圆心为 ，半径 ，作出图像可知若至少有三个不同的点到直线 距离为 ，则圆心到 直 线 的 距 离 应 小 于 等 于 ， 所 以 ， 即 解 不 等 式 ： ，解得： OMT N 30OMN   30OMT    ,1M m 2 2 1x y  M 1y   0,1T OMT 3tan 3 OTOMT TM  3 3 3TM m     ,m n R    1 1 2 0m x n y        2 21 1 1x y    m n 1 3,1 3     ,1 3 1 3,      2 2 2,2 2 2     ,2 2 2 2 2 2,       1,1C 1r           2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 C l m nd m n m n m n             1mn m n   1 1 mn m   1 21 21 1 mm n m mm m          ,2 2 2 2 2 2,m n         m R 21 21m m   2 2 4 4 10 0x y x y     :l y kx 2 2 l k    2 22 2 18x y     2,2 3 2r  l 2 2 2 2 2 2 2 1C l kd k       2 22 2 2 1k k   2 3,2 3k      答案： 例 6：直线 与圆 交于不同的两点 ，且 ， 其中 是坐标原点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 思路：不妨设 的中点为 ，则可知 ，从而 ，在圆 中，可知 为圆心 到 的距离，即弦心距。由圆中弦，半径，弦心距的 关 系 可 得 ： ， 代 入 可 得 ： ，解得： ，即 ，所以 答案：D 例 7：在平面直角坐标系 中，已知圆 ，点 是 轴上的一个动点， 分别切圆 于 两点，则线段 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 思路：如图设 交于 ，则有 ，只需确认 的范围即可，由圆方程可得 ，设 ，所 以 ， 在 中 ， 可 得 ： ， 所 以 ， 下 面 确 定 的 范 围 。 设 ， 因 为 ， 所 以 ， 从 而 解 得 。 则 2 3,2 3    y x m  2 2 16x y  ,M N 3MN OM ON    O m  2 2, 2 2,2 2      4 2, 2 2 2 2,4 2      2,2 2 2,2 2   MN A 2OM ON OA    2 3MN OA  2 2 16x y  OA O MN 2 2 21 162 MN OA r       2 3MN OA   2 23 16OA OA  2OA  2 2O MN md    2 2,2 2m     xOy  22: 3 2C x y   A x ,AP AQ C ,P Q PQ 14 , 23      2 14 ,2 23      14 , 23       2 14 ,2 23       ,AC PQ M 2PQ PM PM 2r  PCM   sin 2 sinPM PC    Rt PCA 2 2 2 2sin 1AC rAP AC AC AC      PM  2 22 1 AC   2AC  ,0A x  0,3C  2 2 9 9,AC x    14 , 23PM      答案：B 例 8：已知圆 ，直线 下面四个命题： （1）对任意实数 与 ，直线 和圆 相切； （2）对任意实数 与 ，直线 和圆 有公共点； （3）对任意实数 ，必存在实数 ，使得直线 和圆 相切; （4）对任意实数 ，必存在实数 ，使得直线 和圆 相切. 其中真命题的代号是______________ 思路一（代数运算）：四个命题均和直线与圆位置关系相关，所以考虑圆心到直线的距离和 半 径 的 大 小 关 系 ： 由 圆 方 程 可 知 圆 心 ， 半 径 为 1 ， 所 以 ，为 了便于 计算， 不妨比 较 与 1 的大 小关系 ，从而 有： 所以对任意的实数 ，直线 和圆 有公共点，但不一定相切。故（1）错误（2）正确； （3）（4）与相切有关，所以考虑 ，由上式可得： ①，从而可得，对 于任意的实数 ，不一定会存在 ，使得等式成立。例如 时，①不成立；但对于任 意的 ，总有 ，使得①成立，即直线与圆相切。所以（3）错误，（4）正确， 综上所述，正确的是（2）（4） 思路二（数形结合）：通过观察 ，可知 为单位圆上的点。则必有 ，又因为 的半径为 1，所以可得 过原点。而直线 过定点 ， 所以直线与圆必有公共点。（2）正确。因为 在圆上，所以可知若直线与圆相切，则原点 为切点，故切线也只有一条。所以（1）错误。对于（3）（4），通过前面的结论可知对于任意 的一个圆 ，均可过原点作出圆的切线。另一方面通过切线也可确定圆心。所以（4）正确。 2 142 ,2 23PQ PM          2 2: cos sin 1M x y     :l y kx k  l M k  l M  k l M k  l M M  cos ,sinM   2 cos sin 1M l kd k       2 M ld   2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin 1 cos 2sin cos sin 11 1 1M l k k k k kd k k                        22 2 2 2 2 1 cos 2sin cos 1 sin sin cos 01 1 k k k k k                  ,k  l M 2 1M ld   sin cosk    k sin 0  k cos 1 sin tank      cos ,sinM   M 1OM  M M :l y kx  0,0  0,0 M 而（3）忽略了一种情况，当圆心 位于 轴上时，此时切线为 轴，虽有切线但斜率不存 在，所以不能表示为 的形式。所以（3）错误 答案：（2）（4） 例 9：:设 ，直线 圆 .若圆 既与线段 又与 直线 有公共点，则实数 的取值范围是 ． 思路：本题 的取值范围为两个条件的交集。先处理圆 与 有公共点：由圆方程可知圆的圆 心为 ，半径 ，若圆与直线有公共点，则 ，解得： ，所以 。另一方面，考虑圆 与 有公共点， 因为该圆半径不变，圆心在 轴上移动，所以可根据 的符号进行分类讨论： 显然成立， 当 时，由图像可知圆心的最远端为在 的右侧且到 的距离为 1，即 ，当 时 ， 可 知 圆 最 左 端 的 位 置 为 与 线 段 相 切 的 情 况 ， ， 所 以 ，解得： 。所以 ，综上所述：圆与线段 有公 共点时， ，从而 答案： 例 10：已知 的三个顶点 ， ， ，其外接圆为圆 ． （1）求圆 的方程； （2）若直线 过点 ，且被圆 截得的弦长为 2，求直线 的方程； （3）对于线段 上的任意一点 ，若在以 为圆心的圆上都存在不同的两点 ，使得点 是线段 的中点，求圆 的半径 的取值范围 解：（1）思路：求圆的方程关键在于确定圆心坐标，条件中给了三个点，考虑两点所成线段 的垂直平分线为直径（过原点），所以选择两组点，求出两条直径，即可解出圆心。在本题中 抓住 ，关于 轴对称。从而得到圆心在 轴上，设其坐标为 再根据 M x y y kx )1,0(),0,1( BA ,: axyl    1: 22  yaxC C AB l a a C l  ,0a 1r  2 4 2 2 1 1 1C l a d a a a       2 1 50, 2a       1 5 1 5,2 2a         C AB x a 0a  0a  A A 0 2a  0a  AB : 1 0AB x y   1 1 2C AB ad    1 2a   1 2 0a   AB 1 2 2a   1 2 2 1 51 21 5 1 5 2 2 2 a a a               1 51 2, 2       ABC ( 1, 0)A  (1, 0)B (3 , 2)C H H l C H l BH P C ,M N M PN C r    1,0 , 1,0A B  y y  0,H y ，即可解出 值。从而得到圆心坐标，然后计算半径即可得到圆的方程 由 外接圆为圆 可得： 在 垂直平分线上 在 轴上 设 ，解得： （2）思路：已知弦长和半径，可求出弦心距。直线过 从而可设出直线方程，再利用弦心距 解得直线方程即可 设 由弦长为 2 和 可得： ，解得： 当斜率不存在时， ，联立方程： 弦长为 2，符合题意 综上所述： 的方程为 和 （3）思路一：（代数方法）由 坐标可求出 的方程： ，其线段上一点 ，设 ，则中点 ，由 在圆 上可得（设圆 的半径 为 ）： ，则存在 即方程组有解。方程组中的方程 为两个圆 ，只需两个圆有公共点即 BH CH y ABC H H AB    1,0 , 1,0A B  H y  0,H y BH CH  2 2 22 21 3 2BH CH y y       3y   0,3H 10r BH   22: 3 10H x y    C  : 2 3 2 3 0l y k x kx y k        10r  2 21 3H ld r       2 2 2 3 2 3 3 1 3 9 1 1H l kd k k k          4 3k   4: 2 3 4 3 6 03l y x x y        : 3l x   22 3 33 10 ,4 23 x xx y y yx              l 4 3 6 0x y   3x  ,B H BH 3 3 0x y    ,P m n  ,N x y ,2 2 m x n yM       ,M N C C r    2 2 2 2 2 2 3 2 3 22 2 x y r m x n y r                     ,M N        2 2 2 22 23 2 , 6 4 4x y r x m y n r          可 。 所 以 ， 再 由 整 理 后 可 得 ： 对任意 恒成立。可得： ，再有线段 与圆 无 公 共 点 ， 即 在 恒 成 立 。 解 得 ： ， 从 而 ，即可求得 的范围 解： 的方程为： 设 在线段 上 且 设 为 中点 设圆 ，由 在圆上可得： ，整理后可得： ，若 存在，则方程组有解 即圆心为 ，半径为 的圆与圆心为 ，半径为 的圆有公共点 根据两圆位置关系可知： ，即： 在 恒成立 ，整理后可得： 在 恒成立 设    2 23 6 2 4 3r m n r             3 3 0m n   2 2 210 12 10 9r m m r     0,1m 2 2 32 5 9 10 r r     BH C    2 2 23 2m n r     0,1m 2 32 5r  210 32 9 5r  r    1,0 , 0,3B H  BH 1 3 3 03 yx x y       ,P m n P BH 3 3 0m n     0,1m 3 3n m    ,N x y M PN 3 3, ,2 2 2 2 m x n y m x m yN                   2 2 2: 3 2C x y r    ,M N    2 2 2 2 2 2 3 2 3 33 22 2 x y r m x m y r                              2 2 2 2 2 2 3 2 6 3 1 4 x y r x m y m r            ,M N  3,2C r  ' 6 ,3 1C m m  2r '2 2r r CC r r       2 23 6 2 3 1 3r m m r              0,1m    2 22 23 3 1 9r m m r      2 2 2 2 10 12 10 9 10 12 10 r m m r m m         0,1m     2 2 min 2 2 max 10 12 10 9 10 12 10 r m m r m m          2 2 3 3210 12 10 10 5 5f m m m m         ，解得： 若 为 中点，则 在圆 外 即 在 恒成立 综上所述： 思路二（数形结合）：通过图像可观察出，若对于线段 上任意一点 均满足题意，则需 达到两个条件：第一， 在圆外，可先利用坐标判定出 为锐角，从而 在 上的投影位于线段 上，所以 ；第二， 到圆上点的最小距离（记为 ）应小 于或等于到圆上点最大距离（记为 ）的一半，即 ，否则，若 当 圆 上 取 其 他 点 时 ， ， 由 不 等 式 的 传 递 性 可 知 ： ， 不可能为 中点。因为 在圆外，所以可知在圆上任意一点中， ， ，代入可得 恒成立。综上 即可求出 的范围 解： ，若对任意 点，已知条件均满足 则 在 外 为锐角 在 上的投影位于线段 上   32 ,105f m       2 2 2 32 10 325 9 59 10 r r r        10 4 10 3 5r  M PN P C    2 23 2m n r        2 2 23 3 1m m r     0,1m  2 2 min 32 4 1010 12 10 5 5r m m r       10 4 10,3 5r      BH P P ,CBH CHB  C BH BH C BHr d  P mind maxd min max 1 2d d min max 1 2d d ,M N min max,PM d PN d  1 2PM PN M PN P mind PC r  maxd PC r  3PC r max3 C BHr d r PC   r      1,0 , 0,3 , 3,2B H C P P C        1,3 , 2,2 , 1, 3 , 3, 1BH BC HB HC          0, 0BH BC HB HC         ,CBH CHB   C BH BH 依题意，若对任意 点，均存在 使得 设 到圆上点的最小距离为 ，到圆上点最大距离为 ，则有： 否则若 ，导致不存在满足条件的 在圆外 ，代入可得： 由图可知： 即 综上所述： 三、历年好题精选 1、设圆 ，直线 ，点 ，若存在点 ，使得 （ 为坐标原点），则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2、已知 ，若 ，则实数 的 取值范围是（ ） A. B. C. D. 2 2 3 3 2 3 4 1053 1C BHr d        P ,M N 1 2PM PN P mind maxd min max 1 2d d min max 1 2d d min max,PM d PN d  1 2PM PN  ,M N P min max,d PC r d PC r      1 32PC r PC r PC r      max 1 3r PC   223 2 3 10CH        2 23 1 2 0 2 2BC      CH BC  max 10PC CH  10 3r  10 4 10,3 5r      2 2: 3C x y  : 3 6 0l x y    0 0,P x y l Q C 60OPQ   O 0x 1 ,12     60, 5       0,1          2 2, | 1 1 , , |A x y x x y y B x y x y a       A B a  0, 2 1 ,2     2, 2 ,2     3、（2015，广东）平行于直线 且与圆 相切的直线的方程是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 4 、（ 2015 ， 江 苏 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 以 点 为 圆 心 且 与 直 线 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 5、（2014，湖北）直线 和 将单位圆 分成长度相等的 四段弧，则 _______ 6、（2014，全国卷）直线 和 是圆 的两条切线，若 与 的交点为 ，则 与 夹角的正切值等于_______ 7 、 (2016 ， 吉 安 一 中 高 三 期 中 ) 已 知 圆 C ： ，直线 经过点 ，若 对任意的实数 m，直线 被圆 C 截得的弦长都是定值，则直线 的方程为________ 8、已知 是圆 内一点，现有以 为中点的弦所在直 线 和直线 ，则（ ） A. ，且 与圆相交 B. ，且 与圆相交 C. ，且 与圆相离 D. ，且 与圆相离 9、（2015，广东）已知过原点的动直线 与圆 相交于不同的两点 （1）求圆 的圆心坐标； （2）求线段 的中点 的轨迹 的方程； （3）是否存在实数 ，使得直线 与曲线 只有一个交点？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由. 习题答案： 2 1 0x y   2 2 5x y  2 5 0x y   2 5 0x y   2 5 0x y   2 5 0x y   2 5 0x y   2 5 0x y   2 5 0x y   2 5 0x y   xOy  1,0  2 1 0mx y m m R     1 :l y x a  2 :l y x b  2 2: 1C x y  2 2a b  1l 2l 2 2 2x y  1l 2l  1,3 1l 2l 2 2 2(6 2 ) 4 5 6 0x y m x my m m       l (1,1) l l   , 0M a b ab  2 2 2:O x y r  M m 2:l ax by r  m l∥ l m l l m l∥ l m l l l 2 2 1 : 6 5 0C x y x    ,A B 1C AB M C k  : 4L y k x  C k 1、答案：B 解析：依题意可知 ，由 可得： 。 在 与圆相切时取得最大值 若 变长，则 的最大值将变小 当 且 与圆相切时， 若存在点 ，使得 ，则 ，解得： 2、答案：C 解析： 即 为以 为圆心， 为 半径的圆 的内部，集合 为圆心在原点，半径为 的圆 的内部。则 表示圆 在 圆 的内部，在坐标系中作出圆 ，数形结合即可得到圆 半径的范围为 ，则 的 范围为 3、答案：D 解析：由平行关系可设切线方程为 ，则 ，解得： ，所以 切线的方程为 或 4、答案： 解析：方法一： 可知动直线过定点 ， 所以可算出圆心与定点的距离为 ，所以半径最大的圆即为以该定点为切点的圆，所以 ，圆方程为： 方法二：由相切可知 ，所以半径最大的圆方程 2 2 2 0 0OP x y   0 0,P x y l 0 0 6 3 xy   OPQ PQ OP OPQ  60OPQ   PQ 2PO  Q C 60OPQ   2PO  0 0 2 2 0 0 6 3 4 xy x y      0 60, 5x      2 2 2 2 1 1 1: 0 2 2 2A x x y y x y                  A 1 1,2 2      2 2 A B a B A B A B A B 2,  a  2, 2 0x y c   5 5 cd   5c   2 5 0x y   2 5 0x y    2 21 2x y      2 1 0 2 1 0mx y m x m y          2, 1 2 2r   2 21 2x y    2 2 22 1 1 21 21 11 m m mr m mm         为 5、答案：2 解析：由直线方程可知 ，若将单位圆分成相等的四段弧，则弦端点与圆心所成的角为 ，所以 ，所以 解得 ，所以 6、答案： 解析：从几何性质出发，结合坐标计算线段的长，设 ，则 ，又因为 ，所以 ，所 以 可 得 ， 则 所 求 7、答案： 解析：圆标准方程： ，圆心为 ，半径为 ，可知 在直线 。点 到直线 的距离 ，所以过 且与 平行的直线与圆相交，因为圆的半径 ，所以截得的弦长为定值。 所以 ，即 8、答案：C 解析：由圆的性质可知可知中点弦与 垂直，所以斜率 ，中点弦 方程为： ，可得 ，另一方面， ，因为 在圆内，所以 ，所以 ，直线 与圆相离  2 21 2x y   1 2l l∥ 2  1 2 2 2O l O ld d   1 2 2 22 2 22 O l O l ad bd         1a b  2 2 2a b  4 3  1,3P 10PO  2r  5sin 5 BOBPO PO  1tan 2BPO  2 2tan 4tan tan2 1 tan 3 BPOBPA BPO BPO       2 3 0x y      2 23 2 9x m y m      3 ,2C m m 3 C 2 6y x   (1,1) 2 6y x   2 1 6 3 3 5 5 d     (1,1) 2 6y x   3r  2k    : 1 2 1 2 3 0l y x x y        OM 1 OM bk k a    m   2 2ay b x a ax by a bb        m l∥ 2 2 2O l rd a b    ,M a b 2 2a b r  2 2 2O l rd r a b    l 9、解析：（1）圆 圆心坐标为 （2）设 ，则可知 ，整理可得： 当动直线与圆相切时，设直线方程： 则 切点的横坐标为 由圆的性质可得： 横坐标的取值范围为 所以轨迹方程为 （ 3 ） 由 （ 2 ） 可 得 曲 线 为 圆 的一部分圆弧 （不包 括 ），其中 直线 过定点 ① 当直线与圆相切时： ② 当直线与圆不相切时，可得 ， 数形结合可得：当 时，直线与圆有一个交点  22 2 2 1 : 6 5 0 3 4C x y x x y          3,0  ,M x y 1C M AB 1 1 13C M AB y yk k x x        2 23 9 2 4x y      y kx   2 2 2 26 5 0 1 6 5 0x y x k x x y kx             2 2 436 20 1 0 5k k        2 1 6 5 2 1 3x k   M 5,33      2 23 9 3, ,32 4 5x y x             C 2 23 9 5, ,32 4 3x y x             EF ,E F 5 2 5 5 2 5, , ,3 3 3 3E F            : 4L y k x   4,0 2 5 3 32 2 41C l k d k k       2 50 2 53 5 74 3 DEk      2 50 3 2 5 5 74 3 DFk         2 5 2 5,7 7k       综上所述： 时，直线 与曲线 只有一个交点2 5 2 5 3 3, ,7 7 4 4k             L C