【数学】2019届一轮复习人教A版 集合与常用逻辑用语 学案
专题一 考前教材重温
(对应 生用书第58页)
1.集合与常用逻辑用语
■要点重温…………………………………………………………………………·
1．考查集合问题，一定要弄清楚集合所研究的对象，把握集合的实质．如： {x|y＝x2＋1，x∈R}——函数的定义域；{y|y＝x2＋1，x∈R}——函数的值域；{(x，y)|y＝x2＋1}——函数图象上的点集．特别注意括号中的附加条件，如x∈Z、x∈N等．
[应用1] 已知A＝{x|y＝，x∈R }，B＝{y|y＝lg(x2＋1)，x∈R}，C＝{(x，y)|y＝2x，x∈R}，则A∩B＝________；A∩C＝________.
[答案] [0,3] ∅
2．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．
[应用2] 已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，则实数a＝________.
[答案] 0
3．在解决集合间的关系时，不能忽略空集的情况．
[应用3] 设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|ax＝1，a∈R}，则使得A∩B＝B的a的所有取值构成的集合是( )
【导 号：07804156】
A．{0,1} B．{0 ，－1}
C．{1，－1} D．{－1,0,1}
[解析] 因为A∩B＝B，
所以B⊆A，所以B＝∅，{－1}，{1}，
因此a＝0，－1,1，选D.
[答案] D
4．进行集合运算时，注重数形结合在集合示例中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴 运算，求解时要特别注意端点值．
[应用4] 设全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|x－1≥0}，则图1中阴影部分所表示的集合为( )
图1
A．{x|x≤－1或x≥3} B．{x|x<1或x≥3}
C．{x|x≤1} D．{x|x≤－1}
[解析] 由图象可知阴影部分对应的集合为∁U(A∪B)，
由x2－2x－3<0得－1
0”的否定是：“∀x∈R，均有2x2－1<0”
C．“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题
D．命题“若cos x＝cos y，则x＝y”的逆否命题为真命题
[解析] A中的否命题是“若xy≠0，则x≠0”；B中的否定是“∀x∈R，均有2x2－1≤0”；C正确；D中当x＝0，y＝2π时，
其逆否命题是假命题．
[答案] C
6．理解充分必要条件：如“A的充分不必要条件是B”是指B⇒A，且AB；而“A是B的充分不必要条件”则是指A⇒B，且BA.
[应用6] 已知a，b∈R，下列四个条件中，使a>b成立的必要而不充分的条件是( )
【导 号：07804157】
A．a>b－1 B．a>b＋1
C．|a|>|b| D．2a>2b
[解析] 由a>b可得a>b－1，但由a>b－1不能得出a>b，∴a>b－1是a>b成立的必要而不充分条件；由a>b＋1可得a>b，但由a>b不能得出a>b＋1，∴a>b＋1是a>b成立的充分而不必要条件；易知a>b是|a|>|b|的既不充分也不必要条件；a>b是2a>2b成立的充分必要条件．
[答案] A
7．否定含有一个量词的命题时注意量词的改变(如命题“p或q”的否定是“﹁p且﹁q”，“p且q”的否定是“﹁p或﹁q” )；全称命题的否定是特称命题(存在性命题)，特称命题(存在性命题)的否定是全称命题．
[应用7] 已知f(x)＝3sin x－πx，命题p：∀x∈，f(x)<0，则( )
A．p是假命题，﹁p：∀x∈，f(x)≥0
B．p是假命题，﹁p：∃x0∈，f(x0)≥0
C．p是真命题，﹁p：∃x0∈，f(x0)≥0
D．p是真命题，﹁p：∀x∈，f(x)>0
[解析] ∵f′(x)＝3cos x－π，∴当x∈时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，即对∀x∈，f(x)0成立，则实数x的取值范围是________．
[解析] 不等式即(x2＋x)a－2x－2>0，设f(a)＝(x2＋x)a－2x－2.研究“任意a∈[1,3]，恒有f(a)≤0”．则解得x∈.
则实数x的取值范围是(－∞，－1)∪.
[答案] (－∞，－1)∪
■查缺补漏………………………………………………………………………..·
1．已知集合A＝{x∈N|x<3}，B＝{x|x＝a－b，a∈A，b∈A}，则A∩B＝( )
A．{1,2} B．{－2，－1,1,2}
C．{1} D．{0,1,2}
D [因为A＝{x∈N|x<3}＝{0,1,2}，B＝{x|x＝a－b，a∈A，b∈A}＝{－2，－1,0,1,2}，所以A∩B＝{0,1,2}．]
2．设集合A＝{x|2x＋3>0}，B＝{x|x2＋4x－5<0}，则A∪B＝( )
【导 号：07804158】
A. B．
C. D．
A [A＝{x|2x＋3>0}＝，B＝{x|x2＋4x－5<0}＝(－5,1)，所以A∪B＝∪(－5,1)＝(－5，＋∞)，选A.]
3．已知集合A＝{x|3x<16，x∈N}，B＝{x|x2－5x＋4<0}，A∩(∁RB)的真子集个数为( )
A．1 B．3
C．4 D．7
B [因为A＝{x|3x<16，x∈N}＝{0,1,2}，B＝{x|x2－5x＋4<0}＝{x|10}，从而A、C错，∁RA＝{x|x≤0}，故选D.]
6．已知命题p：若a>b，则a2>b2；q：“x≤1”是“x2＋2x－3≤0”的必要不充分条件，则下列命题是真命题的是( )
A．p∧q B．(﹁p)∧q
C．(﹁p)∧(﹁q) D．p∧(﹁q)
B [命题p为假命题，比如1>－2，但12<(－2)2，命题q为真命题，不等式x2＋2x－3≤0的解为－3≤x≤1，所以x≤1⇒/ －3≤x≤1，而－3≤x≤1⇒x≤1，所以“x≤1”是“x2＋2x－3≤0”的必要不充分条件，由命题p，q的真假情况，得出(﹁p)∧q为真命题，选B.]
7．已知p：x2－2x<0，q：≤0，若p真q假，则x的取值范围是( )
A．[1,2) B．(1,2)
C．(－∞，－3) D．(－∞，－3]
A [p真，可得x2－2x＜0，解得x∈(0,2)；q真，可得－3≤x＜1，故q假，得x＜－3或x≥1.所以，若p真q假，则x的取值范围是 [1,2)．故选A.]
8．已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：x>a，且￢q的一个充分不必要条件是￢p，则a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，1]
C．[－1，＋∞) D．(－∞，－3]
A [由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，故￢p：－3≤x≤1，￢q：x≤a.由￢q的一个充分不必要条件是￢p，可知￢p是￢q的充分不必要条件，故a≥1，故选A.]
9．命题“∃x0∈R，asin x0＋cos x0≥2”为假命题，则实数a的取值范围是________.
【导 号：07804159】
[由题意，命题“∀x∈R，asin x＋cos x＜2”为真命题，又asin x＋cos x＝sin(x0＋θ)<2，∴－0”；
(3)经过两个不同的点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1) 表示；
(4)在数列{an}中，a1＝1，Sn是其前n项和，且满足Sn＋1＝Sn＋2，则{an}是等比数列；
(5)若函数f(x)＝x3＋ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则a＝4，b＝11.
(3)(5) [(1)错误，命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的充分不必要条件；
(2)错误，命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是：“对∀x∈R, 均有x2＋x＋1≥0”；(3)正确；
(4)错误，由Sn＋1＝Sn＋2得Sn＝Sn－1＋2，两式相减得an＋1＝an(n≥2)，
又S2＝a1＋a2＝a1＋2⇒a2＝，
不满足a2＝a1，故{an}不是等比数列；
(5)正确，若函数f(x)＝x3＋ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则f′(1)＝0，f(1)＝10，
所以3＋2a－b＝0,1＋a－b＋a2＝10，解得a＝4，b＝11.]
