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文档介绍
【数学】2018届一轮复习人教A版第十一章11-2古典概型学案
1．基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的； (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)所有的基本事件只有有限个； (2)每个基本事件的发生都是等可能的． 3．如果1次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是.如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝. 4．古典概型的概率公式 P(A)＝. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．( × ) (2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( × ) (3)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．( × ) (4)(教材改编)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为.( √ ) (5)从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.( √ ) (6)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，且集合A中的元素个数为n，所有的基本事件构成集合I，且集合I中元素个数为m，则事件A的概率为.( √ ) 1．已知书架上有3本数学书，2本物理书，若从中随机取出2本，则取出的2本书都是数学书的概率为________． 答案 解析 从5本书中取出2本书，基本事件有10个．从3本数学书中取出2本书的事件有3个，故所求的概率为. 2．(2016·北京改编)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为________． 答案 解析 从甲、乙等5名学生中随机选2人共有10种情况，甲被选中有4种情况，则甲被选中的概率为＝. 3．(2015·课标全国Ⅰ改编)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为________． 答案 解析 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10种不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为. 4．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为______． 答案 解析 取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为＝. 5．(教材改编)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为________． 答案 解析 掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有6 个，所以点数不同的概率P＝1－＝. 题型一 基本事件与古典概型的判断 例1 (1)有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点数．试写出： ①试验的基本事件； ②事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件； ③事件“出现点数相等”包含的基本事件． (2)袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球． ①有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？ ②若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？ 解 (1)①这个试验的基本事件为 (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)． ②事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件为 (1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)， (3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)． ③事件“出现点数相等”包含的基本事件为 (1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)． (2)①由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法． 又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型． ②由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”， 又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为，而白球有5个， 故一次摸球摸到白球的可能性为， 同理可知摸到黑球、红球的可能性均为， 显然这三个基本事件出现的可能性不相等， 所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型． 思维升华 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型． 下列试验中，古典概型的个数为________． ①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率； ②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合； ③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率； ④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率． 答案 1 解析 ①中，硬币质地不均匀，不是等可能事件， 所以不是古典概型； ②④的基本事件都不是有限个，不是古典概型； ③符合古典概型的特点，是古典概型． 题型二 古典概型的求法 例2 (1)(2015·江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________． 答案 解析 设取出的2只球颜色不同为事件A. 基本事件有：(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)共6种，事件A包含5种，故P(A)＝. (2)(2016·山东)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下： a．若xy≤3，则奖励玩具一个； b．若xy≥8，则奖励水杯一个； c．其余情况奖励饮料一瓶． 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动． ①求小亮获得玩具的概率； ②请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由． 解 用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应． 因为S中元素的个数是4×4＝16， 所以基本事件总数n＝16. ①记“xy≤3”为事件A， 则事件A包含的基本事件共5个， 即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)． 所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为. ②记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C. 则事件B包含的基本事件共6个， 即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)． 所以P(B)＝＝. 事件C包含的基本事件共5个， 即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)． 所以P(C)＝.因为＞， 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率． 引申探究 1．本例(1)中，若将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2,3,4的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率． 解 基本事件数仍为6.设标号和为奇数为事件A，则A包含的基本事件为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种， 所以P(A)＝＝. 2．本例(1)中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜色相同的概率． 解 基本事件为(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，共16种， 其中颜色相同的有6种，故所求概率为P＝＝. 思维升华 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择． (1)(2016·全国乙卷改编)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是________． 答案 解析 从4种颜色的花中任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛，有((红黄)，(白紫))，((白紫)，(红黄))，((红白)，(黄紫))，((黄紫)，(红白))，((红紫)，(黄白))，((黄白)，(红紫))，共6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种法有((红黄)，(白紫))，((白紫)，(红黄))，((红白)，(黄紫))，((黄紫)，(红白))，共4种，故所求概率为P＝＝. (2)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人) 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团 2 30 ①从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率； ②在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率． 解 ①由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人， 故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)， 所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P＝＝. ②从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有 {A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}， {A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}， {A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}， {A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}， {A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个． 根据题意，这些基本事件的出现是等可能的， 事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有 {A1，B2}，{A1，B3}，共2个． 因此，A1被选中且B1未被选中的概率为P＝. 题型三 古典概型与统计的综合应用 例3 (2015·安徽)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]． (1)求频率分布直方图中a的值； (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率； (3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率． 解 (1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006. (2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4， 所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4. (3)受访职工中评分在[50,60)的有50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3； 受访职工中评分在[40,50)的有50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2， 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为P＝. 思维升华 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点．概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，只要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决． 海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测. 地区 A B C 数量 50 150 100 (1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量； (2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率． 解 (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 ＝， 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是 50×＝1,150×＝3,100×＝2. 所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2. (2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为 A；B1，B2，B3；C1，C2. 则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个． 每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个． 所以P(D)＝， 即这2件商品来自相同地区的概率为. 六审细节更完善 典例 (14分)一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率； (2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n查看更多