高考数学【理科】真题分类详细解析版专题7 平面向量（解析版）

高考数学【理科】真题分类详细解析版专题7 平面向量（解析版）

专题07 平面向量 ‎【2013高考真题】‎ ‎（2013·新课标I理）（13）已知两个单位向量，的夹角为，，若，则_____。‎ ‎【答案】2；‎ ‎【解析】，故，故.‎ ‎【学科网考点定位】本题考查向量的数量积运算，考查学生的基本运算能力.‎ ‎（2013·新课标Ⅱ理）（13）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 =_______.‎ ‎【答案】2‎ ‎（2013·浙江理）7.设是边上一定点，满足，且对于边上任一点，‎ 恒有,则（ ）A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用特殊值法可以解决，如或即可求出答案，所以选D；‎ ‎【学科网考点定位】此题考查向量的数量积的运算和向量的加减法运算；‎ ‎（2013·天津理）12. 在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为 .‎ ‎【答案】‎ ‎.‎ ‎（2013·上海理）18．在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值，其中,,则满足（ ）. ‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】D ‎【解析】作图知，只有，其余均有，故选D．‎ ‎【学科网考点定位】考查向量的运算，重点考查思维能力，综合分析及应用能力，属偏难题。‎ 本解析为学科网名师解析团队原创，授权学科网独家使用，如有盗用，依法追责！‎ ‎（2013·陕西理）3. 设a, b为向量, 则“”是“a//b”的 （ ）‎ ‎ (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 ‎ (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】a, b为向量, 向量a、b的夹角为或则 算能力. 把转化为的形式，为这一运算提供了熟悉的运算途径.‎ ‎（2013·辽宁理）（3）已知点 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎ 【答案】A ‎【解析】，故选A ‎【学科网考点定位】本题考查单位向量的定义和坐标运算。‎ ‎（2013·江西理）12．设e1，e2为单位向量。且e1、e2的夹角为 ，若a=e1+3e2，b=2e1，则向量a在b方向上的射影为________.‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【学科网考点定位】该题主要考查平面向量的概念、数量积的性质等基础知识，考查数学能力.‎ ‎（2013·湖南理）6. 已知是单位向量，.若向量满足（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A；‎ ‎【解析】因为，，做出图形可知，当且仅当与方向相反且时，取到最大值；最大值为；当且仅当与方向相同且时，取到最小值；最小值为.‎ ‎【学科网考点定位】本题考查向量的加法，考查学生数形结合的能力.‎ ‎7. 在四边形中，，,则该四边形的面积为（ ）‎ A. B. C.5 D.10 ‎ ‎【答案】C ‎【解析】注意到两向量的纵坐标都为2，所以借助坐标系如图，。或者注意到分为四个小直角三角形算面积。‎ ‎ 【学科网考点定位】本题的处理方法主要是向量的平移，所以向量只要能合理的转化还是属于容易题。‎ ‎（2013·北京理）13.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa＋μb(λ，μ∈R)，则= .‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】 以向量a，b的交点为原点，建立直角坐标系，则a=(-1,1)， b=(6,2)， c= (-1,-3)，由c=λa＋μb，得，即解得，.‎ ‎【学科网考点定位】本小题考查了平面向量的线性运算、坐标运算和平面向量基本定理.‎ ‎（2013·安徽理）（9）在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足，则点集所表示的区域的面积是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】，则知是等边三角形，以为直角坐标系原点，在轴，则，‎ 则表示的区域就是图中的平行四边形，其面积为 ‎【学科网考点定位】考查平面向量的概念，平面向量基本定理，以及线性规划面积，以及考查逻辑思维能力和转化思想.‎ ‎（2013·辽宁理）17．（本小题满分12分）‎ 设向量 ‎（I）若 ‎（II）设函数 ‎【答案】（I）由可得，代入得 解得，又，故 ‎（II）‎ 由 ‎【解析】第一问直接运用模相等的关系可得关于x的方程，注意运用进行化简，也可用正切来运算。第二问首先运用数量积的坐标运算得到函数的解析式，然后联想二倍角公式进行化简；最后运用两角差正弦公式的逆用，从而转化为，特别要注意分析 ‎，学生容易忽视最值能否取到，最终得不到满分。‎ ‎【学科网考点定位】本题考查向量的坐标运算；同角三角函数基本关系；两角和差公式；二倍角公式以及三角函数的性质。‎ ‎（2013·浙江理）17.设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于________。‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】此题考查了向量中最常用的一个结论，即，很多问题中要求向量的模都是通过求向量的平方来求解的。此题中利用求出，然后求出的表达式，最后利用函数最值的求法即可求出答案；即由已知得到： ‎ ‎，设的最大值为4，所以答案是2；‎ ‎【学科网考点定位】此题考查向量的数量积的计算和性质，考查二次函数的性质和换元法的应用；‎ 本解析为学科网名师解析团队原创，授权学科网独家使用，如有盗用，依法追责！‎ ‎【2012高考真题】‎ ‎1．（2012·浙江卷设a，b是两个非零向量(　　)‎ A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|‎ C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|‎ ‎【答案】C　【解析】本题主要考查平面向量的相关概念与性质以及应用等基础知识，考查学生基本能力和素质．‎ 法一：对于选项A，若|a＋b|＝|a|－|b|可得a·b＝－|a||b|，则a与b为方向相反的所以答案为C.‎ ‎2．（2012·陕西卷） 已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．‎ ‎(1)求椭圆C2的方程；‎ ‎(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．‎ 由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.‎ 将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x＝，‎ 由＝2，得x＝，y＝，‎ 将x，y代入＋＝1中，得＝1，即4＋k2＝1＋4k2，‎ 解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.‎ ‎3．（2012·广东卷） 若向量＝(2,3)，＝(4,7)，则＝(　　)‎ A．(－2，－4) B．(2,4)‎ C．(6,10) D．(－6，－10)‎ ‎【答案】A　【解析】∵＝－，∴＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)，所以选择A.‎ ‎4．（2012·全国卷） △ABC中，AB边的高为CD，若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b ‎|＝2，则＝(　　)‎ A.a－b B.a－b C.a－b D.a－b ‎5．（2012·安徽卷） 在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是(　　)‎ A．(－7，－) B．(－7，)‎ C．(－4，－2) D．(－4，2)‎ ‎【答案】A　【解析】设∠POx＝α，因为P，所以＝(10cosα，10sinα)⇒cosα＝，sinα＝，‎ 则＝＝(－7，－)．故答案为A.‎ ‎6．（2012·江西卷） 在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝(　　)‎ A．2 B．‎4 C．5 D．10‎ ‎【答案】D　【解析】考查向量基本定理、向量的线性运算、向量的数量积及其应用，考查化归转化能力．解题的突破口是建立平面直角坐标系转化为平面向量坐标运算问题求解，或利用平面向量基本定理，将问题转化为只含基底的两个向量的运算问题求解．‎ 方法一：∵D是AB中点，∴＝(＋)．∵P是CD中点，∴＝(＋)，∴＝－＝－＋，＝－＝－.‎ ‎∵·＝0，∴2＝2＋2，2＝2＋2，2＝2＋2，‎ ‎∴＝10.‎ 方法二：∵D是AB中点，∴＋＝2，－＝，∴2＋2·＋2＝42，而|PC|2＝，故＝10.‎ ‎7．（2012·重庆卷） 设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝(　　)‎ A. B. C．2 D．10‎ ‎【答案】B　【解析】因为a⊥c，所以a·c＝0，即2x－4＝0，解得x＝2，由b∥c，得－4＝2y，解得y＝－2，所以a＝(2,1)，b＝(1，－2)，所以a＋b＝(3，－1)，所以|a＋b|＝＝.‎ ‎8．（2012·上海卷） 在平行四边形ABCD中，∠A＝，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．‎ ‎【答案】[2,5]　【解析】令＝n(0≤n≤1)，则＝(1－n)，在平行四边形ABCD中，＝＋n，‎ ＝＋(1－n)，所以·＝(＋n)·（＋(1－n)）‎ ‎＝－n2－2n＋5，而函数f(n)＝－n2－2n＋5在（0,1）上是单调递减的，其值域为[2,5]，‎ 所以·的取值范围是[2,5]．‎ ‎9．（2012·辽宁卷） 已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是(　　)‎ A．a∥b B．a⊥b C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b ‎【答案】B　【解析】本小题主要考查向量的数量积以及性质．解题的突破口为对于模【答案】－　【解析】本题考查平面向量的数量积，模的有关运算．‎ 因为|‎2a－b|≤3，所以|‎2a－b|2＝(‎2a－b)2＝4|a|2－‎4a·b＋|b|2≤9.所以9＋‎4a·b≥4|a|2＋ |b|2.又由均值不等式得4|a|2＋|b|2≥4|a||b|≥－‎4a·b，所以9＋‎4a·b≥－‎4a·b，解得a·b≥－，当且仅当2|a|＝|b|且a，b方向相反，即b＝－‎2a时取等号，故a·b的最小值为－.‎ ‎12．（2012·广东卷） 对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝.若平面向量a，b满足|a|≥|b|>0，a与b的夹角θ∈，且a∘b和b∘a都在集合中，则a∘b＝(　　)‎ A. B．1‎ C. D. ‎【答案】C　【解析】本题考查平面向量的数量积的运算以及向量的新定义，突破口是通过新定义把问题转化为熟悉的问题解决．根据新定义得：‎ a∘b＝＝＝≥cosθ>，‎ b∘a＝＝＝≤cosθ<1，‎ 且a∘b和b∘a都在集合中，所以b∘a＝＝，＝，所以a∘b＝＝2cos2θ<2，所以10)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.‎ ‎(1)求A；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的值域．‎ ‎【答案】解：(1)f(x)＝m·n ‎＝Asinxcosx＋cos2x ‎＝A ‎＝Asin.‎ 因为A>0，由题意知，A＝6.‎ ‎(2)由(1)f(x)＝6sin.‎ 将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后得到 y＝6sin＝6sin的图象；‎ 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝6sin的图象．‎ ‎19．（2012·天津卷） 已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若·＝－，则λ＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】A　【解析】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积的运算，考查数据处理能力，中档题．‎ ·＝(－)·(－)‎ ‎＝（(1－λ)－）·(λ－)‎ ‎＝－(1－λ)2－λ2＋·＝－2λ2＋2λ－2＝－，解之得λ＝.‎ ‎20．（2012·浙江卷） 设a，b是两个非零向量(　　)‎ A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|‎ C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|‎ ‎【答案】C　【解析】本题主要考查平面向量的相关概念与性质以及应用等基础知识，考查学生基本能力和素质．‎ 法一：对于选项A，若|a＋b|＝|a|－|b|可得a·b＝－|a||b|，则a与b为方向相反的向量，A不正确；对于选项B，由a⊥b，得a·b＝0，由|a＋b|＝|a|－|b|，得a·b＝－|a||b|，B不正确；对于选项C，若|a＋b|＝|a|－|b|可得a·b＝－|a||b|，则a与b为方向相反的共线向量，∴b＝λa；对于选项D，若b＝λa，当λ>0时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当λ<0时，可有|a＋b|＝|a|－|b|，故不正确．‎ 法二：特值验证排除．先取a＝(2,0)，b＝，满足＝－ ‎，但两向量不垂直，故A错；再取a＝，b＝，满足a＝λb，但不满足＝－，故D错；取a＝，b＝，满足a⊥b，但不满足＝－，故B错，所以答案为C.‎ ‎21．（2012·四川卷） 设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)‎ A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|‎ ‎【答案】C　【解析】要使得＝，在a，b都为非零向量的前提下，必须且只需a、b同向即可，‎ 对照四个选项，只有C满足这一条件．‎ ‎22．（2012·山东卷） 如图1－4所示，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为________．‎ 图1－4‎ ‎【答案】．(2－sin2,1－cos2)　‎ ‎【解析】本题考查向量坐标运算与三角函数，考查数据处理能力与创新意识，偏难．‎ 根据题意可知圆滚动了2个单位弧长，点P旋转了2弧度．结合图象，设滚动后圆与x轴的交点为Q，圆心为C2，作C‎2M⊥y轴于M，∠PC2Q＝2，∠PC‎2M＝2－，∴点P的横坐标为2－1×cos＝2－sin2，点P的纵坐标为1＋1×sin＝1－cos2.‎ ‎【2011高考真题】‎ ‎ 1. (2011年高考四川卷理科4)如图，正六边形ABCDEF中，=( )‎ ‎(A)0 (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】.‎ ‎2. (2011年高考全国卷理科12)设向量满足||=||=1, ,，=，则的最大值等于 ‎ (A)2 (B) (c) (D)1‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图，构造, , ,，所以四点共圆，可知当线段为直径时，最大，最大值为2.‎ ‎3. (2011年高考浙江卷理科14)若平面向量，满足，，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，又 ‎4.(2011年高考安徽卷理科13)已知向量a，b满足（a+2b）·（a-b）=－6，且，，则a与b的夹角为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，则，即，，所以，所以.‎ ‎5.(2011年高考重庆卷理科12)已知单位向量的夹角为，则 ‎ ‎ 若，则k的值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】0,解得.‎ ‎【2010高考真题】‎ ‎1.（2010全国卷2理数）（8）中，点在上，平方．若，，，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】因为平分，由角平分线定理得，所以D为AB的三等分点，且，所以，故选B.‎ ‎2.（2010辽宁理数）(8)平面上O,A,B三点不共线，设，则△OAB的面积等于 ‎ ‎ ‎3.（2010重庆理数）(2) 已知向量a，b满足，则 A. 0 B. C. 4 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎4.（2010四川理数）（5）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则 ‎（A）8 （B）4 （C） 2 （D）1‎ ‎5.（2010山东理数） (12)定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的，，令，下面说法错误的是（ ）‎ A.若与共线，则 B. ‎ C.对任意的，有 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】若与共线，则有，故A正确；因为，而 ‎，所以有，故选项B错误，故选B。‎ ‎6.（2010江西理数）13.已知向量，满足，， 与的夹角为60°，则 ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等知识，如图，由余弦定理得：‎ ‎7.（2010天津理数）（15）如图，在中，,,‎ ‎,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。‎ ‎8.（2010广东理数）10.若向量=（1,1,x）, =(1,2,1), =(1,1,1),满足条件=-2,则= .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】，，解得．‎ ‎9.（2010江苏卷）15、（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。‎ (1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；‎ (2) 设实数t满足()·=0，求t的值。‎ ‎【解析】本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分14分。‎ ‎【2009高考真题】‎ ‎ 1.（2009·广东理6）一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为 ‎ A. 6 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，所以，选D.‎ ‎2.（2009·浙江理7）设向量，满足：，，．以，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 ( ) ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．‎ ‎3.（2009·浙江）已知向量，．若向量满足，，则 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】不妨设，则，对于，则有 ‎；又，则有，则有 ‎4.(2009·山东理7;文.8)设P是△ABC所在平面内的一点，，则（　）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】:因为，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。‎ ‎5.（2009·宁夏海南理9）已知O，N，P在所在平面内，且 ‎，且，则点O，N，P依次是 的 ‎（A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心 ‎ ‎（C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心 ‎（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知|a|＝2,|a＋2b|2＝a2＋‎4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴‎ ‎7.（2009·福建理9，文12）设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线， ∣∣=∣∣,则∣ •∣的值一定等于 ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 假设与的夹角为，∣ •∣=︱︱·︱︱·∣cos<，>∣=︱︱·︱︱‎ ‎•∣cos(90)∣=︱︱·︱︱•sin,即为以，为邻边的平行四边形的面积，故选A。‎ ‎8.（2009·江苏）已知向量和向量的夹角为，，则向量和向量的数量积= 。‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】 考查数量积的运算。 ‎ ‎9.（2009·安徽理14）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动。若其中,则的最大值是________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】设 ‎ ‎∴‎ ‎10.(天津理.15)在四边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD的面积是 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为==（1，1）,所以四边形ABCD为平行四边形,所以 ‎ ‎ 则四边形ABCD的面积为 ‎11.(天津15)若等边的边长为，平面内一点M满足,则________.‎ ‎【答案】-2.‎ ‎【解析】合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设 这样利用向量关系式，求得M，然后求得，运用数量积公式解得为-2.‎ ‎12.（2009·浙江理18）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足， ． ‎ ‎（I）求的面积； （II）若，求的值．‎ ‎【答案】（I）2； （II）‎ ‎【解析】（I）因为，，又由，得 ‎（2）若，求的值． ‎ ‎【解析】解：（1）∵与互相垂直，则，即，代入 得，‎ 又，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，，∴，则 ‎，∴.‎ ‎【2008年高考真题】‎ ‎ 1.（2008·广东理科）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B