人教a版高中数学选修1-1课时提升作业（二十四）3-3-3函数的最大（小）值与导数探究导学课型word版含答案
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课时提升作业(二十四)
函数的最大(小)值与导数
(25 分钟 60 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)
1.函数 y=2x3-3x2-12x+5 在上的最大值、最小值分别是 ( )
A.12,-8 B.1,-8
C.12,-15 D.5,-16
【解析】选 A.y′=6x2-6x-12,由 y′=0⇒x=-1 或 x=2(舍去).x=-2 时 y=1,x=-1 时 y=12,x=1
时 y=-8.所以 ymax=12,ymin=-8.
2.(2015·聊城高二检测)函数 f(x)=x3-3ax-a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取值范围为
( )
A.0≤a<1 B.0
0 恒成立,所以在(-∞,
+∞)上单调递增,无极值,也无最值.
4.函数 f(x)=2 + ,x∈(0,5]的最小值为 ( )
A.2 B.3 C. D.2 +
【解析】选 B.由 f′(x)= - = =0,得 x=1,且 x∈(0,1)时,f′(x)<0;x∈(1,5]时,f′
(x)>0,所以 x=1 时 f(x)最小,最小值为 f(1)=3.
5.(2015·大庆高二检测)若函数 y=x3+ x2+m 在上的最大值为 ,则 m 等于
( )
A.0 B.1 C.2 D.
【解题指南】先求出函数 y=x3+ x2+m 在上的最大值,再依据题设条件可得到关于 m 的方程,
解方程即得出 m 的值.
【解析】选 C.y′= ′=3x2+3x=3x(x+1).由 y′=0,得 x=0 或 x=-1.
因为 f(0)=m,f(-1)=m+ .
f(1)=m+ ,f(-2)=-8+6+m=m-2,
所以 f(1)=m+ 最大.
所以 m+ = .所以 m=2.
二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)
6.函数 f(x)= +x(x∈)的值域为________.
【解析】f′(x)=- +1= ,所以在上 f′(x)>0 恒成立,即 f(x)在上单调递增,所以
f(x)的最大值是 f(3)= ,最小值是 f(1)= .故函数 f(x)的值域为 .
答案:
7.(2015·盐城高二检测)若函数 f(x)=x3-3x-a 在区间上的最大值、最小值分别为 m,n,则
m-n=________.
【解析】因为 f′(x)=3x2-3,
所以当 x>1 或 x<-1 时,f′(x)>0;
当-116,所以 f >f(2)>0.
所以 f(x)在 上的最大值为 f =1-ln2,最小值为 0.
【补偿训练】已知 f(x)=xlnx,求函数 f(x)在(t>0)上的最小值.
【解析】f′(x)=lnx+1,令 f′(x)=0,得 x= .
当 x∈ 时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当 x∈ 时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
由于 t>0,所以 t+2> .
①当 00 得 01,所以 f(x)
在(0,1]上是增函数,在(1,e]上是减函数.所以当 x=1 时,f(x)有最大值 f(1)=-1.
答案:-1
4.(2015·福州高二检测)已知函数 f(x)= +2lnx,若当 a>0 时,f(x)≥2 恒成立,则实数 a 的
取值范围是________.
【解题指南】可先求出 f(x)的最小值,使其最小值大于等于 2,解不等式即可求出 a 的范围.
【解析】由 f(x)= +2lnx,得 f′(x)= ,又函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且 a>0,令
f′(x)=0,得 x=- (舍去)或 x= .当 0 时,f′(x)>0,故
x= 是函数 f(x)的极小值点,也是最小值点,且 f( )=lna+1.要使 f(x)≥2 恒成立,需
lna+1≥2 恒成立,则 a≥e.
答案:上的最小值.
【解析】(1)当 a=1 时,f′(x)=6x2-12x+6,
所以 f′(2)=6.
又因为 f(2)=4,
所以切线方程为 y=6x-8.
(2)记 g(a)为 f(x)在闭区间上的最小值.
f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a).
令 f′(x)=0,得到 x1=1,x2=a.当 a>1 时,
当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x 0 (0,1) 1 (1,a) a (a,2a) 2a
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 0
单调
递增↗
极大值
3a-1
单调
递减↘
极小值
a2(3-a)
单调
递增↗
4a3
比较 f(0)=0 和 f(a)=a2(3-a)的大小可得,g(a)=
当 a<-1 时,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x 0 (0,1) 1 (1,-2a) -2a
f′(x) - 0 +
f(x) 0
单调
递减↘
极小值
3a-1
单调
递增↗
-28a3-24a2
得 g(a)=3a-1.综上所述,f(x)在闭区间上的最小值为 g(a)=
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